連續的是限定性條件，它的理解基於後邊的名詞。

比如連續的自然數，那就要考慮自然數的特徵，都是相差1的，比如連續的奇數，質數等也是一樣的。

關於世界是不是連續的在某種意義上說是一個哲學問題。在數學中連續的概念和無窮的概念也是緊密相連的，數學史上也有不同的流派，承認或者不承認無窮的存在（也有承認可數無窮、不承認不可數無窮的學派），透過這些假設可以得到很多不同於主流數學的結果。比如現在大部分數學家都承認的選擇公理（這是一個公理，無法證明，只能作為結論來用），在研究集合論的數學家中就有很多人不承認。

無窮集合的勢簡單來說就是一個無窮集合中元素的多少，最常見的兩種叫做可數無窮和不可數無窮。通常一個有限的集合元素多少我們可以數一數，比如100個，1000個，10000個甚至1億個。但是對於無窮集合怎麼數呢？數學家透過建立1-1對映的方法來數數。如果一個集合能和自然數建立1-1對應的關係，也就是說集合的元素可以寫成n1,n2,n3,...，那麼這個集合就叫做可數的，否則就叫做不可數的。整數是可數的、有理數是可數的，實數是不可數的。可數和不可數的區別在於後者特別多。當然在不可數的集合中，勢就更重要了，因為可以證明一些不可數的集合要比另一些不可數的集合元素少，最簡單的構造方法是“冪集”，如果集合A是一個不可數的集合的話，那麼集合A的所有子集構成的新的集合B勢就比A大。那麼集合B的所有子集放在一起形成的集合C勢就比B大，所以不存在最大的勢（有時候也叫基數）。可數集合的重要性在於，它可以用數學歸納法來研究，對於不可數集合來說數學歸納法就不好使了。幸運的是很多不可數集合都有可數的稠密子集（比如有理數在實數中稠密），這樣一些命題（不是全部）只要在實數的可數稠密子集上是對的，那麼在實數上就是對的。

另外從物理上在說一下連續。事實上，人們從未接觸過具有無限性的實體。從心理上說，無限、無窮是我們對某種操作的聯想產物。沒有哪個具有無窮性質的事物，不可被分解為“操作”+“時間”的組合。。無窮大的數，也可以被理解為加法算式永恆進行的產物。

在數學中，連續是函式的一種屬性。直觀上來說，連續的函式就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函式。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函式被稱為是不連續的函式（或者說具有不連續性）

不知道你是高中學生還是大學，如果是高中生，也可以這樣理解：

第一，數字上的連續，好比吃飯，一口一口“連續”不停地吃，中間的“間斷”可以忽略的情況。

第二，影象上的連續，中間沒有分段的。

第三，階段性的連續，比如“連續”上45分鐘的課就休息一下繼續上課，這45分鐘內是連續的，45分鐘後是“另一個連續”的課堂，兩個連續不一定一樣，也不一定不一樣哦。

“你這幾天連續表現好，媽媽這幾天連續給你拿錢，表現不好就減少給你拿錢”

和以下知識對應，幫助學生更好的理解，單獨的陌生文字反而使學生理解困難，對了 ，還可以用圖表示

連續是函式的一種屬性。連續的函式就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函式，這是一部分知識還有知識不擴充套件開了。

天地之間的萬物都在時間的長河中流淌著，變化著。從過去變化到現在，又從現在變化到將來。世界上的一切量，都跟隨時間的變化而變化，運動永恆。

時間是最原始的自行變化的量，其他量則是因變數。如果在某一變化過程中有兩個變數x，y，對於變數x在研究範圍內的每一確定的值，變數y都有唯一確定的值和它對應，那麼變數x就稱為自變數，而變數y則稱為因變數，或變數x的函式。

學過高數後，對於不少關於函式和極限的新概念，難免會產生不少困惑，其實這都是正常的，要習慣並且逐漸接受和理解需要一個過程。今天筆者就來談談最容易令大家所困擾的連續的概念及其相關知識。

連續

連續(Continuity)的概念最早出現於數學分析，後被推廣到點集拓撲中。

假設f:X->Y是一個拓撲空間之間的對映，如果f滿足下麵條件，就稱f是連續的:對任何Y上的開集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的開集。

其實，函教在某點連續就是三個條件：

1.函教在該點有定義；

2.函敬在該點極限值存在；

3.函教在該點極限等於函教值。

若只考慮實變函式，那麼要是對於一定區間上的任意一點，函式本身有定義，且其左極限與右極限均存在且相等，則稱函式在這一區間上是連續的。

分為左連續和右連續。在區間每一點都連續的函式，叫做函式在該區間的連續函式。

函式、極限和連續之間的內在聯絡

連續必有極限,有極限未必連續”.

一個函式f(x)在點x0處連續必須有三個條件：

1,函式f(x)在點x0處有定義；

2,函式f(x)在點x0處有極限；

3,函式f(x)在點x0處的極限等於該點的函式值f(x0).

這三個條件缺一不可,是判斷函式在該點連續的充要條件.

