四元數：150年後在計算機時代盛開

1843年10月16日，愛爾蘭數學家漢密爾頓爵士（William Hamilton）在散步時，突然想到了ｉ²＝ｊ²＝ｋ²＝ｉｊｋ＝－1　的方程解，並且創造了形如 a＋bｉ＋cｊ＋dｋ 的四元數（a為標量，［bｉ + cｊ + dｋ］為向量）。為了捕捉這一思想火花，漢密爾頓爵士顧不得保護文物，將方程刻在了正好經過的布魯穆橋上。

這條方程放棄了交換律，是當時一個極端的想法（那時還未發展出向量和矩陣）。四元數是複數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數就代表著一個四維空間。漢密爾頓爵士本來正在研究如何把複數應用於三維空間，但橋上的靈光一現，直接把研究擴充套件到了四維上去。

四元數有著漂亮的數學形式，還適用於地理學、力學和光學的研究。之後的時間裡，漢密爾頓爵士把大部分精力都用於推廣四元數的概念。他死後，接力棒傳到了愛丁堡大學自然哲學教授皮特·格恩裡·泰特手中。

著名物理學家威廉·湯姆遜（也稱“開爾文男爵”，熱力學溫標單位開爾文便以他的名字命名）曾說：我和泰特為四元數爭了38年。兩人合著《自然哲學論》（ Treatise on Natural Philosophy ）時，曾決定在必要時引入四元數的概念，但從最終手稿來看，“必要的時候”一直不曾出現。

19世紀末，向量微積分的出現更是搶走了四元數的光芒。在20世紀中葉的科學和工程界中，向量幾乎已完全取代四元數的位置。麥克斯韋曾在他的《電磁場動力理論》直接以20條有20個變數的微分方程組來解釋電力、磁力和電磁場之間的關係。

某些早期的麥克斯韋方程組使用了四元數來表述，但與後來黑維塞使用4條以向量為基礎的麥克斯韋方程組表述相比較，使用四元數的表述並沒有流行起來。人們認為四元數空有漂亮的數學結構，沒有什麼實際用途，不過是數學史上又一個無足輕重的腳註罷了。

到了計算機時代，四元數終於找到了自己的位置。在三維幾何旋轉的計算中比矩陣更有優勢，在機器人技術、計算機視覺和影象程式設計領域都是極為重要的工具。

150年之後，漢密爾頓爵士他們的研究終於得到了世人認可。自己種下的理論滋養了全球數以千億計的計算機產業，爵爺若地下有知，也應該感到欣慰了。

最密堆積：3個世紀後在通道中相遇

假如在你面前放著一堆橙子，怎麼擺放才能最節約空間？

別以為這只是困擾水果店老闆的日常煩惱之一。雖然任何人都可以憑經驗或直覺斷定，把上一層橙子交錯著放到下一層橙子彼此相鄰的凹處，顯然要比直接一個疊一個的擺放更合理。但誰能從數學上證明，的確不存在比這更合理的方法呢？

1611年，開普勒提出，水果商堆橙子的辦法對空間的利用率最高，可他自己卻沒法給出證明。在400多年的時間裡，“開普勒猜想”（Kepler"s Conjecture）難倒了眾多數學家。直到1940年，匈牙利數學家拉茲洛·費耶·託斯才解決了開普勒猜想的簡化版——圓環堆積問題。

1998年，一則數學新聞突然成了各大媒體報道的焦點：美國匹茲堡大學的托馬斯·海爾斯（Thomas C. Hales）證明了“開普勒猜想”：在箱子裡堆放大小一樣的球，用“面心立方體”的堆積方式（即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處）可以使空間利用率最高。也就是說，水果商在箱子裡裝橙子的辦法一直都是最有效的。

海爾斯解答了這個提出了400餘年的難題，但水果商並不買賬。一位水果攤小販在接受電視臺採訪時說：“這簡直是浪費時間又浪費我們納稅人的錢！”

不過，開普勒和海爾斯的智慧結晶當然不僅僅是用來裝橙子這麼簡單——有關最密堆積的研究成果是現代通訊技術的重要工具，是通道編碼和糾錯編碼研究的核心內容。

同樣也是在17世紀，牛頓和大衛·格里高裡因“牛頓數問題”爭來爭去。牛頓數，“Kissing Number”，是與一個ｎ維球外切的等維球的個數。很容易看出，二維的牛頓數是6（上圖左）。牛頓確信三維的牛頓數是12，直到1953年，科特·舒特和範·德·維爾登才給出了一個證明。

2003年，奧萊格·穆辛證明了4維的牛頓數是24。至於5維的牛頓數，目前只知道它在40到44之間。不過，我們知道8維的牛頓數是240，24維的牛頓數是196560，這兩個數都是美國明尼蘇達大學的安德魯·奧德里茲克在1979年證明的。8維和24維的牛頓數證明起來其實比三維的牛頓數簡單，它們還跟超密集的球體填充問題有關：8維E8點陣和24維Leech點陣。

