學生問，為什麼兩點之間線段最短，怎麼證明，老師問他，你扔個骨頭，狗是直接過去，還是拐個彎再過去，學生說，當然直接過去了，老師說狗都明白的道理你還需要證明？

一個是面積，一個是長度，從數學計算來看兩者單位不同，沒有可比性。但只要是學過幾何的人都知道點、線、面的關係，若干個點組成線，若干條線組成面。一個50平方米的面積是由若干條7.1米（近似值）的線組成的，而每一條7.1的線條長度都大於10釐米，如果這條長度為10釐米的線條寬度沒有特意說明的話，我們只能視同為相同線條，所以50平方米的面積＞7.1米>10釐米。

首先，糾正一個錯誤，直線是沒有端點的，因此也就無所謂長度，線段才有長度，這是小學數學的基礎知識；其次，點沒有大小，所以無論是10釐米的線段還是20平米的方形，你都無法表述它有多少個點，也就無從比較。

首先，明確一下，10釐米長的只能是線段，不是直線！把10釐米長的線段放到正方形裡面，只要能確定正方形內有一個點不線上段上，就可以證明，正方形內的點比線段上的點多！

當然是正方形擁有的點多。因為正方形的面積是邊長╳邊長，它每邊的長度約為7。那麼四邊的長度就是28。28>/0，所以正方形擁有的點多。

有個最簡單的證明方法，你用筆畫一條十釐米的直線消耗的墨水跟畫五十平正方形塗滿顏色消耗的墨水哪個多就是哪個唄，假設塗滿一個點用的墨水是一樣的

點動成線，線動成面，你要是說一百米的線跟一平方釐米的正方形比還有點爭論的餘地，這直線扔到正方形裡還有能餘出來的地方嗎？還需要比較嗎？

先不討論直線和線段的定義，我認為這個問題提的好，而且我認為這不是提問，而是對現有科學的理論基礎提出質疑。我們現在的科學好像是建立在假設的基礎上發展出來的，說點構成線，線構成面，面構成體，而點無大小，那為什麼線就有了長度，面就有了面積，體就有了體積呢？理論上線段和麵裡包含的點一樣都是無窮多，可是理論正確嗎？

還標準化研究院的！標準化業餘小組的水平都不夠！直線有長度嗎？10cm長是直線嗎？不，是釐米，cm你可能不知道！

先說一下，可能教育不一樣，我們上小學時有長度的叫線段，直線和射線沒有長度。

現在說10釐米的直線或者說線段和50平方米的長方形哪個擁有的點多？ 其實是無窮多，沒有等於也沒有大於或小於。

有個很有趣的故事

這個問題說的是數學家希爾伯特提出的無限旅館悖論：我們設想有一個旅館，內設有無限個房間且已客滿。這時來了一個新客，想訂一個房間，沒問題。把1號房間的旅客挪到2號房間，2號房間的旅客挪到3號房間，以此類推，就剩下了1號房間，新來的客人就住1號房間。也就是說無論後面來多少人，這個旅館都可以安排得下。甚至是無窮個旅客來了照樣安排得下，例如你可以把目前所有的旅客挪到奇數號房間去，這樣就剩下偶數號的房間供這無窮個新來的客人使用。

怎麼比較大小呢其實很簡單，假如有兩個籃子比較大小，可以在裡面放雞蛋透過雞蛋的數量來比較大小，因為雞蛋是實物有固定大小。 你放一個雞蛋我放一個雞蛋，最後你裝了10個放不下了，我卻能放15個。所以15個的比較大。

但是點沒有大小。而且說的是誰擁有的多。那就有意思了，也開始放點吧！ 為了方便比較兩個換成10釐米線段和50平方長方形。

也是長方形在一個邊距離角1釐米的地方擁有一個，線段在1釐米的地方也擁有一個，你在1.1釐米地方擁有一個點，我也在1.1地方擁有一個點，直到1.11111到無窮處都擁有一個點。你或者說一個50平方的長方形能佔你10釐米的線段無數個。

這個旅館悖論也舉例了，來了無窮多個旅行團，每個旅行團有無窮多個客人。老闆仍然有辦法，辦法就是歐幾里得證明過的素數有無窮多個，具體操作辦法如下。

1、旅館原有的客人分別安排到第2號房間，第4號房間，第8號房間……第2的n次冪號房間……

2、第1個旅行團的客人分別安排到第3號房間，第9號房間，第27號房間……第3的n次冪號房間……

3、第2個旅行團的客人分別安排到第5號房間，第25號房間，第125號房間……第5的n次冪號房間……

4、以此類推，取下一個素數依次安排客人入住。

希爾伯特旅館問題也被稱作希爾伯特悖論，因為有些結論是非常反直覺的。

所以線段和長方形誰擁有點多這個問題答案是都是無窮大沒有誰比誰多，因為點沒有大小，即使你沒法畫出來或測量出來但是你不能否認在在1.111…到無窮大個1處有個點。

不想回答問題，想吐槽出題人的數學能力！直線是兩端沒有端點的，向兩邊無限延長，請問十釐米的直線是幾個意思？那叫線段！

肯定不一樣多了呀？！！！你知道可數性無限數嗎？？？就像1到2之間的小分數多，還是1到3之間的小分數多？？雖然都數不完，都是無限的，但是1-3之間的小分數包含著1-2小分數吧。同理，10釐米的線段裡的點數不可計算的，但是50平米的正方形裡面包含著無數個10釐米的線段，所以說50平方米的點數一定比10釐米上的點數多。再說一個最簡單的例子，是撒哈拉沙漠的沙子多吧？數不過來，無數的對不對？？那如果和整個地球的沙子比多少呢？？？顯而易見，對吧。