因此說函式有極限是函式連續的必要不充分條件.至於函式在區間上的連續,開區間兩個端點處是否連續並不要求；閉區間的在左端點要求右連續,右端點要求左連續。

連續與一致連續

這兩個概念來自於實際問題、現實世界,是數學分析中非常基礎也是非常重要的概念。我們經常觀察到的一些自然現象有一些共同特性：例如氣溫的變化，生產的連續進行，生物的連續生長等等，反映出來的是事物連續不斷地進行的過程。如果用函式來刻畫，即研究函式的連續性。數學分析研究種種不同性質的函式，其中有一類重要的函式就是連續函式。

二者的定義：

一致連續性是一個“整體”性質，而連續性是一個“區域性”性質。一致連續是比連續更強的一種連續。強在何處呢？強在有一個共同的8，那麼除了從解析方面來理解外，從幾何方面又該如何理解呢？

說白了，就是一直連續性保證的是函式影象更加平滑，而在整個區間上避免了突然出現陡、筆直等尖銳的變化。注意此刻一致連續性的重要性就凸顯了，是整個區間的性質，整個區間避免比較突兀的走勢變化。

最常用的反例就是1/x這個函數了，1/x在其定義區間上不一致連續。從幾何意義上怎麼看呢？如下圖

當然，在閉區間上連續與一致連續是一回事。

話外話，權當結語

這次疫情相信會讓很多人明白一個道理，如何函式的連續性一樣，那就是人是需要勞動的，而且需要持續勞動。勞動使我們的生活充滿意義。馬克思說過，勞動使人類與動物區別。我們可以像鹹魚一樣躺屍在家中，但是如果我們的精神狀態疲軟，心理健康出現問題，那最後會影響我們的免疫力，從而影響到身體狀態。

疫情期間讓我們很多人沒有心思安靜學習。但是我覺得在一天當中的時間，即使只花兩三個小時集中注意力做一些事情，我認為已經足矣。劇可看，覺可以睡，只要每天投入兩三小時，讀書寫字思考，這個投入節奏足以讓我們的心態穩，認知提升。這樣等到疫情結束的時候，我們至少也會有一些收穫。當我們進入了專注的狀態，我們會自願地多投入一些積極的時間。

對於處在疫區的同學，我們即將開學，第一仍要要務就是要做好防護，調整好心態。堅韌耐煩，等待雲開見日時。我們與你同在。

由連續到離散這條路走了很多年紀，大家都覺得分分割割的事不容置疑…但離散到連續就無法走得通，因為任何每一個零散體不論多麼微小都已經成為獨立的整數歸定化。。。，要連續起來必須要有“焊接”這個語法理想？！

～想法和做法本身並不連續～所以法理不妥。路不通暢…就反思——結果又開始精彩，分割的破壞性和歸整化解釋，無限迴圈和無限不迴圈之不可操作和無限性等等等等問題，就像分門別類的化學反應，如同庖丁解牛那麼複雜哦？最後[覺得其中不乏不對稱的定律或者規律存在]

連續與稠密早期是沒有分別的。其共性就是“任何給定的區間內，存在無窮個元素”。例如，有理分數。在兩個分數之間，存在無數個分數。早期認為“有理分數與0與相反數”可填滿數軸。因此，任何兩條線段長度之比都可用一個有理分數表示。

後來，證明了“正方形對角線與邊長之比，不能用有理分數表示。”也就是說2的平方根不是有理數。邏輯展開，數軸上除去有理數之外，還有許多空孔。稠密的有理數並不連續。數軸上的點才是連續的。在集合論中，證明了以下一些定理：

一，有理數與自然數之間，可構成一一對應。作為兩個無限集，類似有限集“一樣多”。稱為兩個集合勢相同。

二，無理數集的勢比有理數之勢更大。有理數等與無理數集合並，稱為實數集。

三，公理：實數集與直線上的點集是”同一個集”。稱為連續集。

一元函式中的連續函式。是在自變數連讀的前提下來定義的。

ε―δ語言所定義之函式連續。在有理數範圍內。照樣可成立。因此，自變數必須是連續數集。這一點應在定義中明確。只是，在有理數範圍內，不能把ε―δ定義，轉化為極限定義。存在極限時，極限可不是有理數。

就是不間斷，這個沒啥難理解的啊。如：從0-5之間連續的自然數有哪些？答：｛0，1，2，3，4，5｝；從0-5之間連續的偶數有哪些？答：｛0，2，4｝；從0-5之間連續的實數有哪些？答：｛x|0≤x≤5｝。這個可以理解吧

連續與間斷相對。

簡單來說不間斷就是連續！

對於一條線段來說，可以無限分割，沒有空隙。

區域性裡， 隨便取，總存在點與分割處對應。

舉個例子來講，電腦上的圖片 如果放大就可以看到是一個一個的畫素點，組裝起來的， 無限放大就會失真！

放大後點與點之間出現了空白！

出現了間斷點！

如果不管怎麼放大都沒有空白，這就是連續的。

（連續性在《數學分析》中是非常有影響力一個概念，它不僅本身發揮著重要作用（例如：作為函式的三大特性：連續性、可微性、可積性，之一）而且與許多其它概念都有關聯（例如：極限），所以，要搞清楚它著實需要花一些力氣！這裡，小石頭準備用 十個話題，將 連續概念的 全貌展現給大家，希望大家能喜歡！）

