美國詩人奧登（W.H.Auden, 1907~1973）曾武斷地說：“負負得正，其理由我們無須解釋！”奧登的話暗示我們：許許多多的人在徒勞地尋求“負負得正”這個“悖論”就讓他嚐到了苦頭。事實上，自從負數 概念進入數學課本以來，人們就沒有停止過“負負得正”合理性的質疑。“負負得正”成了一個教學難點。
對於這個問題，也許有人會用M.克萊因的“負債模型”進行回答：
“一人每天欠債5美元，給定日期（0美元），3天后欠債15美元。如果將5美元的債記成-5，那麼每天欠債5美元，欠債3天可以用數學算式來表達：3×（-5）＝-15. 同樣，一人每天欠債5美元，那麼給定日期（0美元），3天前，他的財產比給定的日期的財產多15美元。如果我們用-3表示3天前，用-5表示每天欠債，那麼3天前他的經濟情況可表示為（-3）×（-5）=15”。
翻閱了我們使用的教材。然而我十分失望，因為教材的說法沒辦法解釋我們的疑惑！教材的相關內容如下：前面已經得出：3×（-2）=-6“再試一試：（-3）×（-2）=？把它與（-3）×2=-6,對比，這裡把一個因數“2”換成了它的相反數‘-6’，所得的即積應該是原來的積‘-6’的相反數6，即（-3）×（-2）=6 .”。那為什麼其中一個因數替換成相反數，積就一定會變成原來的相反數？對此書本並沒有任何解釋。
事實上，教材使用的思路是先透過對比“3×2=6”和容易解釋的“（-3）×2=-6”這兩個等式，總結出“兩數相乘，若把一個因數換成它的相反數，則所得的積是原來的積的相反數.”於是再進一步由於“（-3）×（-2）是在（-3）×2的基礎上，把因數‘-2’換成相反數‘2’，於是所得的積也會是原來的相反數‘6’。”
可以說，整數集Z上的一個二元運算是一個函式f:Z×Z→Z。如果f在自然數集合N上的限制f:N×N→Z的值都落在N內，而且和自然數乘法的結果一致，它就可以被看作是自然數乘法運算在整數上的推廣，可以被叫做整數“乘法”。
顯然是因為，負負得正的整數普通乘法比起其他的對自然數乘法的推廣來說，有它的好處，而且是大好處。
（﹣5）×（﹣100）
什麼意思？是你賣草莓連續﹣5天每天虧損100元？好像哪裡不對勁。在這種現實情境下有點說不清道不明。
那咱們用數學的方法試試。
在說明負數乘負數之前先來複習一下小學的幾個運算律，當然受過九年義務的“摧殘”的我們都會。
我們由0=0×（﹣100）開始
我們利用了已有的加法和乘法運算律，中間出現了（﹣5）×（﹣100），怎麼辦？我們只能讓它的結果是500。
蘇聯著名數學家蓋爾範德（I.Gelfand, 1913~2009）則作了另一種解釋：
3×5=15：得到5美元3次，即得到15美元；
3×(－5)=－15：付5美元罰金3次，即付罰金15美元；
(－3)×5=－15：沒有得到5美元3次，即沒有得到15美元；
(－3)×(－5)=+15：未付5美元罰金3次，即得到15美元。
兩百年前，法國有一個男孩叫司湯達，他小時候特別熱愛數學。當他在學校學到乘法法則的時候，對“負負得正”這個法則，完全沒有辦法理解。於是他向老師迪皮伊先生請教，然而老師對他的提問卻是不屑一顧，讓他記住就好。司湯達又去問補習學校的數學老師夏貝爾先生，夏貝爾先生不勝其煩，不斷重複書本的描述不能讓小司湯達滿意，最後丟擲一個“負數如同欠債”這樣的比喻。然而這仍無法解釋小司湯達的困惑：“500法郎的債乘10000法郎的債，得到5000000法郎的收入？”，這怎麼解釋得通？
