1+1=2雖然非常直觀(感覺上是直觀，其實並不直觀)，但是確實不是公理，而且把它當作公理缺乏外延性，就是說沒法擴充套件，比如，沒法由1+1=2證明1-1=0，等等。

1+1=2實際上需要有自然數的完備性作為前提，如果自然數不完備，比如說沒有下面的前提條件，任何自然數加1，還是自然數，而且是它的後繼自然數，2剛好是1的後繼自然數，還有0不是任何自然數的後繼數等等條件，那麼就很難說1+1是不是等於2，這在邏輯上並不難明白，所以其實自然數的完備性，才是最基礎的公理，這就是皮亞諾的自然數完備性公理。而1+1=2就變成這個自然數完備性公理的推論，那麼，自然數完備性公理是不是還有更加基本的公理體系，作為它的基礎，沒有了，因為人們確實沒法證明自然數為什麼完備，所以只能把它定為公理。

由此可知，某個大家公認的事實，究竟是公理，還是定理、推論或者命題。要看這個事實(儘管人所公知)，是不是最基本的，是不是需要有前提，比如為什麼1+1=2，就需要有自然數的完備性作為條件，不夠基本，不能自然成立，所謂“不證自明”(公理的通俗解釋)，就是不需要任何前提條件，或者至少人們看不出需要有什麼前提條件，才能成立。

另一個成為公理的條件，是必須具有很好的外延性，就是說可以由它經過一系列推導，推出一系列更高層次的定理、命題和推論，從而可以構成一個體系。這兩個條件1+1=2都不滿足，因此，1+1=2就不能成為作為數學基礎的基本公理，而是自然數完備性公理的一個推論。

1+1=2不需要證明，也沒有證據可以證明它是錯的。

桌子上有一塊糖，你又放上去一塊，然後一數發現有三塊，那一定是有什麼地方出了問題，而不能證明1+1=2是錯的。

數學是人類解決問題的工具，其內容是由一系列基礎概念和公設構成的。數學工具的特點也是唯一要求就是體系內部不允許有矛盾出現。歷史上就有三次出現矛盾就是三次數學危機。只要沒有矛盾，其具體的內容是可以隨意更改的。你可以認為1+1=8.1+1=∞，只要以此建立起的體系沒有內部矛盾就可以認為其成立。

比如歐幾里得的第五公設：過直線外一點有且只有一條直線與原直線平行。這是大家都熟悉的。你可以修改它為過直線外一點有無數條直線與原直線平行，也不會有矛盾。還可以改為過直線外一點沒有直線能與原直線平行，這就是黎曼幾何了，愛因斯坦的廣義相對論就是以此為基礎的。

證明1+1=2根本就是一個錯誤的問題。因為數學中2本來就是以1+1來定義的。這個問題就像問如何證明年逾古稀的人都超過70歲了，這根本無需證明，因為“年逾古稀”就是以超過70歲來定義的。以此類推3-1，5-3等都是2的定義，說桌子上有2個蘋果和有5-3個蘋果是等效的。所以數學並不產生新的知識，它只是把原知識以不同的方式表達出來而已。

1+1=2根本不需要證明，目測你說的可能是數學是大難題之1+1問題，道聽途說整了個1+1=2問題，呵呵，建議多學習多瞭解吧，不然連問問題都不會，惹的眾人笑

還從來沒有在任何一個權威著作或學術論文中提到過1+1=2需要證明的！

這個根本就不需要證明。只需要定義。定義和證明是兩回事。正如同10的0次方，10^0=1一樣，它是規定的或者說叫定義的。

關於什麼叫自然數，它的嚴格定義是在很晚的時候才出來。距離現在也才100多年，叫序數理論。以下引用自百度百科。

序數理論是義大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義：自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作1。②N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的後繼者。③1不是任何元素的後繼者。④不同元素有不同的後繼者。⑤(歸納公理)N的任一子集M，如果1∈M，並且只要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。

怎麼證明我不懂我說點題外話從初中學證明題我就納悶，題分兩種。一種是這尼瑪也能證明。一種是這尼瑪也用證明，我實在不明白學這些到底有啥用，在這個功利的社會吧時間浪費在這上面還不如去學點有用的東西，比如背個建造師還能掛靠啥的。

翻了半天的回答，也就一個知道哥德巴赫猜想的！還有一群人煞有介事的在論證為什麼要證明或者不證明！

想起一句臺詞，“我不是針對誰，我是說在座的都是傻子”！

這裡說的需證明的1+1是帶引號的，是對哥德巴赫猜想的“1+1”的簡稱，哥德巴赫猜想：任何一個大於6的偶數都能拆成兩個素數之和，簡稱1+1。陳景潤證明了，大偶數是一個素數和另外兩個素數之積的和，簡稱1+1，距離證明1+1的哥德巴赫猜想還剩一步之遙。