連續 就是 一個接一個持續不間斷 之意。日常生活中 的 繩子、電源線、項鍊 都是 具有連續性質的事物，這些事物都是由一個個子物件組成，這些子物件排成一條線，物件之間沒有間斷。

最初，人們認為：

整數集 Z 是不連續的，因為 在 0 和 1 之間，存在 1/2 將它們隔開；

有理數集 Q 是連續的，因為 Q 具有 稠密性： 在任意 兩個 不同的 有理數 之間，都存在 無數個有理數；

但是，後來隨著 √2 的發現，人們才知道 有理數 之間 還存在 無理數，因此 有理數集 Q 不連續，而有理數 + 無理數 組成的 實數集 R 才是真正 連續的。

同時，人們還認識到 稠密性 ≠ 連續性，我們需要重新尋找 實數的連續性的定義！早期，人們將 實數 和 直線上的 點 一一對應，而幾何上，直線被定義為是連續的，因此與 直線 一一對應的 實數集 也是連續的，後來，經過漫長的歲月，數學家發現，對於某個數集 K，可以進行如下分割操作 ：

K 的所有數字依從小到大，從左到右，在我們面前排成 一條線。我們用刀去砍這條線，一刀下去，將 一條線 分為左右 A，B 兩段 ，顯然， A 和 B 滿足條件：

左半 邊 A 中的 任意 數字 都小於 右半邊 B 中的任意 數字

稱 滿足上面 條件 的這種 分割操作，為 戴德金分割，記為 A|B。人們發現，因 K 是否連續，戴德金分割的結果有差異：

如果 K 不連續，則 這條線上存在縫隙，當 刀剛好 從某個縫隙點穿過 時，分割的結果是：A 沒有 沒有 最大值 並且 B 沒有 最小值；

如果 K 連續，則 這條線上 不存在縫隙點，於是 刀 一定砍在 某個點 x 上，又因為點不能被分割，於是刀要麼從 點 x 的左邊穿過，這時 B 的最小值是 x，要麼從 點 x的右邊穿過，這時 A 的最大值是 x；

於是，大家就將上面的結論2 作為 數集K的連續性定義。實數集 R 符合這個定義的要求 而 有理數集 Q 不滿足，我們稱 實數為 連續性系統，簡稱，連續統。

不僅僅是直線，平面上的 曲線 也都是連續性的，而 曲線又與 實函式關聯，於是，連續的概念就成為實函式的一個重要性質。那麼，具體是 如何 在 實函式上定義連續性呢？這就是我們這裡要展開的第二個話題。

一個實函式 f(x) 定義為 實數集 R 的子集 E 到 實數集 R 的 對映，記為, f: E → R (E ⊆ R)。我們要搞清楚 整個 函式 f(x) 的 連續性，就要先搞清楚 函式 f(x) 在 定義域 中的 每一個 點 x₀ 處的連續情況。

首先，如果 x₀ 點 不存在，即，x₀ ∉ E，則 函式 f(x) 在 x₀ 點 看上去的確是不連續， 我們稱 這樣的 點 x₀ 為奇點。

將定義域 E 中的 連續部分 對映為 值域 R 中 連續的像集

而 對於 E 的不連續部分，由於 根本沒有機會體現 f 的連續性，同時也無法找到 不連續的 證據，所有 我們只能預設 這部分點 在 f 上 是連續的 。

接下來，我們先分析 E 中的連續部分中的點。

設 E 中 x₀ 附近定義域區域性是連續的，如果 f 在 x₀ 點 是連續性，則根據 保持連續性 要求， f(x₀) 附近的影像 也應該是連續性。但是，事實上，函式值 f(x₀) 可以與其 右邊、 左邊 或 兩邊的 函式值 斷開，

這些情況，都違反了 保持連續性，因此 這時 函式 f(x) 在 x₀ 就是不連續的，我們稱 這樣的點 x₀ 為 f(x) 的一個斷點。而只有當 函式值 f(x₀) 與其 兩邊的函式值 都連貫，

才能 說 函式 f(x) 在 x₀ 連續，我們稱 這樣的點 x₀ 為 f(x) 的一個連續點。

我們仔細觀察，上面 x₀ 左邊連續、右邊斷開 的情況，

就會發現：

由於左邊連續，當 x 從 左邊無限逼近 x₀點 時， 函式值 f(x) 也會 無限逼近 f(x₀)；

而 因為 右邊斷開，當 x 從 右邊無限逼近 x₀點 時，函式值 f(x) 所無限逼近的 值 A 和 f(x₀) 之間 相差 斷開的 間距 b ，從而不相等；

我們 稱 x 從 左邊、右邊 或 兩邊 無限逼近 x₀點 時， 函式值 f(x) 所無限逼近的 值 A 為 f(x) 在 x₀ 點的 左極限、右極限 或 極限，分別記為：

