法國著名藝術家羅丹曾說：世界中從不缺少美，而是缺少發現美的眼睛。對於我們的眼睛，不是缺少美，而是缺少發現。在藝術者眼中，一切都是美的，因為他銳利的慧眼，注視到一切眾生萬物之核心;如能抉發其品性，就是透入外形觸及其內在的"真"。此"真"，也即是"美"。

數學是美麗的，哪裡有數哪裡就有美。數學的定義是研究數量關係和空間形式的一門科學。但有句名言說：數學比科學大得多，因為它是科學的語言。數學不僅用來寫科學，而且可用來寫人生。所以說數學是一切學科的基礎，是核心學科，就像人們知識金字塔的底部墊基石，所以數學被譽為科學的皇后。

　數學分基礎和應用兩部分組成的，前者追求真和美，後者是把這種真和美應用到現實生活。

一切美的事物都有兩條衡量標準：一是絕妙的美都顯示出奇異的均衡關係（培根）；二是美是各部分之間以及各部分與整體之間都有一種協調一致的和諧（海森堡）。而數學的外在美和內在美無一不把上述的兩種美感體現的淋漓盡致，而且它還另賦有真理美和一種冷峭、嚴峻的美。

一、數學外在美：形象美、對稱美、和諧美

1、形象美

黑格爾說：“美只能在形象中出現。”談到形象美，一些人便只聯想到影視、雕塑或繪畫等，而數學離形象美是遙不可及的。其實數學的數形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面。

尤拉公式是一個特別簡單又優美的公式，推導它的過程只用到最簡單的微積分和複數知識，但它卻能把一些獨特的數字和符號連線起來。它被費曼稱為“數學內最著名的公式”。

如曼德博集合由形如 f(x) = x² + c 二次多項式迭代產生，當人們代入複數依據軌跡運動趨勢賦予不同顏色後，便產生了無窮無盡、令人窒息的美麗.

2、對稱美

　對稱是美學的基本法則之一，數學中許多軸對稱、中心對稱圖形，都賦予了平衡、協調的對稱美。就連一些數學概念本身都呈現了對稱的意境——“整—分、奇—偶、和—差、曲—直、方—圓、分解—組合、平行—交叉、正比例—反比例”。

德國著名的數學家和物理學家魏爾曾說過：“美和對稱性緊密相連”.數學對稱美是數學美的重要組成部分,它普遍存在於初等數學與高等數學的各個分支，在數學研究中有著重要的作用,一直是數學家們長期追求的目標，有時數學家們甚至把它作為一種尺度，它還是數學創造與發現的美學方法之一。

3、和諧美

最具有這一美色的當屬歐氏幾何學的黃金比例（約0.618），它簡直就是宇宙的美神。具有這一特色設計的五角星堪稱是一種巫術的設計標誌；黃金分割比是解身材優美的密碼。由黃金分割引薦的黃金矩形（矩形長、寬比例是黃金比），它在形式比例上具有相當高的美學價值，如生活中的許多物品（國旗、圖書、火柴盒等）都採用了這一優美圖形。傳說中，蒙娜麗紗的臉就是黃金矩形的臉，所以才會留下千古流芳的“蒙娜麗紗微笑”。哪裡有黃金比，哪裡就有美的閃光。

他甚至還和會計學鼻祖、義大利數學家盧卡·帕喬利共同完成了《算術整合》，用手繪的插圖形象直觀地圖解了帕喬利的數學法則。

比如約翰內斯·開普勒，作為十七世紀科學革命的關鍵人物，我們都知道其在天文學上的成就，最為人知的就是開普勒定律，這是稍後天文學家根據他的著作《新天文學》、《世界的和諧》、《哥白尼天文學概要》萃取而成的三條定律。這些傑作對艾薩克·牛頓影響極大，啟發牛頓後來想出牛頓萬有引力定律。

開普勒除了是天文學家，還是個數學家。在他的職業生涯中，開普勒曾在奧地利格拉茨的一家神學院擔任數學教師。在《Harmonices Mundi》這部書中，開普勒手繪的多面體插圖極具藝術美感。

荷蘭藝術家埃舍爾（M。 C。 Escher，1898-1972）是數學藝術發展歷程中相當重要的一位。他的作品多以平面鑲嵌、不可能的空間、悖論、迴圈等作為主題，在其中可以看到對 分形、對稱、雙曲幾何、多面體、拓撲學等數學概念的形象表達。直至今日，不僅有很多藝術愛好者，很多數學愛好者也對這位科學思維大師的作品稱讚有加。

在奧地利藝術家莫塞爾（Koloman Moser，1868 – 1918）的作品中，我們可以看到相似的應用。儘管莫塞爾的作品洋溢著新藝術主義運動的色彩，但它們與幾何數學的聯絡清晰可見。