“負負得正”這個問題困擾了司湯達很久，最後他被迫接受了這個法則，但數學這門學問的嚴密性也讓他深深質疑。以後他對數學再也沒有那麼大的興趣了，而把更大的興趣放在了文學上。後來聰明的司湯達成為了一位偉大的文學家，名著《紅與黑》正是出自他的手筆。
這個故事令人唏噓不已。要是當年司湯達的老師認真考慮一下同學的提問，而不是直接用“這是規定，沒有為什麼”之類的語言搪塞，扼殺學生的好奇心，那麼或許以司湯達的聰明才智他也會在數學上很有成就呢！
證明1（由相反數的意義）由抽象代
數知識：Ｚ是整環，Q是Z的分式城，故（Q，
+，·）構成環（其中Q為所有有理數構成的集合，乙是所有整數構成的集合）對任意的a，c∈Q，且a，c>0因為（Q，+）構成群，故存在b=Q，使得a+b=0（0為Q中的零元），又團為bc=（0-a）c=[0+（-a）]c=0-c+
（-a）e=（-a）c，即bc=（-a）c（*）.兩邊同時加上ac，得：ac+bc=ac+（-a）c.因為（Q，+，·）構成壞，由乘法對加法的右分配律：
（-a）c＋ac=[（-a）+a]c=0-c=0，即；ac+bc=0，也即bc=-ax，聯合（*）式得：bc=（-a）c=-ax. 故：（-a）c=-ac.
結論1：兩個有理數a，c相乘，把a換成-a後，即（-a）與c相乘為原來積ac的相反數ac.對a與（-c）相乘，可由結論l得結論2：兩個有理數a，（-c）相乘，把a換成-a後，即-a與-c相乘為原來積（-ａｃ）的相反數ａｃ．
但事實上，這也就隱含地說明了“負負得正”的原因。
讀書時還有一個疑問，在學習無理數時對“無理數”這個名稱感覺怪怪的，有理數是“有道理的數”？無理數難道是“沒道理的數”？既然沒道理我們還學它幹嘛？這個疑問直到多年後偶然看到孫維剛老師的解釋才迷團頓解。
原來，“有理數”和“無理數”這兩個名詞是從西方傳來，在英語中是“rational number”和“irrational number”。而rational通常的意義是“理性的”，日本人據此把它翻譯成“有理數”和“無理數”。
中國在近代翻譯西方科學著作，照搬了日語中的翻譯方法。但是，這個詞來源於古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這裡的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而並非“沒有道理”。所以更為合適的翻譯應為“可比數”和“不可比數”，有理數都可化為兩個整數的比，無理數則不能，這樣從名稱就可以反映它們的意義和本質。
我想如果老師能對一些不易理解的概念名詞作合理的生活化的解釋，學生就可以更輕鬆地接受新概念，更順暢地理解新概念，也更自然地加深了記憶。
有人這樣用類比的方法解釋乘法符號法則的合理性：
好為正，壞為負。
好人好報是好事⇒ 正×正=正；
好人壞報是壞事⇒ 正×負=負；
壞人好報是壞事⇒ 負×正=負；
壞人壞報是好事⇒ 負×負=正。
細想一下，其中的道理確有相通之處，正是日常事理與數學規則的完美結合。
“19世紀德國數學家漢克爾（H.Hankel）早就告訴我們：在形式化的算術中，‘負負得正’是不能證明的。大數學家F.克萊因（F.Klein）也提出忠告：不要試圖去證明符號法則的邏輯必要性。”
參考文獻
1.佟巍, 汪曉勤. 負數的歷史與“負負得正”的引入[J]. 中學數學教學參考, 2005(Z1): 126-128.