也寫成：

這裡 x → x₀ 表示： x 無限逼近 x₀ 點，方向沒有限制；x₀⁻ 與 x₀⁺ 分別限制 只從 x₀ 的左邊 與 右邊 逼近。

則，根據上面的發現， 函式 f(x) 在 x₀ 點 連續，就意味著：f(x) 在 x₀ 點的極限 是 f(x₀ )，即，

這就是，函式在點 x₀ 處連續的第一種定義。

接著，再考慮 E 的不連續部分對於 上面定義的影響。我們用 x → x₀ ∈ E 來表示 在 E 內 受 E 的制約下 x 無限逼近 x₀，即，只有當 E 使得 x₀ 左（或 右）連續時，從 左（右）邊逼近 才被啟用：

於是，上面的定義也相應修改為：

這樣以來，E 的不連續性 被從 f(x) 的 連續性中 完全排除，f(x)的連續性 只要保證 E 中連續的部分保持連續 就好了。例如，以下 E 中的不連續點 對於 f(x) 都是連續的：

特別是 x₀ 這樣的 孤立點，使得 既不能從 左邊逼近 也 不能從 右邊，於是 逼近 失去意義，它總是連續的！

最後，在 函式 f(x) 關於點x₀ 連續性定義基礎上，我們只要再定義：

如果一個函式 f(x) 在每一個點 x₀ 處都是連續的，則稱該函式 f(x) 是連續函式。

上面極限定義中用 箭頭 表示的 “無限逼近” ，僅僅是一種直覺概念，並不是 明確的 數學定義。 這種早期的微積分漏洞，後來被數學家用 ε-δ 語言 補足。

對於 任意 極限 x → x₀, f(x) → A，我們 令，

δ = |x - x₀|

則 δ 表示 當前 x 逼近 x₀ 的逼近距離，由於 無限逼近 要求 x ≠ x₀，所以 逼近距離 δ = |x - x₀| > 0。

同理，可以 令，

δ" = |f(x) - A| > 0

於是，極限 x → x₀, f(x) → A，可以描述為：

當 x 到 x₀ 的 逼近距離 δ 無限小時， f(x) 到 A 的逼近距離 δ" 也跟著無限小。

這裡 δ" 的無限小，就意味著：

給定義 任意 f(x) 到 A 的逼近距離 ε 都 存在 （δ 導致下 的）逼近距離 δ" < ε。

將這句話，翻譯成數學語言，就是：

對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 |x - x₀| = ε 的 點 x 有 |f(x) - A| < δ

這就是 最初 極限的 ε-δ 語言定義，但 這個定義存在瑕疵，考慮下面的情況，

函式 f(x) = sin(1/x) 在逼近 x₀ = 0 時的值會不停在 -1 到 1 之間震盪，所以 x₀ = 0 應該沒有 極限值才對。但是根據 上面的 定義， A = 0 卻是 x₀ = 0 處的極限，因為：

對於任意 的 ε > 0 ，總存在 δ = 1/ π > 0，使得 滿足 |x - 0| = δ 的 x = ±1/ π 有 |sin(1/x) - 0| = |sin(±π)| = 0 < ε

為了避免這種的情況發生，我們要求：

隨著 δ 的減小 δ" 是遞減的，即，對於 任意 逼近距離 小於 δ 的逼近點 x，都有 f(x) 到 A 的 逼近距離 小於 δ"

翻譯成數學語言，就是：

對於 任意 滿足 0 < |x - x₀| < δ 點 x 都有 |f(x) - A| < δ"

用這個要求，修正前面的定義，最終 ε-δ 語言下 極限的定義：

如果 對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 0 < |x - x₀| < δ 的點 x 都有 |f(x) - A| < ε，則 稱 A 是 f(x) 在 x₀ 點的極限。

對於，左極限 或 右極限，我們只需要在上面定義中，加入 x < x₀ 或 x > x₀ 的條件就可以了。

與極限類似，我們也可以用 ε-δ 語言 來描述 前面的 函式的一點連續性：

給定 f(x) 上的一點 x₀，如果 對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 |x - x₀| < δ 的點 x 都有 |f(x) - f(x₀)| < ε，則 f(x) 在 x₀ 點處連續。

這裡允許 x = x₀ （區別於 極限的定義）有兩方面原因：

已經規定了 x₀ 是 f(x) 上的點，即，x₀ ∈ E 存在；

為了讓 孤立點 是 連續點。

一個 m 元函式 記為 f: E → R (E ⊆ Rᵐ)，其中，

稱為 m 維歐氏（向量）空間，R¹ = R 就是 實數空間。

注意：這裡 變數 的上標 和 變數 的 下標 一樣，表示 序號。

也就是說，多元函式 f(x) = f(x¹, x², ..., xᵐ) 就是以 向量 x = (x¹, x², ..., xᵐ) 為 變數的 函式。

設 x₀ = (x¹₀, x²₀, ..., xᵐ₀) ∈ E，並且 x₀ 周圍的 定義域 連續性。

我們，定義 x → x₀ 為：

x¹ → x¹₀, x² → x²₀, ..., xᵐ → xᵐ₀

其中 個變數 的 無限逼近 是 獨立的，這保證了 向量 x 可以從任何方向 逼近 向量 x₀ 。

這樣以來，前面 一點連續的第一個定義中極限條件，對於 多元函式，就解釋為：

接著，我們在 Rᵐ 中定義 向量 x 與 x₀ 之間的 距離為：

| x - x₀| = √[(x¹ - x¹₀)² + (x² - x²₀)² + ... + (xᵐ - xᵐ₀)²]