這些發現令人驚奇，不過讓普通人一頭霧水的概念有什麼實際意義？接下來聽我說。

20世紀60年代，一位叫戈登·朗的工程師正在設計調變解調器系統。他需要從一個繁忙的頻道（例如一個電話線）發出一個訊號，訊號由一系列的音調組成。但是，由於一個頻道傳遞的訊號過多，經常出現訊號無法被完整接收的情況。朗將組成訊號的聲音用一串數字表示，訊號即可被當作一個個包含資訊的“小球”，為了使傳送的資訊量達到最大化，這些“小球”必須被儘可能緊密的排列起來。

20世紀70年代晚期，朗發明了採用E8堆積法傳遞8維訊號的調變解調器。由於這項技術可以透過電話線進行訊號傳播，不必重新設計訊號電纜，因此大大加快了網際網路的發展。

機率論：從賭桌上的硬道理到保險業的發展

文藝復興時期，義大利出現了一位大學者，卡爾達諾（Girilamo Cardano），他精通數學、物理、占星，在當時被稱作百科全書式的學者。卡爾達諾嗜賭，但賭術卻並不高明，在賭桌上輸掉了大把的家產。不過，他由此寫下《論賭博遊戲》一書。此書於1663年出版，被認為是第一部機率論專著，開創了現代機率論研究的先河，也為今天的精算學做了鋪墊。

一個世紀之後，法國賭徒梅內（Chevalier de Méré）遇到了難題。他常玩的兩個遊戲，一個是連續擲4次色子，看能否扔出一個6；一個是擲兩個色子，連續24次，看能否扔出2個色子都是6的情況。梅內以為兩者贏錢的機率相等，不過實際情況卻與他想的不一樣。玩第一個遊戲他贏多輸少，第二個遊戲卻是輸多贏少。

梅內向朋友，數學家帕斯卡求助，帕斯卡隨後在1654年和費馬在信件往來中探討了這個問題，為機率論的發展打下了基礎。1657年，荷蘭人惠更斯發表了《論賭博中的計算》，這也是第一部公開發表的機率論著作。

17世紀晚期，雅各布·伯努利發現，隨機擲一次色子，每個數字出現的機率都是1/6，但連續擲6次色子並不能確保每個數字都出現。在卡爾達諾研究的基礎上，他提出了伯努利實驗。ｎ重伯努利試驗（也稱伯努利概型）常用來討論ｎ次重複試驗中某事件發生的次數及其機率。由於樣本點不一定是等機率的，許多實際問題都可歸結為這種模型。

更重要的是，伯努利還提出了大數定律，指在一個隨機事件中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率越趨近於一個穩定值。這個定律甚至促進了保險業的發展。

過去，保險公司只敢賣出有限的保單，因為賣出的保單越多，賠付的風險看上去就越高，保險公司擔心賣出過多的保單會使公司不堪重負而垮掉。直到18世紀初，保險公司才開始像現在一樣大肆推銷保險。這都多虧伯努利的大數定理證明：保單賣得越多，賠付的機率就越趨於穩定，風險是可控的。

這種情況還有很多很多，所以有時候人們經常問，證明某個猜想比如哥德巴赫猜想，黎曼猜想真的那麼重要嗎？其實，這個猜想本身也許不重要，但在證明這個猜想的過程中數學理論的進步，數學工具的發現，也許在將來的某一天會對這個社會的發展有著巨大的推動作用。

現代數學發展到了什麼階段？我們列出現代數學時期（公元 19 世紀 70 年代—— ）發展的內容節點：

1． 康託的“集合論”

2． 柯西、魏爾斯特拉斯等人的“數學分析”

3． 希爾伯特的“公理化體系”

4． 高斯、羅巴契夫斯基、波約爾、黎曼的“非歐幾何”

5． 伽羅瓦創立的“抽象代數”

6． 黎曼開創的“現代微分幾何”

7． 其它：數論、拓撲學、隨機過程、數理邏輯、組合數學、分形與混沌 等等

一．19世紀前半葉，數學上出現兩項革命性的發現——非歐幾何與不可交換代數。

大約在1826年，人們發現了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何——非歐幾何。這是由羅巴契夫斯基和裡耶首先提出的。非歐幾何的出現，改變了人們認為歐氏幾何唯一地存在是天經地義的觀點。它的革命思想不僅為新幾何學開闢了道路，而且是20世紀相對論產生的前奏和準備。

後來證明，非歐幾何所導致的思想解放對現代數學和現代科學有著極為重要的意義，因為人類終於開始突破感官的侷限而深入到自然的更深刻的本質。從這個意義上說，為確立和發展非歐幾何貢獻了一生的羅巴契夫斯基不愧為現代科學的先驅者。