如果並非指哥德巴赫猜想的1+1的話，那麼也就不會有人去證明1+1=2，畢竟2是定義而不是推導結論。就像1+1可以記為二也可以記為Ⅱ，這不是推匯出來的而是定義出來的。如果說需證明物理現象中的1+1=2，比如1L水+1L水=2L水，而不是像1L水+1L酒精<2L,那麼這就不是單純的數學問題了，也就沒必要在數學中討論了。

桌上沒放雞蛋時，我們就說什麼也沒有，用數學符號0來表示，以方便記載與計算，當然你也可以用漢字零來表示; 往桌上放一個雞蛋，我們就用1代表有一個物體“雞蛋”在上面，同樣接著放上放直到放滿9個，就分別有10個阿拉伯數字來表示數量。其實整個世界只需要0和1便可以了，即所謂的二進位制（計算機就只需0和1），但在使用上不放便，我們才廣泛使用10進位制。我這麼說的意思是數字僅僅是一個符號，它所代表的基本量是不需要證明的。

1+1=2看似簡單，實則代表了構建我們這個世界的邏輯基礎，是所有邏輯的基石，假設一下，在另一維度，兩個相同的物質相遇，合二為一，那個世界的邏輯基礎就好比是1+1=0 那可能這個宇宙完全是另外的一個樣子，所以對於我們的三維世界來說，1+1=2幾乎是一切物質得以存在的邏輯基礎，和道生1.1生2，2生3.3生萬物一個道理

傻吧，都回答的啥。說過了又怕被噴，1➕1等於二那是哥德巴赫猜想的簡寫好不，誰TM去證那個眾人皆知的2，上高等數學，老師沒跟你們引申過，還是太單純，居然還有這麼多人煞有介事的說那麼多1➕1等於2。陳景潤知道了辛苦搞出來的1➕2，那是不是等於3，回答這些的，都去拿菲爾茲吧

1+1=2是定義，不需要證明，你也可以定義1+1=3，然後用你的定義建立數學體系，至於別人認不認可就是你的事了，就跟我問你如何證明證明是證明一樣，你能說明白證明為什麼叫證明，為什麼不能證明證明不是證明，你首先定義了證明就是證明，才能使用證明去證明，而不能用證明去證明證明，懂了嗎

數學是一種抽象的邏輯思維過程，自然數是數學邏輯推理過程的基本工具。然而，好像自然數是人為規定的：1,2,3,……，也就是說人腦生產了自然數。但是人腦又是大自然生產出來的，所以說，自然數就是人腦的自然性的部分體現。自然數是大自然本來存在的一個客觀規律，而這個規律包涵著大自然運動的一切邏輯規律，並且是自然界的人們認識大自然的起點。因此，1+1=2, 2+2=4, 2-2=0……人們不只是認為，這是自己設定的公式，其實也認識到1+1=2，這是自然邏輯規律運動過程中的一個結果。這個邏輯運動過程是物理性的、也是化學性的。所以人們要證明，為什麼1+1=2？要得到的是這個結果的證明過程，是為了更好的認識大自然，不單單是要得到1+1=2這個結果或者說是這個“公式”。

1+1=2，這個證明不了，也不敢證明，證明完以後都成了“二”了，誰還敢證明。無法證明還有其他的原因，因為這是有人早已經下的定義:1+1等於什麼呢？讓它等於2吧，而且必須等於2，打死也不許等於3，於是，從人類識數開始，人們就都遵從這個定義。你要非得證明，1+1怎麼就等於2了，難道就不能證明它不等於2？不能等於3或者10000，或者等於1後面有無數個零之類的嗎？如果真證明了，那麼假如你有一塊錢，別人又給你一塊錢，祝賀你，哥們兒！你發了！要是這樣那你只能證明下定義的那哥們兒有點二，如果不是說明自己是個“二”。但其實仔細考慮一下這個問題，如果一個1表示一個人，另一個1表示一根筋，那還真就是2。

生活中也有這樣的事，明明是事實，警察非得讓你證明“你媽媽是你媽媽”，這也證明了明確的事實但在理論上未必就成立，所以反過來你還得證明1+1就等於2。還好，警察沒讓你證明“你妹就是你妹，”或者“你大爺就是你大爺”。還有，現在的中醫院什麼的並不少，如果不治病的話似乎沒什麼存在的價值，古代還有太醫，如果沒給皇上皇后嬪妃治好病，恐怕也沒有什麼好下場，或者早該銷聲匿跡了，那麼多的中藥在出售，你總不能說這都是假藥吧?還有大量的中醫療法，存在了幾千年，怎麼一下子就都成了騙人的了？實在想不通。中醫吃虧就吃虧在臨床療效統計上，你說中醫就是騙人，那我也沒辦法，這和1+1=2一樣無法證明。雖然我證明不了，但好像你也無法證明1+1一定不等於2，這就好像你懷疑歷史，說歷史書上寫得完全是錯的，可以，但請你拿出有力的證據來，在沒有說服大家之前，你是不是還沒有權力就下出你自己的結論?在有力的證據支撐下，歷史也不是不可以修正，“司母戊鼎”不是改成了“後母戊鼎”了嗎？可以質疑但不能妄下結論。人，還是應該知道自己幾斤幾兩，否則真證明出1+1=3，會貽笑大方的。