其實幾何的基礎理論就有謬誤。比如說無數個點構成了線，但我們知道：點是零維空間，線是一維空間，無數個零維空間就能形成一維空間嗎？

其實，這個問題可以變化成為簡單的小學算式：10/0和(5x10)/0的結果比大小，結果都是無窮大，沒有可比性，結論就是：提出這個問題的人沒有腦子，文雅一點的說法就腦痴

關鍵在於對點的定義！若點是有幾何尺寸的，則面肯定大於線！若點是無窮小，則需進行進一步分析：線是由多少排點構成的？也就是線條有寬度嗎？若有寬度，則面大於線！因為面比線寬一庭的倍數！若無寬度，則同樣長的面比同樣長的線的點多無數倍！假設點的直徑為r，則長度為L的線有L／r個點，而長度為L，寬度為M的面有LM／r＾2個點！面／線＝M／r！再求r→0的極限，則面比線的點數多無窮大倍！

綜上所述：面比線的點數多！

首先說這個問題不是一個弱智問題，這裡涉及模糊數學理論，研究兩個無窮大之間有沒有大小之分。一個長滿頭髮的人拔掉一根頭髮他是不是變成禿子？肯定是沒有，那拔掉2根呢？依然不是，以此類推那我們能不能得出結論，是不是都拔光也不會變成禿子？實際肯定不是這樣，這就是迷糊數學。其實兩個無窮大的數是有區分的，這裡要看各自的域是否有包含關係，如果有包含，雖然不能定義誰大誰小，但我們可以說一個域包含另一個域。

首先我們將題目修正為10釐米的線段和50平方米的正方形誰包含的點數多。接下來我們先來探討一下有限集的比較。

當我們有兩個有限集合，比如一罐石子和一群羊。如果我們將羊圈設計出一個一次只能透過一隻羊的門，令羊群中的羊依次透過門，當第一隻羊透過門口時，向罐子放入第一枚石子，之後每透過一隻羊就往罐子裡放一枚石子。所有羊通過後，罐子裡的石子剛好和羊群的羊一樣多。於是我們在兩個不同的集合之間建立了一個一一對應關係，而這個關係的存在也說明兩個集合中的元素是一樣多的(重點)。

接下來，我們把同樣的方法推廣到無限集，比如所有正整數集和所有偶正整數集，前者是1,2,3...，後者是2,4,6...，從直觀上講，前者包括後者，前者的點數當然多過後者(歐幾里得公理，部分小於全體)。但如果構建這樣一個對映，對任何一個正整數，將其乘以2就得到了一個偶正整數，可以證明這個對應關係是一一對應的，於是可以認為兩個無限集的點數是相同的。這是最具爭議的地方，實際上這種一一對應說明的跟我們在有限集時所說一樣多是有區別的，是說明兩個點集中的點數是同樣等級的無窮大——一般稱為基數相同，而正整數的基數被稱為阿列夫零。

接下來數學家們施展了魔法，找到了有理數與正整數集的一一對應法則。又證明了實數集無法與正整數集建立一一對應，也就是說對任何法則，實數集中總有額外的點不與任何正整數對應，從而證明了實數集的基數要大於阿列夫零。

接下來，透過一個正切函式就可以建立起一個開區間(-pi/2,pi/2)到整個實數域的一一對應關係。而後，很容易證明任何長度大於0的開區間都可以和整個實數域建立一一對應。

接下來，我們可以在10釐米的線段上建一個座標軸，以線段上任意點到指定端點的距離和總長度的比值作為座標，接下來將這個座標寫為一個0到1的十進位制的數，將其中奇數位提取出來，剩下的偶數位也提取出來，於是就得到了兩個實數(例如0.652734就變成了0.623和0.574，注意實數的位數可以無窮多)，它們可以分別和正方形的一對臨邊中的一條建立一一對應，而由座標系的知識，平面上任何一點可以和兩條臨邊中各取一點所組成的有序對建立一一對應，於是線段跟正方形存在一一對應，也就是基數相同。