1854年，黎曼推廣了空間的概念，開創了幾何學一片更廣闊的領域——黎曼幾何學。非歐幾何學的發現還促進了公理方法的深入探討，研究可以作為基礎的概念和原則，分析公理的完全性、相容性和獨立性等問題。1899年，希爾伯特對此作了重大貢獻。

在1843年，哈密頓發現了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。不可交換代數的出現，改變了人們認為存在與一般的算術代數不同的代數是不可思議的觀點。它的革命思想打開了近代代數的大門。

另一方面，由於一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。19世紀20～30年代，阿貝爾和伽羅華開創了近世代數學的研究。近代代數是相對古典代數來說的，古典代數的內容是以討論方程的解法為中心的。群論之後，多種代數系統(環、域、格、布林代數、線性空間等)被建立。這時，代數學的研究物件擴大為向量、矩陣，等等，並漸漸轉向代數系統結構本身的研究。

二．分析的算術化

1874年威爾斯特拉斯提出了一個引人注目的例子，要求人們對分析基礎作更深刻的理解。他提出了被稱為“分析的算術化”的著名設想，實數系本身最先應該嚴格化，然後分析的所有概念應該由此數系匯出。他和後繼者們使這個設想基本上得以實現，使今天的全部分析可以從表明實數系特徵的一個公設集中邏輯地推匯出來。

現代數學家們的研究，遠遠超出了把實數系作為分析基礎的設想。歐幾里得幾何透過其分析的解釋，也可以放在實數系中；如果歐氏幾何是相容的，則幾何的多數分支是相容的。實數系(或某部分)可以用來解群代數的眾多分支；可使大量的代數相容性依賴於實數系的相容性。事實上，可以說：如果實數系是相容的，則現存的全部數學也是相容的。

19世紀後期，由於狄德金、康託和皮亞諾的工作，這些數學基礎已經建立在更簡單、更基礎的自然數系之上。即他們證明了實數系(由此匯出多種數學)能從確立自然數系的公設集中匯出。20世紀初期，證明了自然數可用集合論概念來定義，因而各種數學能以集合論為基礎來講述。

三．拓撲學開始是幾何學的一個分支

但是直到20世紀的第二個1/4世紀，它才得到了推廣。拓撲學可以粗略地定義為對於連續性的數學研究。科學家們認識到：任何事物的集合，不管是點的集合、數的集合、代數實體的集合、函式的集合或非數學物件的集合，都能在某種意義上構成拓撲空間。拓撲學的概念和理論，已經成功地應用於電磁學和物理學的研究。

20世紀有許多數學著作曾致力於仔細考查數學的邏輯基礎和結構，這反過來導致公理學的產生，即對於公設集合及其性質的研究。許多數學概念經受了重大的變革和推廣，並且像集合論、近世代數學和拓撲學這樣深奧的基礎學科也得到廣泛發展。一般(或抽象)集合論導致的一些意義深遠而困擾人們的悖論，迫切需要得到處理。邏輯本身作為在數學上以承認的前提去得出結論的工具，被認真地檢查，從而產生了數理邏輯。邏輯與哲學的多種關係，導致數學哲學的各種不同學派的出現。

四．20世紀40～50年代，世界科學史上發生了三件驚天動地的大事，即原子能的利用、電子計算機的發明和空間技術的興起。此外還出現了許多新的情況，促使數學發生急劇的變化。

為了減少浪費和避免盲目性，迫切需要精確的理論分機和設計。再次是現代科學技術日益趨向定量化，各個科學技術領域，都需要使用數學工具。數學幾乎滲透到所有的科學部門中去，從而形成了許多邊緣數學學科，例如生物數學、生物統計學、數理生物學、數理語言學等等。

上述情況使得數學發展呈現出一些比較明顯的特點，可以簡單地歸納為三個方面：計算機科學的形成，應用數學出現眾多的新分支、純粹數學有若干重大的突破。

20世紀40年代以後，湧現出了大量新的應用數學科目，內容的豐富、應用的廣泛、名目的繁多都是史無前例的。例如對策論、規劃論、排隊論、最最佳化方法、運籌學、資訊理論、控制論、系統分析、可靠性理論等。例如數學家們更多地藉助計算機研究純粹數學，這方面突出的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的發現，它們是非線性科學的核心問題，可謂兩朵美麗的“數學物理之花”。

20世紀40年代以後，基礎理論也有了飛速的發展，出現許多突破性的工作，解決了一些帶根本性質的問題。在這過程中引入了新的概念、新的方法，推動了整個數學前進。例如，希爾伯特1990年在國際教學家大會上提出的尚待解決的23個問題中，有些問題得到了解決。60年代以來，還出現瞭如非標準分析、模糊數學、突變理論等新興的數學分支。此外，近幾十年來經典數學也獲得了巨大進展，如機率論、數理統計、解析數論、微分幾何、代數幾何、微分方程、因數論、泛函分析、數理邏輯等等。