注意：這裡 () 的上標 表示指數。

這樣以來，前面一元函式一點連續的 ε-δ 語言 描述 對於多元函式依然有效。

多元函式 的連續性，依然是 對 E 內部而言的，忽略 E 本身的 不連續部分。

到這裡，我們的升級並沒有結束。既然 向量可以作為 函式的 變數，那麼 就可以 作為 函式的 值，這樣的函式 稱為 向量函式。

多元向量函式 f: E → Rⁿ (E ⊆ Rᵐ)，可以認為是 n 個 m元函式 的向量，即，

f(x) = (f¹(x), f²(x), ..., fⁿ(x))

於是，前面 一點連續的第一個定義中極限條件，對於 多元函式，就解釋為：

而，上面已經定義了 距離，故 一點連續的 ε-δ 語言 描述，對於 多元向量函式 也是無縫 一致。

一個複函式，記為 f(z) : C → C ，其中 複平面 C 二維平面 R² 的擴充套件，具有 R² 的完全性質。複函式 可以寫為：

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

它將 一個複平面 上的 任意 點 z₀ = x₀ + iy₀ 對映為 另一個複平面 上的點 f(z₀) = u(x₀, y₀) + iv(x₀, y₀)，同時，將整個前一個複平面 對映為 後一個複平面的一部分。

點 z₀ 附近 的連續或間斷情況如下：

極限連續條件：

在這裡的意思是：z 從任意方向 無限接近 z₀ 時，f(z) 都會無限接近 f(z₀)， 解釋為：

用 ε-δ 語言 描述為：

對於任意 實數 ε > 0，都存在 實數 δ > 0，使得 對於一切 |z - z₀| < δ 的 複平面上的 點 z 都有 |f(z) - f(z₀)| < ε。

其中，複數間距離定義為：

|z - z₀| = √[(x - x₀)² + (y - y₀)²]

首先，我們思考：一條線 上缺失點，則 這條線 一定斷開，不再連續，但，一個 平面 上 缺失點，則 只能 說明 這個平面 有 破洞，不再完整，不能說明 平面 不連續，更高維度的空間也是如平面一樣。因此，對於 任意維度空間 V，來說，我們用 完整的概念 來代替 連續，稱為 空間 V 的完備性。可以認為，完備性 是 連續概念的 升級， 一維空間的 完備性 就是 連續性。

其實，多元函式，也已經不僅僅侷限是一條曲線了，它們可能是曲面 或 超曲面，其所謂 連續性也只是表示 曲面 上沒有破洞 ，即， 完整之意，但 為了 相容性，我們依然 稱之為 函式連續性。

其次，我們 第一個話題 中討論的 數集 K 的 連續性定義，預設要求 K 中元素 是可以排除一條直線，而高維度的空間是 平面 或 超平面，根本就不是 直線，因此 這個定義無法 被 完備性 使用，我們需要 重新尋找，一種新的方法，來判定 空間中 是否有 點的缺失。

要 判定 空間 V 中 某個點 A 是否缺失，我們首先要 指向 這個點 處，前面 極限的無限逼近 是一個好的 思路，

如果 我們 可以找到： 一個 函式 f: E → V（E ⊆ R），當 x 無限逼近 x₀ 時，f(x) 無限逼近 某處，則

如果 V 在 該處 沒有缺失，對應 點 A，則 f(x) 在 x₀ 點的極限 存在，就是 A；

如果 V 在 該處缺失，則 f(x) 在 x₀ 點沒有極限；

如果，判別 函式 f(x) 是 無限逼近 某處 呢？原來的 ε-δ 語言下的 判別標準：

對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 0 < |x - x₀| < δ 的點 x 都有 |f(x) - A| < ε

顯然不行，因為 我們 無法 確定 A 點 是否存在，不過我們可以對這個判別標準，進行修改：

對於 任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 0 < |x - x₀| < δ 的任意兩點 x = x₁, x₂ 都有 |f(x₁) - f(x₂)| < ε

這個新判別標準，避免了 A 的出現，但又 可以證明 與原判別標準 等價，堪稱絕妙。

至此，我們就有了 V 完備性的一個粗糙條件，

任意一個 在 x₀ 滿足 新判別標準 函式 f(x): E → V，都在 x₀ 處 有極限

這個條件有些複雜，可以做進一步簡化，我們 固定 x₀ = ∞，讓 E 為 自然數集 N 並令，

a₀ = f(0), a₁ = f(1), ...., a_n = f(n), ...