從來沒有數學家想證明啊！都是不理解哥德巴赫猜想瞎裝逼的！1+1只是一個質數加一個質數的縮寫，沒有等於兩個質數！所以從來都只有想以1+1的方式證明哥德巴赫猜想的，沒有想證明1+1=2的正經數學家

也就是說1+1=2，為什麼成立？數學家單用基數理論是介決不了這個問題的，因此數學家們在研究1+1為什麼等於2時創立了一個序數理論，來介決了這個問題的。這就是需要證明1+1=2的理論依據。

很簡單，不證明這個等式成立，就不能推匯出其他等式，如1+3=4等也是成立的。陳景潤證明的1+2=3只能證明由這個等式推匯出來的如2+3=5是對的。所以1+1=2被譽為數學中的皇冠，證明它，賦予所有自然數加法的定義才能被認為是對的，當然也包括陳景潤的證明。這也是個邏輯問題。

反之，一旦1+1=2被證明是錯誤的，那麼現代數學體系的基礎就不存在，需要推倒重構了。

對於一樓的回答我有些不能認同，1+1=2不需要證明？我原來也想過，誰會去證明這麼無聊的問題，可是學了高等數學就會發現自己太naive了。

數學是數學家構造出來的一個世界，那麼自然數的構造就是數學世界的開天闢地。

我思考1+1為什麼等於2實際上是在思考為什麼自然數列是連續的。為什麼99之後不是0?或者

甚至是這樣的：

皮亞諾公理

義大利數學家皮亞諾用公理把自然數安放在了數學世界裡面。

皮亞諾的這六條公理用非形式化的方法敘述如下：Ⅰ 0是自然數；Ⅱ 每一個確定的自然數a，都具有確定的後繼數a" ，a"也是自然數（數a的後繼數a"就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如，1"=2，2"=3等等。）可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由 0, 1 構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數結構再做一下限制：Ⅲ 0不是任何自然數的後繼數；但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0, 1, 2, 3，其中3的後繼是3。看來，我們設定的公理還不夠嚴密。我們還得再加一條。Ⅳ如果自然數b是自然數a的後繼數，c=b，那麼自然數c是自然數a的後繼數，同一個自然數的後繼數都相等；Ⅴ如果自然數b、c的後繼數都是自然數a，那麼b = c；最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 0.3），同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。Ⅵ設S⊆N，且滿足2個條件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那麼n"∈S。則S是包含全體自然數的集合，即S=N。(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性)注：歸納公理可以用來證明0是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為“n=0或n為其它數的後繼數”，那麼滿足歸納公設的條件。

若將只考慮正整數，則公理中的0要換成1，自然數要換成正整數。

加法的定義我們定義，加法是滿足以下兩種規則的運算：Ⅰ ∀m∈N，0 +m =m；Ⅱ ∀m，n∈N，n" +m = （n +m）"。有了這兩條僅依賴於“後繼”關係的加法定義，任意兩個自然數相加的結果都能確定出來了。1+1=2

1 + 1

= 0’ + 1 （根據自然數的公理）

= （0 + 1)’（根據加法定義Ⅱ）

= 1’ （根據加法定義Ⅰ）

= 2 （根據自然數的公理）

自然數和加法是數學世界的根基（當然還有集合論等，忍不住還是嚴謹一下），在這個基礎上數學世界越來越輝煌，如果1+1不等於2了，那也許整個數學界的理論就靠不住了，所以，這就是為什麼需要證明“1+1=2”

你說的是哥德巴赫猜想嗎？我國數學課陳景潤證明了的1+2=3，是不是這個？其實不是我們掰手指頭算數的1+1=2，哥德巴赫猜想是任何一個大於2的偶數都可以由兩個質數只和得到，簡稱為1+1=2，是個表示式子。懂了吧？腦殘寶寶。

我們現在看似很簡單的問題都是前人證明了，才可以用的。數學，物理，化學等都是研究的理論放在課本中教給大家。而1+1=2也是證明出來才用。這個好比兩點之間直線最短，稍有常識的人都知道。但是為什麼呢？數學也是可以證明出來，我們直接使用了。