數學的特點是，你把東西定義清楚了，結果就顯然了。

在這裡，你先得定義那個 ∞ 符號是什麼。

按一般的記號習慣，比較集合數量大小的無窮基數用 ℵ 相關的符號表示，推廣自然數次序的超限序數則用 ω 相關的符號表示。

至於 ∞，則在分析中一般表示無界的變數範圍或無界發散的極限值、給實數或複數系的緊化新增的無窮遠點之類人造的點。

基數和序數都可以定義算術和比較，不過符號都不用 ∞。

考慮無窮基數的話，集合基數的和是無交集合並的基數，任何無窮基數 + 1 結果都不變。比如說 ℵ0+1 = ℵ0，ℵ1+1=ℵ1，如此之類。這就是一些人說的自然數集合裡 添個元素還和原來的集合有同樣多的元素。

考慮超限序數的話，集合序數的和是在兩個良序集的無交併上定義一定良序關係後定義的。不過對於 +1 這個運算，可以自然地看成下一個序數。因為序數本身就表示序關係，所以對某序數 a，有 a < a+1。對於超限序數也是這樣的，比如 ω < ω+1 < ω+2 < … < ω+ω。對一般人來說序數比基數更晦澀一些。

∞ 這個東西，如果用在區間中表示無界變數的範圍，那麼區間算術可以用平移來定義。比如說開區間 (1,2) 平移 1 是 (2,3)，可以記成 (1,2) + 1 = (2,3)。那麼對有限值 a，區間 (a,∞) + 1 就是 (a+1,∞)，上界仍然無界不變；(-∞,a)+1 是 (-∞,a+1)，下界仍然無界不變；(-∞,∞) + 1 是 (-∞,∞)。注意區間算術的結果是數集，因此可以劃等號。至於序關係如果需要可以自己定義。

∞ 如果用於表示無上界或無下界發散的極限：因為 lim f(x) 無界，所以 lim( f(x) + 1 ) 也一定無界，從而有 lim(f(x)) + 1 無界。不過注意這裡雖然會用 lim f(x) = ∞ 表示極限無界，但這裡等號只是一種簡寫方式，兩個無界發散的極限並不能就這麼直接認為相等。無界的函式可能透過增長的階（商的極限）來定義大小，也可能在兩點緊化的實數中當成同一個東西。雖然可以寫 lim f(x) = ∞ 和 lim f(x) +1 = ∞，但一般不會寫 lim f(x) = lim f(x) +1。具體的定義要看上下文而定。

∞ 如果用於表示實數的一點緊化，即 R 與 {∞} 的並集。 那你要定義四則運算滿足的各種好的性質，還要能把原來實數的定義嵌入進去。就 ∞ + 1 來說，考慮到運算的封閉性，結果要麼是 ∞，要麼還是個實數 a。但如果 ∞+1 = a 是實數就會得到實數 a-1 = ∞ 不是實數這種矛盾了；所以只能定義 ∞+1=∞。這時候不需要定義 R 並 {∞} 上的序關係你也知道只能有 ∞+1=∞。不過這時無法定義 ∞ - ∞ 運算作為加法的逆運算（否則會有 0 = 1 之類矛盾），代數性質已經不夠好了。

實數的兩點緊化、複數的一點緊化之類擴張也有類似的問題，定義出來的運算未必能滿足所有好的代數性質（比如數域的性質）。不過相對合理地定義出的運算基本上都是 -∞ + 1 = -∞，+∞ + 1 = +∞ 之類相等的結果，不需要透過序關係比較大小。

一樣大！因為∞+1還是∞（無窮大），只要緊緊抓住定義就能明白！嚴格來講，不能進行∞+1這種運算方式，因為無限不能和有限進行基礎運算，但考邏輯思維都能明白的事情，卻迷惑不少外行人！

一個劇本引起的數學問題。怪不得這幫演員讓人感覺都沒什麼文化呢，原來都沒學過什麼文化課。這個數學課裡就有講，一個無窮大的數加上一個有理數沒有意義，還是無窮大。別說加一，就是加一個億也還是一樣的。

無窮大是指一個變數在變化過程中其絕對值永遠大於任意大的已定正數,這個變數叫做“無窮大”,用符號“∞”來表示。有人會想一個數＋1肯定會比這個數大啊，但是我們並不能找到一個具體的數來代表∞，高數極限中有當x趨於∞時，有limx/x+1=1,所以∞與∞+1應該為等價無窮小變。　　

回答這個問題，毫無意義。無窮大是不可計量的數，而無窮大+1也就是無窮，無窮大加上減去任何一個有界的數他都是無窮大，但你還不能說他倆相等，因為如果要減一個天窮大他們就不等了。也不知道小編是怎麼學的高數。在我看來，無窮大隻有在有界函式才能使用！例如：

“無窮大”或者“無窮小”本身就存在一些無法解釋的bug。舉個例子，我向一個靶子開槍，子彈剛開始與靶子的距離是100%，子彈向靶子飛，越來越近，距離還剩50%，還剩30%，還剩10%，還剩1%，還剩0.1%，還剩0.01%……如果數字真的可以“無窮大”或者“無窮小”，那麼我這個小數點後面的位數可以無限加，也就是說子彈永遠無法打中靶子！但是事實告訴我們子彈是可以打中靶子，甚至可以穿透靶子。所以“無窮大”或者“無窮小”本身就是bug的存在，無法拿來比較大小。