　數的外在美，是一種沒有經過加工的自然美，畢達哥拉斯將自然界和數統一在一起，他說：凡物皆數。伽利略說：自然這本書是用數學語言寫成的。我說：我的人生是數的人生。

有這樣一句話：“數學是上帝用來書寫宇宙的文字！”如果我們用數學的眼光來觀察世界，將會是怎樣的呢？筆者和大家一起來感悟數學的美！

決定陀螺自身旋轉方向與行動軌跡的是左右旋。右旋指陀螺自身旋轉方向是順時針，行動軌跡是逆時針。左旋指陀螺自身旋轉方向是逆時針，行動軌跡是順時針。旋轉就是一種平衡。

拋骰子似乎是一片混沌，但混沌之中包含確定性。拋骰子是等可能機率問題。那個燈罩下傳播的不僅是光線，還有三角函式線（波）。牆上印著的不僅是影子，還有一條條圓錐曲線。

湍流是一種自然存在的現象，只要有空氣就會有湍流發生。飄動的不僅是雲層，還有納維-斯托克斯方程。

分形幾何美妙之樹將遞迴生長到極致！

雪花，一種美麗的結晶體，多呈六角形。不過，在科赫的手裡成了科赫雪花分形。

按下的是手印，隱藏的是獨一無二的雙螺旋分子。

扔下的是咖啡塊，漂動是一個個正五邊形和正六邊形的組合體。

放大鏡是焦距比眼的明視距離小得多的會聚透鏡。

電腦桌面上看到的是文字、資料和影象，看不到的是一個個演算法、離散數學！

二、數學內在美：和諧美、簡潔美、嚴謹美、邏輯美、秩序美

　　數學是活在科學肩上的寵兒，有著內、外兼修的美麗和崇高。數學作為理科的代表，其知識本身是非常準確和嚴謹的，但它蘊含其中的數學美，有的又是十分含蓄和陷晦的，只有反覆、認真地進行品味，才能有所領悟。

　1、和諧美

　　數學的和諧美不僅在於它的外表，還有它的內在。上帝之數就是有這種內在美和諧的心靈之數。上帝之數又稱完美之數，它所有的真因子（包括1，但不包括本身）之和正好等於這個數本身。例：6的所有真因子1、2、3之和剛好等於6；28所有真因子1、2、4、7、14之和也剛好等於28。6和28是最小的兩個完美數，由於6是古時傳說中的上帝創造世界所用的天數，而28是月亮繞地球一週所需的天數，所以人們把這樣的完美數又稱上帝之數。這種數恰如其分的展現出了部分與整體統一的和諧美。

2、秩序美

　畢達哥拉斯認為，數本身就是世界的秩序、宇宙的秩序。數學追求的目標是從混沌中找出秩序，使經驗昇華為規律，將複雜還原為基本。這是數學美之秩序性的體現。

3、簡潔美、嚴謹美、邏輯美

　數學內在的各種美，有時可獨立存在，有時又象是一個大家庭，相互統一團結在一起。

　複雜的自然界中所有的一切，數學家都可以用自己簡單的數字公式或語言高度抽象出來。他們以其簡潔的形式，從一組簡潔明瞭的公理、概念出發，進行精確計算、嚴謹推理，就可抽象推論出各種令人驚歎的定理或公式，使人們洞察到數學的內在和諧、嚴謹、邏輯和秩序性。計算機的程式碼簡單得只有0和1，卻可編寫出無數深奧無比的程式軟體；質數的定義：“只有1和它本身兩個約數的數”中的一個“只”字一字值千金；“兩點確定一條直線”中的“確定”高度概括了定義的嚴謹性

“世事紛繁，加減乘除算盡；宇宙廣大，點線面體包完。”言簡意核，歸納人世百態、宇宙萬物。愛因斯坦說過:“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有藉助數學，才能達到簡單性的美學準則。

數是美的原素，數學是美麗的學科！真正的數學家把對數學的研究、追求當作有著藝術享受的快樂。“美好事物總是一種永久享受！”世界上沒有什麼力量能把數學家從他的“美人”身邊拉走，他們是世界上最忠貞的情人，他們會一生許多次墮入愛河，每一次的物件都是同一個人。

參考文獻：

演算法與數學之美，數學的美具體指的啥？

數學是美麗的，世間不是缺少美，而是缺少美的眼睛。數學絕不是枯燥無味的，而是一門充滿美感，讓人沉迷其中的學科。它的形式簡單有序而又對稱統一，它的內涵嚴謹簡潔而又富含哲理性，它的和諧更是體現在數學的各個微小細節，它的曲折而坎坷的發展道路更像是孩子走向成熟的過程，讓人感同身受而又無限嚮往。