實變函式學十遍，泛函分析心犯寒。。。這個只是數學專業本科的難度而已。

前沿的就根本是無數個分支，每個小圈子整個世界也許就那麼幾十人幾百人，分分鐘失傳招不到足夠的學生當老師，一個幾何教授完全不懂另一個拓撲教授講什麼這再正常不過。

一個數學大王的重大發現，用孿生素數證明哥德巴赫猜想成立。

陳景潤的哥德巴赫猜想固然歷害。你想看到一個比陳景運更加歷害的哥德巴赫猜想嗎。尤拉覆信哥德巴赫，任何一個大於2的偶數都可以表為兩個素數的和，我雖然不能證明它，但我確信它是確定無疑的定理。這就是著明的哥德巴赫猜想。在世界數學歷史的長河中，對於無限的概念就是從理論上來證明是無限的被認為是終極和完成的。例如，哥德巴赫猜想，現已計算到人類現己應用的最大數是成立的，但仍然認為是不行的。此外還有黎曼猜想，費馬大定理。。。。。。，而不能進入實質上的應用。在這裡要說的是，素數之所以被稱為自然數的基石，是因為用素數的和，可以組成一切自然數。親愛的讀者，當你看了下面的論文後，對我以上所說有什麼感想呢。

一個數學大王與數學牛人重大發現

用孿生素數證明哥德巴赫猜想成立

（引入原文）孿生素數公式

什麼是孿生素數，孿生質數有一個十分精確的普遍公式，是根據一個定理：“若自然數Q與Q+2都不能被不大於根號Q+2的任何質數整除，則Q與Q+2是一對質數，稱為相差2的孿生質數。這一句話可以用公式表達：Q=p1m1+a1=p2m2+a2=....=pkmk+ak其中p1，p2，...，pk表示順序質數2，3，5，....。an≠0，an≠pn-2。若Q<P(k+1)的平方減2，則Q與Q+2是一對孿生質數。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孿生質數。 所以，只要按著公式計算，理論上有無限多個孿生素數。

在這裡，首先要對孿生素數作出新的定義，而不是（若自然數Q與Q+2都不能被不大於根號Q+2的任何質數整除，則Q與Q+2是一對質數，稱為相差2的孿生質數。）則是沿用我國古代的《奇門遁甲》中的“三奇就在已丙丁”，把孿生素數分成以下幾種類形：

（1）.兩孿生素數，：例如3和5 ，5和7，11和13，…，

(2).三孿生素數，例如41.43.和47 ，461.463.和467，613.和617.619，…，

（3）四孿生素數，例如11.13.和17.19 ，101.103.和107.109，821.823.和827.829，…，，

（4）頭孿生素數，例如a1087.1089a1091a，a1867a1871 1873p.1877 1879a ，a7207 a7211 7213a，…，

（5）尾孿生素數，例如a1607 1609a1613a，a2657 2659a2663a，a8861 8863a 8867a a8969 8971a ，…

（6）頭尾孿生素數，例如a1087 a1091 1093a 1097a

，a1423a1427.1429a1433a，a1297 a1301 1303a 1307a，…，，

現將以上六種孿生素數簡稱頭尾孿生素數，記作：“m”孿生素數。原定義孿生素數記作“q”孿生素數。

按照以上兩種定義，將10000以內二孿生、三孿生、四孿生、五孿生、六孿生素數哥猜相加和數進行列表如下：

（部分）

10…10=5q5.12=7q5.14=7q7.16=11q5.18=11q7.20=13q7.

22=11q11.24=11w13.26=13q13.28=17q11.3

1000.1000=569q431.1002=569q433.1004=571q433.1006=857q149.

1008=857q151.1010=829q181.1012=821q191.1014=191q823.

1016=193q823.1018=419q599.1020=1019q1.1022.=1021q1.

1024=1021q3.1026=1021q5.1028=1021q7.1030=853q277.

1032=1031q1.1034=1033q1.1036=1033q3.1038=1033q5. pppp

1040=1033q7.1042=521q321.1044=033q11.1146=433q613.

1048=857q191.1050=1033q17.1052=1033q19.1054=857q197.

1056=857q199.1058=601q457.1060=1049q11.1062=1033q29.

1064=1033q31.1066=467q599.1068=467q601.1070=457q613.

1072=431q641.1074=1033q41.1076

9148=137q9011.9150=137q9013.9152=139q9013.9154=113m9041.

9156=113m9043.9158=619q8539.9160=149q9011.9162=149q9013.

9164=151q9013.9166=197q8969.9168=197q8971.917