無窮大本身不是一個固定的值，而是表示某個量在特定極限下會很大，以至於大於任何已知數。

比較兩個“無窮大”一定要有表示式，只寫∞是沒有意義的。比如x趨於無窮大，x+1也趨於無窮大，但是對於相同的x，後者一定比前者大。

補充，有些時候我們會見到

lim x + 1 = ∞ + 1 = ∞

這樣的表述，但是這也僅僅是一個極限的表示而已，表示一個趨向無窮大的數加一仍趨向無窮大，是表明“極限的關係”，而不是“數值的關係”。

數學邏輯:

第一種情況，假設∞+1＝∞，那麼1＝0？

第二種情況，假設∞+1＞∞，那麼1＞0？

第三種情況，假設∞+1＜∞，那麼1＜0？

很顯然，這是個偽命題。

在這裡，我想區別一下無窮跟無數的差別，一滴水由無數個水分子組成，而不是無窮個水分子，無數:多，有邊界最終可以計量，無窮，多但無邊界窮不盡。

當然是不能比較的。

無窮不是一個數，無窮是指一個變數無限增大的概念，記住它是一個變數，一個變數加上一個常熟還是變數，兩個變數是無法比較的。要比較，只能比較他們的增長速度。

但是在特定的函式的表達方式中，求函式的極限，這個極限就是常量，那麼這時候就可以比較了。

簡單的說排序時∞排在∞+1前面但∞＝∞+1

之前看過一個講∞與∞後一位數（既∞+1）的關係的影片。我覺得裡面說的最有道理的一句話就是物理規則是發現的數學規則是創造的，我們需要一個無限大後的一位數字所以就有了∞+1。

這個無窮（無窮大和無窮小）它本無界，即就是有參照數G，（這在證明無窮大或小時用，而且具有任意性）它也不是定值，故稱無窮。（要多大有多大，要多小有多小）比方正數，越接近於0其值越小，但最小的數是誰？儘管這裡面形式一樣，但內容未必一致。（好比x+1與y哪個大？x,y都在變且不能取定）跟引數（可變性跟確定性）也不一樣。上面的G有引數的性質。故無窮的本質變且不確定。所以不能比較大小。

提這個問題的人絕對不能理解無窮大，數學中的無窮大並不是一個具體的數字，但是比任何一個具體的數字都大，這個數學思想，很難用言語解釋清楚。無窮有無窮大和無窮小，思想相同，對於理解不了的人來說真的很糾結……

不過，理解不了就不必要去理解了

這裡的無窮大不可以比較大小，無窮大就是無窮大，一個永遠取不到的數怎麼加一，確切說沒有∞+1這種寫法。如果存在確切含義和表示式可以取用極限的辦法比較，學過高數都知道，通常兩個無窮大的差的極限是不能直接確定，必須轉化成其他形式求極限，題設連個表示式都沒，沒有具體含義，是無法比較的。

從數學的角度來說，你這種問題根本不成立，但從生活的角度來說，或許還真有答案，但是去深入探討這種問題也毫無意義啊

別說∞+1，就是∞+∞和∞也差不多一樣大，除非涉及到無窮小比階，兩個都是一次數，大小就差不多，因為這是模糊的，它只用來說明一個界，因此界比大小沒有任何意義，只需要知道這個數非常大即可。

無窮大加一，必然大於無窮大，高等數學裡比如123456……如此排列是無窮多的數，但是246810……也是無窮多的數，那麼哪個排列球更多呢，明顯是前者，因為後者如果是∞，那麼前者就是2∞，數學中以此來區分

看對數學學到什麼程度了，簡單來說就是等勢，y1=x,y2=1+x.y1和y2之間能形成一個一一對應的關係。每一個y1都能找到一個y2和它對應，反之亦成立。所以他們相等。說無窮大隻能是變數的，只能說數學還有很多東西你沒去了解到。整數的個數就是無窮多，這是實實在在客觀存在的事實。

無法比較!這個是極限問題，∞＋1，1相對於∞可不記大小，所以∞+1可看做∞!就這樣子!關鍵是要理解∞的含義!

數學裡，無窮大之間沒有可比較的概念，只有同階與高低階的概念，無窮大加一與無窮大是同階，舉個高低階例子，無窮大符號的平方是無窮大符號的高階無窮大，僅此而已，無窮大是一個不定的未知數，未知數無法比較大小。

這個問題問的非常好，無窮大和無窮大加一，是否一樣大？好的，我看一個數列，1、2、3、4這樣無窮下去，肯定是無窮大。一個數列1，1.1，1.01，1.001.......他們無限下去，總和也是無窮大，那麼他們相等嗎？顯然兩個無窮大並不相等。假設一個數列是1、2、3、4.......一個數列是1、2加上1/2、3加上1/6，4加上1/12，.......這個數列只和比上個數列只和相比，肯定更大，大多少呢？大1-1/（X-1乘以X），X趨近無窮時，上公式等於1，所以這個無窮大比上一個無窮大大1，能夠明白麼？初中火箭班數學題，希望沒解錯給老師丟臉。畢竟二十年了。