這樣 我們就將 函式 f(x) 轉化為 序列 a₀, a₁, ....，函式 f(x) 在 x₀ 處是否極限，轉化為 序列 a₀, a₁, .... 是否收斂。對於序列 新判別標準也更簡單：

對於 任意 ε > 0，都存在 自然數 N ，使得 任意 自然數 m, n > N 都有 |a_m - a_n| < ε

稱，滿足這個條件的序列為基本列。於是 空間 V 完備性的 最終定義為：

如果 V 中任意基本列 都是 收斂列，則稱 V 是完備的。

這個定義，僅僅要求 V 中定義有距離 |a_m - a_n|，我們前面已經定義了 歐氏空間 Rᵐ 中的 距離，因此 這個定義可以用於 判斷 歐氏空間 的 子集 E 的 完備性。

空間 V 中的距離，是 V 上的 二元函式 d(x, y): V × V → R，它滿足：

正定性：d(x, y) ≥ 0，d(x, x) = 0；

對稱性：d(x, y) = d(y, x)；

三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z)；

我們稱 定義有 距離函式 的空間 V 為 距離空間，記為 (V, d)。可以驗證前面定義 的 距離 滿足上面的條件。

空間完備性定義，對於任意一個距離空間都適用。

注意：一個空間可以定義多種距離函式，例如 Rᵐ 中也可以這樣定義距離：

d(x, x₀) = |x¹ - x¹₀| + |x² - x²₀| + ... + |xᵐ - xᵐ₀|

上一個話題 引入了 距離空間 的概念，如果我們回顧，前面 多元向量函式的 ε-δ 語言所描述 的 連續性 定義，就會發現，這個定義也僅僅依賴於 距離。這說明，對於 任意距離空間 (V, dᴠ) 到 (W, dᴡ) 的對映 f: V → W，我們都可以定義其一點連續性為：

如果 對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 dᴠ(x, x₀) < δ 的點 x 都有 dᴡ(f(x) - f(x₀)) < ε，則 f(x) 在 x₀ 點處連續。

對於 實函式 f(x) 定義域 E 中 的 任意集合 U， 定義 U 在 f 下的像 為：

f(U) = {y : ∃ x ∈ U，f(x) = y}

然後，再仔細觀察比較，f(x) 在 x₀ 點，兩邊斷開 的情況，

以及 兩邊連貫 的情況，

我們就會發現：

如果 x₀ 是 間斷點，則 存在 真包括 f(x₀) 的區域 V，對於 任意 真包括 x₀ 的 區域 U 都 無法 使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 內；

如果 x₀ 是 連續點，則 對於任意 真包括 f(x₀) 的區域 V，都 存在 真包括 x₀ 的 區域 U，使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 內，

其中，區域 U 真包括 x₀ ，的意思是： U 包括 x₀ 但不僅僅 包括 x₀。

這裡必須是真包括，因為，如果 允許 U 只包括 x₀，即， U = {x₀} ，則 f(U) = {f(x₀)} 顯然包含於 V，於是，上面的 發現1 就不成立了。

考慮 包含 x₀ 的開區間 (a, b)，因為 a < x₀，根據 實數的稠密性，一定存在 x₁ 使得 a < x₁ < x₀，故 (a, b) 一定不僅僅包括 x₀，於是，要讓 U 真包括 x₀，我們只需要讓 U 包括 包含 x₀ 的開區間 (a, b) 就可以了。我們稱 包括 x₀ 的某個開區間 的區域 為 x₀ 的鄰域。

對上面的發現2進行整理，我們就可以得到 實函式一點連續的第二個定義：

如果 對於任意 f(x₀) 的鄰域 V，都 存在 x₀ 的 鄰域 U，使得 f(U) ⊂ V，則 稱 函式 f(x) 在 x₀ 點連續。

若，令 V = {y : |y - f(x₀)| < ε}，U = { x : |x - x₀| < δ }，則 上面的定義 其實就是 第一個定義的 ε-δ 語言 描述了。

對於多元向量函式，因為 平面，超平面 沒有 區間一說，所有，我們用 開集 代替 開區間，重新定義鄰域如下：

包括 x₀ 的某個開集 的區域 稱為 x₀ 的鄰域。

至此，這第二個定義，就可以無縫遷移到 元向量函式 上了。同樣以 前面的複函式 f(z) 為例，觀察比較 z₀ 附近 連續 和 間斷的 情況，

這與前面的發現完全一致。

這個全新的一點連續定義僅僅依賴鄰域的概念，而鄰域又是由開集來定義，所以 任意集合 只要 在其中 指定 開集， 我們就可以得到 其上 對映連續性了。

指定了開集的 集合 X，被稱為 拓撲空間，如果用 τ 表示 X 中 全體開集組成的 子集族，則 拓撲空間 記為 (X, τ)。開集 是 開區間 的拓廣 概念，它需要滿足如下條件：