因此我們的結論是一條線段和一個正方形都是由無窮多的點組成的集合，兩者的基數相同，是同一級的無窮大。

因為題主的問題是哪個集合擁有的點多，那麼我們可以回答說“一樣多”。

以上的理論最早是由十九世紀末的數學家康託提出的，他的理論遭到了強烈的反對，而他的導師則是反對他最強烈的人，在重壓下，康託患上了精神疾病，但這並沒有妨礙人們在康託的集合理論基礎上重構了幾乎所有數學分支的基礎。今天的數學系學生，會一次又一次的重溫關於集合和對映的理論與計算，而上述關於序數/基數的討論也成了很多數學分支的基礎。

首先更正一下，10釐米的線段和邊長為5根2的正方形！

其次，這是大學數學～實變函式的一個經典例題！簡單說就是一個集合到另一個集合的對應，能建立一一對應，就可以說點一樣多！具體如下：

1.長為10釐米的線段與長為1釐米的線段點一樣多！可以用位似圖形來證明，或把它們都放在座標系x軸正半軸上，比如前者表示3.1415的點和後者表示0.31415的點對應……反之亦然（充要條件）！實際上就是縮小為原來的1/10，因此就是位似！

2.邊長為5根2的正方形和邊長為1的正方形，點一樣多！證明方法如上！具體把兩個正方形都放在第一象限，其中它們的一個點與原點重合，這樣前者內部及邊界上的任何一個點都可以寫成（5根2×a，5根2×b）其中a，b均為0到1之間的實數，顯然與（a，b）對應，而後者在小正方形中！反之亦然！

3.這樣問題就化歸為單位正方形，與單位線段之間的對應！

4.對於0到1之間的實數a，b，都可以寫成無限小數的形式，a=0.a1a2a3……b=0.b1b2b3……於是構造小數0.a1b1a2b2a3b3……顯然這個小數在0到1上是唯一的，反過來，後者也可以拆成兩個小數，拆法：奇數位順序不變構成a，偶數位構成b！這裡說明一點1=0.9999……也可以進行如上操作！這樣就是：正方形內部及邊界的任何一個點(a,b)，與單位線段上的點一一對應！於是二者點一樣多！

綜上所述，完善後的標題就證明完畢！

我只記得老師說，一條直線或線段，有無數個點，管你有多長。所以你這個問題是白問瞎問。我也只是看到別人長篇大幅的來回答這個問題才多嘴回了你一下，不然我真的懶得回答。就一句話的事

一、從數學上講，這是兩個無限大的數比大小的問題。

在數學上有個無限小的概念，無限小是多小？沒有數學家能說得清楚，反正是你有很小，我有更小。如此這般，這種問題就會失去了探討的意義，也沒辦法去比較。

但如果我們追溯數字的由來我們會發現，數字最初其實都是有其本來的意義的。比如，1個蘋果、2個蘋果……100個蘋果，每個數字都能跟具體的客觀事物相對應。同時，我們為了測量距離，發明了長度這個單位。當1米的長度定義好之後，我們分成10份就得到了1分米；分成100份就得到了1釐米；分成一千份我們就得到了1毫米。

二、無限小長度的物理意義。

我們從第一段的分析來看，不論是數學還是幾何，其實其起源都是對於日常生活經驗的總結。每一個數字，每一幾何圖形（點、線、面）都有其實在的物理意義。從這個角度來說，數學（包括幾何）可以看做是物理學的工具或者是分支。所以，站在科學的角度我們不得不去探討下去，長度真的可以無限細分下去嗎？如果我們現在把1毫米拿出來，再細分下去，會發生什麼呢？有沒有可能無限制的分割下去呢？現代的物理學（廣義相對論和量子力學）告訴我們，長度的最小量是存在的，這就是普朗克長度。

普朗克長度，是長度的自然單位，以作為標記。有意義的最小可測長度。普朗克長度由引力常數、光速和普朗克常數的相對數值決定，它大致等於1.6x10的-35次方米，即1.6x10^-33釐米，是一個質子大小的10^22分之一。經典的引力和時空開始失效、量子效應起支配作用的長度標度。它是“長度的量子”。

從這個意義上來說，我們很容易就可以看出，50平方米的正方形所能包含的普朗克空間的數量是大於10釐米直線上的普朗克空間的數量的。

三、普朗克空間就是盡頭嗎？

其實也是未必的。小夥伴看到這句話的時候千萬不要噴我啊，我並不是想把所有的話都說了，而是確實如此，且看老郭下面的說明：

我們今天的探測能力其實還很有限，到了今天，物理學家們用高能粒子對撞機發現能最小的不能再分割的粒子有61種，它們的半徑長度都在10^-16數量級附近。這個尺度跟普朗克長度10^-35比較起來是不是實在是太大了？目前看上去，我們可能會在10^-16數量級的尺度上停留很久，並沒有什麼研究能表明我們可以有能力切開電子。

一條10釐米的線段上邊有無窮多的點，但是50平方米的正方形面積上面就有無窮多的10釐米長的線段，所以這個50平方米麵積上，就會有無窮多個無窮多的點。從邏輯推理的結果，得到了50平方米麵積的無窮大>10釐米線段的旡窮大。雖然都是無窮大的事物，但也得看兩個整體的範圍，而不能單純看同一性。