一。數學的簡潔美。

數學的簡潔美表現在形態上，即數學美的外部表現形態，是數學定理和數學公式(或表示式)的外在結構中呈現出來的美。形態美的主要特徵，在於它的簡單性。例如尤拉給出的公式：V－E+F=2，堪稱“簡單美”的典範。世間的多面體有多少沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、稜數E、面數F，都必須服從尤拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，令人驚歎不已。在數學中，像尤拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。

比如：圓的周長公式：C=2πR 任意一個圓它的周長都滿足這樣的公式。英國科學家牛頓用F=ma概括了力、質量、加速度之間的定量關係；又如，德國科學家愛因斯坦用E=mc^2 揭示了自然界的質量和能量的轉換關係；這裡F=ma、E=mc^2就外在形式而論，都是非常簡潔的。

二、對稱美

大多優美的曲線是數學形象美與和諧的結合產物。如得之於自然界的四葉玫瑰線、對數螺旋線，還有那久負盛名的莫比烏斯曲線。莫比烏斯曲線的和諧美不僅侷限於它的外觀，它還體現在“在二維空間裡構造一維空間”的合二為一的高度內斂的和諧美。把一個長紙條，一端扭轉後再與另一端貼上起來，那麼當一隻螞蟻從紙條任意一點沿著一面出發，卻可途經紙條的兩面所有路線之後而又回到原點。這一神奇的“合二為一”構造術映射出了一個偉大的數學與交際結合的哲理——化敵為友，敵友一家親並非妄然。

三、統一美

統一美反映的是審美物件在形式或內容上的某種共同性、關聯性或一致性,它能給人一種整體和諧的美感。數學物件的統一性通常表現為數學概念、規律、方法的統一,數學理論的統一,數學和其它科學的統一。數學理論的統一。在數學發現的歷史過程中，一直存在著分化和整體化兩種趨勢。數學理論的統一性主要表現在它的整體性趨勢。歐幾里德的《幾何原本》,把一些空間性質簡化為點、線、面、體幾個抽象概念和五條公設及五條公理,並由此導致出一套雅緻的演繹理論體系,顯示出高度的統一性。布林基學派的《數學原本》,用結構的思想和語言來重新整理各個數學分支,在本質上揭示數學的內在聯絡,使之成為一個有機整體,在數學的高度統一性上給人一美的啟迪。

四、奇異美

18世紀最偉大的數學家尤拉(Euler)證明了n=3,4時費馬定理成立；後來，有人證明當n<10^5是定理成立。20世紀80年代以來，取得了突破性的進展。1995年英國數學家Andrew Wiles（安德魯˙懷爾斯普林斯頓大學教授）的108頁論文解決了費馬定理。

數是美的元素，數學是美麗的學科！真正的數學家把對數學的研究、追求當作有著藝術享受的快樂。“美好事物總是一種永久享受！”世界上沒有什麼力量能把數學家從他的“美人”身邊拉走，他們是世界上最忠貞的情人，他們會一生許多次墮入愛河，每一次的物件都是同一個人。