全集 X 與 空集 ∅ 都是開集；

任意 多個 開集的 並 依然是開集；

任意 兩個 開集 的 交 依然是開集；

我們，可以 證明 拓撲空間 是比 距離空間 更廣泛的 空間。

拓撲空間之間的 對映，稱為 拓撲對映，其 一點連續性，由第二個定義提供。

類似前面的 連續函式 概念，我們定義 對映的整體連續性，如下：

如果 對映 f 在其 定義域 中 每一點 都連續，我們稱 f 是連續對映。

這個定義依賴，一點連續性！其實，對於 拓撲空間 (X, τᵪ) 到 (Y, τᵧ) 的 拓撲對映 f: X → Y，我們也可以 用開集 來直接定義 其整體連續性。

對於 對映 f 的 值域 任意 區域 V ⊆ Y，定義 V 在 X 中的 原像 為：

f⁻¹(V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V}

再回到最開始，觀察比較，連續實函式 與 非連續實函式，

我們發現：

對於連續函式：任何開區間（開集） A 的 原像 f⁻¹(A) 依然是 開區間（開集）；

對於非連續函式：存在開區間（開集） A 的 原像 f⁻¹(A) 不是 開區間（開集）。

對上面的 發現1，進行整理，我們就到如下 關於 拓撲對映整體連續性的 定義：

如果 拓撲對映 f，使得 Y 中的任意 開集 A 的原像 f⁻¹(A) 依然是 X 的開集，

即，

∀ A ∈ τᵧ ⇒ f⁻¹(A) ∈ τᵪ

則稱 f 為 連續對映。

除此之外，我們將 閉區間 推廣為 閉集 ，定義如下：

開集關於全集X的補集，

然後，再根據進一步觀察比較，閉集於上面的情況，

不難發現：

對於連續函式：任何閉區間（閉集） A 的 原像 f⁻¹(A) 依然是 閉區間（閉集）；

對於非連續函式：存在閉區間（閉集） A 的 原像 f⁻¹(A) 不是 閉區間（閉集），

這說明，我們將上面 拓撲對映整體連續的定義 中的 開集 替換為 閉集 後 依然 有效。

考慮實函式 f: E → R (E ⊆ R)，如果 對於任意 實數 ε > 0，都存在 實數 δ > 0，使得 對於一切 |x₁ - x₂| < δ 的 x₁ 和 x₂ 都有 |f(x₁) - f(x₂)| < ε，我們就稱 f 是一致連續的。

我們只要將 x₂ 替換為 x₀ 並固定，則 上面的定義 就是 x₀ 點連續的定義，然後 再放開 x₀，則 上面的定義 保證了 每個 x₀ 處的連續性，進而，也就保證了 逐點連續，因此 一致連續的 一定是 逐點連續的。

但是反過來，逐點連續 不一定是一致連續了。考慮 前面那個 函式 f(x) = sin(1/x)，我們令

E = (0, π]，x₁ = 1 /(kπ) , x₂ = 1/(kπ + π/2)，k 是自然數，

則 有，

|x₁ - x₂| = 1/[(2k + 1)kπ]

|f(x₁) - f(x₂)| = |sin(kπ) - sin(kπ + π/2)| = | 0 ± 1 | = 1

這樣以來，對於 存在 實數 1 > ε > 0，對於 任意 δ > 0，由於 E 中的點 x₁ 和 x₂ 可以無限小， 於是 總是 存在 k 使得 |x₁ - x₂| = 1/[(2k + 1)kπ] < δ ，但 |f(x₁) - f(x₂)| = 1 > ε。這說明 f(x) = sin(1/x) 在 E 上 不是一致連續的。

那麼，什麼情況下，逐點連續 一定是 一致連續 呢？

由於 f 逐點連續，則意味著 給定 任意 ε > 0， 對於 每個 x₀ ∈ E，都存在 δ_x₀ > 0 使得 滿足 |x - x₀| < δ_x₀ 的點 x 都有 |f(x) - f(x₀)| < ε/2。

令，V_x₀ = { x ∈ E : |x - x₀| < δ_x₀/2}，因為 每個 x₀ ∈ E 都屬於一個 V_x₀ 所以，

如果，能 從 E 中找到 有限 n 個 x₀： x₀¹，x₀² , ..., x₀ⁿ 保證：

則，令

δ = min {δ_x₀¹, δ_x₀², ..., δ_x₀ⁿ } / 2

由於， 每個 δ_x₀ᵏ > 0， 而 n 是有限的，所以 δ > 0。

注意：這裡必須保證 n 有限因為，當 n 無限時，即便是 每個 δ_x₀ᵏ > 0，它們的最小值依然可以 為 0，例如：

min {1, 1/2, ..., 1/n, ... } = 0

對於 任意滿足 |x₁ - x₂| < δ 的 x₁ 和 x₂，中 必然 有 x₁ 屬於 某個 δ_x₀ᵏ，滿足，

|x₁ - x₀ᵏ| < δ_x₀ᵏ/2

根據 距離的三角不等式：

|a - b| ≤ |a - c| + | b - c|

有，

|x₂ - x₀ᵏ| ≤ |x₁ - x₂| + |x₁ - x₀ᵏ| < δ + δ_x₀ᵏ/2 ≤ δ_x₀ᵏ

由 |x₁ - x₀ᵏ| < δ_x₀ᵏ/2 < δ_x₀ᵏ 與 |x₂ - x₀ᵏ| < δ_x₀ᵏ 分別可得到，

|f(x₁) - f(x₀ᵏ)| < ε/2 與 |f(x₂) - f(x₀ᵏ)| < ε/2

再次使用 三角不等式，就得到：

|f(x₁) - f(x₂)| ≤ |f(x₁) - f(x₀ᵏ)| + |f(x₂) - f(x₀ᵏ)| < ε

這樣，就推匯出了 一致連續。

在推導過程中，我們要求：

可以從 E 的 任何 一個開區間（開集）的覆蓋（簡稱 開覆蓋） V = {V_x₀ : x₀ ∈ E}， E ⊆ ∪V 中找到 有限個元素的子集 W = {V_x₀¹, V_x₀², ..., V_x₀ⁿ} ⊆ V 依然是 E 的覆蓋 E ⊆ ∪W。

我們稱 滿足上面要求的 集合 E 為緊緻的。

數學家證明了：任意 閉區間 都是 緊緻的！所以說，閉區間上的 連續函式 一定是 一致連續的。

如果 從新令 E = [π, 2π]，則 E 是一個閉區間，於是之上的 連續函式 f(x) = sin(1/x) 這會就變成 一致連續的了。前面，由於 E 中的點 x₁ 和 x₂ 已經不可以無限小了，於是前面 的反例 也就不成立了。

考慮 實函式上 f 上任意一點 x₀ ，x₀ 與 右（左）邊斷開，有兩種情況，

x₀ 的右（左）極限存在，但不等於 f(x₀)，這種斷開 稱為 第一類間斷；

x₀ 的右（左）極限根本不存在，這種斷開 稱為 第二類間斷；

設 x₀ 是間斷點，如果 x₀ 只包含第一類間斷的 間斷點，稱 x₀ 為第一類間斷點，否則 稱 x₀ 為第二類間斷點。

如果 第一類間斷點 的 左極限 = 有極限，則稱 其為 可去間斷點。

單調函式如果有間斷點 則其必然是第一類間斷點。

前面我們用 完備性 替換連續性來 描述 空間是否有漏洞問題，如果空間的漏洞如刀痕，則這些刀痕 是有可能 將 整個空間 分割的，這就牽扯到了 空間的 連通性問題。

對於 一個拓撲空間 (X, τ) 可以有兩個不同的連通：

如果 X 不能分割為 兩個 不相交的開集的並集，即，

∄ A, B ∈τ ⇒ A ∩ B = ∅ ∧ A∪ B = X

則，稱 X 是連通的；

如果 X 中任意兩點 x, y 都存在 從 x 到 y 的 道路，即，

∀ x, y ∈ X ⇒ ∃ r: [0, 1] → X ⇒ r(0) = x ∧ r(1) = y

則，稱 X 是道路連通的；

拓撲空間之間的 連續對映 f: X → Y，可以保持 連通性，即，如果 X 是 連通的，則 其 在 Y 中的像 f(X) 也是 連通的。連續對映 也可以保持 道路連通性 以及前面的 緊緻性。這些可以被 連續對映 保持的性質，稱為 拓撲性質。

其次，前面提到的 有理數（實數）的 稠密性，與 有理數 在 實數 中 稠密 是兩個概念。

我們說 拓撲空間 X 的 子集 A 在 X 中稠密，是指 對於 X 中的每個點 x 都有 A 中的序列 a₁, a₂, ...， 收斂於 x（一般定義為： A 的閉包 Ā = X）。

有理數 在 實數 中 是稠密，因為 對於 每個實數 x，

要麼表示為 有限小數，例如：x = 1/2 = 0.5，則， 收斂於 x = 1/2 的序列 就是 0.5, 0.5, ...；

要麼表示為 無限迴圈小數，例如： x = 1/3 = 0.3⋯，則，收斂於 x = 1/3 的序列 就是 0.3, 0.33, 0.333, ...；

要麼表示為 無限不迴圈小數，例如： x = π = 3.14159⋯，則，收斂於 x = π 的序列 就是 3.1, 3.14, 3.141, ...；

其三，連續性與可導性 之間，靠極限關聯。由於，f(x) 在 x₀ 點的導數定義為：

如果 f(x) 在 x₀ 處不連續，則 當 x 趨近 x₀ 時，|x - x₀| 趨近 0 ，|f(x) - f(x₀)| 不趨近 0，這導致 f’(x₀) = ±∞ ，即， f(x) 在 x₀ 處不可導。

以上結論的逆反命題，就是：

f(x) 在 x₀ 處可導 則 f(x) 必然在 x₀ 處連續。

反之則不成立！大名鼎鼎的 Weierstrass 函式，就是處處連續處處不可導的極端例子。

其四，函式連續性 可以在 函式的代數運算 上保持，即，連續函式的 加減乘除 依然是 連續函式。微分，積分 也可以保持 函式連續性。逐點收斂的函式序列，也可以保持 函式連續性（而函式上 的可導性 與 可積性，則 要求 是一致收斂）。