1. 美的本質，可望不可得

大凡美感，“五官端正”與“身材勻稱”之美只是表象，本質上是“欲罷不能”與“可望不可即”，唯有稀缺，美才油然而生。

可望不可得，有人想的是對絕世佳人，有人想的是腰纏萬貫，有人想的是聰明絕頂。

數學之美，不只是心臟線之類的【純對稱美】，更重要是她的【超對稱美】。

數學的美在於對具體的抽象：具體是被厭煩而腐朽的，抽象是被創新而神奇的。

數學之抽象，大有“風情萬種”，可又不能輕易得手，所以人們才覺得數學很美。

就原理而言，數學的對稱美，表現兩個方面：軸對稱與中心對稱。

2.1 【軸對稱】的概念與附註

構建一個笛卡爾直角座標系，有一維直線座標系、二維平面座標系、三維立體座標系。

以座標原點作為測量基準的【零點】，向左右作橫向展開，向上下作縱向展開，你總是可以得到【大小相等】而【方向相反】的兩組座標及其連線。

這裡，座標軸就叫對稱軸，相應的叫對稱座標、對稱線、對稱面或對稱體。

當然你還可以平移或旋轉座標軸，構建新的座標系，獲得新的對稱美。

軸對稱，也叫【翻折對稱】，好比摺紙，將紙【翻折180度】，獲得對稱的兩頁。

軸對稱，又叫【映象對稱】，好比照鏡子，鏡子反射光翻折180度給出一個對稱臉。

軸對稱，還叫【手相對稱】，好比將左右反向的掌面合攏。更有叫【反物質對稱】的。

附註1：軸對稱的兩個對稱者總是反向180度之【翻折】，要麼面對面，要麼背對背。

附註2：軸對稱，可以是一分為二的兩個部分，也可以是遙相呼應的兩個整體。

附註3：軸對稱在自然界不存在（雖然可近似處理），軸對稱只存在於超自然產物，如機械零部件（也是近似處理）。

2.2【中心對稱】的概念與附註

中心對稱，是指在直角座標系中，以座標原點為中心，將某個物件旋轉360度(2π弧度)，重新獲得物件的原形。

在初中幾何裡，最典型的是平行四邊形。以平行四邊形的兩個對角線的交點為中心，只要旋轉360度，就可以獲得一個新圖形與原有平行四邊形完全一樣。

中心對稱本質：任何不規則東西，只要旋轉1周、2周、...n周，就可以打回原形。

中心對稱，也叫【旋轉對稱】，任何存在形式，無論線型、面型、體型、規則的、不規則的，都可以透過旋轉運動，以週期為單位，實現自我的中心對稱。

中心對稱，有時叫【反演對稱】，反演就是反轉或反滾一圈。當然也有【正演對稱】，正演就是正轉或正滾一圈。

附註1：中心對稱是自然界的【普遍現象】。只要是一個孤立系統，例如電子、核子、空氣分子、塵埃、沙礫、小行星、地球、太陽。它們都在翻滾、自轉或自旋。

附註2：中心對稱是自我運動的【週期對稱】。自我運動包括自旋與旋進。

在特定的溫壓條件下：一個孤立系統，必然有自旋或自轉或翻滾，就會實現自我與迴歸自我，這叫【自旋性週期對稱】；

與此同時，它還要有自由漂移或活動空間，即所謂旋進或進動，這叫【旋進性週期對稱】，例如，地球繞太陽一週，可以近似處理為返回到原初的點位。

附註3：如果一個旋轉體，不管正轉還是反轉，只要旋轉180度或半個週期，就會獲得一個軸對稱的自我，此稱【半周軸對稱】。

例如，一個負電子，除了自旋以外，還會因為外加反向強磁場，其自旋軸會翻轉180度，顛倒了南北極，變成正電子。這個正電子就是顛倒南北極的負電子。

超對稱（supersymmetry），泛指通常在解析幾何基於座標系背景下的超越同等性質的代換、拓撲、投影之類的對稱。

3.1 【代數值】與【幾何形】的超對稱

這是最基礎的，最常用的，可以啟發我們的抽象思維、代換思維與超對稱思維。

例1：一個值為(3)的數，與三滴水的形()，可以建立抽象與具體之間的超對稱，

寫成：(3) ↹ ()

例2：一組座標數值(..)，例如(x,y)對應一個幾何點(·)。就說(x,y)與(·)是超對稱的，

寫成：(x,y) ↹ (·)

例3：一次函式，例如(y=2x+3)，可以對應一條斜線(／)，函式與斜線是一種超對稱，

寫成：(y=2x+3) ↹ (／)

例4：二次函式，寫成圓/拋物線/橢圓方程，就有了二次函式與圓錐曲線的超對稱，

寫成：(二次函式) ↹ (圓錐曲線)

3.2 【被投影】與【投影圖】的超對稱

例5：幾何學有射影定理，是說平面圖上一條斜線投影到橫軸上，得到一條水平線。就有了(傾斜線)與(水平線)的超對稱，

寫成：(／) ↹ (—)

例6：太陽是一個準球體，反射到我們視網膜上是一個準圓面，其超對稱關係，

寫成：(☀) ↹ (⊙)

例7：電子雲是三維混沌，投影到電鏡上積聚成一個雲霧盤，其超對稱關係寫成

例8：例7的電子雲盤，還可以進一步從自上而下投影，積聚成【中亮邊暗】的譜線。

3.5 【實心體】與【空心環】的超對稱

這是超越拓撲關係的超對稱。如果我們搓麵糰，麵糰的結構成分與總質量不變，那麼長條形與餅形與輪胎形是【超拓撲對稱】。

例9，無線電波的長波，波長上千米，光子半徑甚至500米的天眼，它是怎麼鑽進地下隧道而被接收的呢？可以理解為，當長波遇到障礙物時，那些巨光子被障礙物戳空，介面部分有衍射效應，大風鑽入門縫一樣。原來的“實心電波”變成“空心電波”。

例10：單細胞噬菌體，體型巨大，怎麼鑽進細胞膜的呢？最合理的解釋是：好比章魚一樣，把自己實心囊泡，變成超拓撲細條，大有隨風潛入夜，潤物細無聲的“神功”。

（完）

有人說：＂原來數學可以這麼美！＂這裡的美會指什麼？

數學的盡頭是藝術。

數學、物理、音樂、化學、繪畫、生物、雕刻…各美其美，美美與共，和而不同。