美國詩人奧登（W.H.Auden, 1907~1973）曾武斷地說：“負負得正，其理由我們無須解釋！”奧登的話暗示我們：許許多多的人在徒勞地尋求“負負得正”這個“悖論”就讓他嚐到了苦頭。事實上，自從負數 概念進入數學課本以來，人們就沒有停止過“負負得正”合理性的質疑。“負負得正”成了一個教學難點。
對於這個問題，也許有人會用M.克萊因的“負債模型”進行回答：
“一人每天欠債5美元，給定日期（0美元），3天后欠債15美元。如果將5美元的債記成-5，那麼每天欠債5美元，欠債3天可以用數學算式來表達：3×（-5）＝-15. 同樣，一人每天欠債5美元，那麼給定日期（0美元），3天前，他的財產比給定的日期的財產多15美元。如果我們用-3表示3天前，用-5表示每天欠債，那麼3天前他的經濟情況可表示為（-3）×（-5）=15”。
作為規定翻閱了我們使用的教材。然而我十分失望，因為教材的說法沒辦法解釋我們的疑惑！教材的相關內容如下：前面已經得出：3×（-2）=-6“再試一試：（-3）×（-2）=？把它與（-3）×2=-6,對比，這裡把一個因數“2”換成了它的相反數‘-6’，所得的即積應該是原來的積‘-6’的相反數6，即（-3）×（-2）=6 .”。那為什麼其中一個因數替換成相反數，積就一定會變成原來的相反數？對此書本並沒有任何解釋。
事實上，教材使用的思路是先透過對比“3×2=6”和容易解釋的“（-3）×2=-6”這兩個等式，總結出“兩數相乘，若把一個因數換成它的相反數，則所得的積是原來的積的相反數.”於是再進一步由於“（-3）×（-2）是在（-3）×2的基礎上，把因數‘-2’換成相反數‘2’，於是所得的積也會是原來的相反數‘6’。”
可以說，整數集Z上的一個二元運算是一個函式f:Z×Z→Z。如果f在自然數集合N上的限制f:N×N→Z的值都落在N內，而且和自然數乘法的結果一致，它就可以被看作是自然數乘法運算在整數上的推廣，可以被叫做整數“乘法”。
顯然是因為，負負得正的整數普通乘法比起其他的對自然數乘法的推廣來說，有它的好處，而且是大好處。
實用方面的考慮（﹣5）×（﹣100）
什麼意思？是你賣草莓連續﹣5天每天虧損100元？好像哪裡不對勁。在這種現實情境下有點說不清道不明。
那咱們用數學的方法試試。
在說明負數乘負數之前先來複習一下小學的幾個運算律，當然受過九年義務的“摧殘”的我們都會。
我們由0=0×（﹣100）開始
我們利用了已有的加法和乘法運算律，中間出現了（﹣5）×（﹣100），怎麼辦？我們只能讓它的結果是500。
蘇聯著名數學家蓋爾範德（I.Gelfand, 1913~2009）則作了另一種解釋：
3×5=15：得到5美元3次，即得到15美元；
3×(－5)=－15：付5美元罰金3次，即付罰金15美元；
(－3)×5=－15：沒有得到5美元3次，即沒有得到15美元；
(－3)×(－5)=+15：未付5美元罰金3次，即得到15美元。
兩百年前，法國有一個男孩叫司湯達，他小時候特別熱愛數學。當他在學校學到乘法法則的時候，對“負負得正”這個法則，完全沒有辦法理解。於是他向老師迪皮伊先生請教，然而老師對他的提問卻是不屑一顧，讓他記住就好。司湯達又去問補習學校的數學老師夏貝爾先生，夏貝爾先生不勝其煩，不斷重複書本的描述不能讓小司湯達滿意，最後丟擲一個“負數如同欠債”這樣的比喻。然而這仍無法解釋小司湯達的困惑：“500法郎的債乘10000法郎的債，得到5000000法郎的收入？”，這怎麼解釋得通？
“負負得正”這個問題困擾了司湯達很久，最後他被迫接受了這個法則，但數學這門學問的嚴密性也讓他深深質疑。以後他對數學再也沒有那麼大的興趣了，而把更大的興趣放在了文學上。後來聰明的司湯達成為了一位偉大的文學家，名著《紅與黑》正是出自他的手筆。
這個故事令人唏噓不已。要是當年司湯達的老師認真考慮一下同學的提問，而不是直接用“這是規定，沒有為什麼”之類的語言搪塞，扼殺學生的好奇心，那麼或許以司湯達的聰明才智他也會在數學上很有成就呢！
高等數學中“群”、“環“等知識進行的解釋與證明證明1（由相反數的意義）由抽象代
數知識：Ｚ是整環，Q是Z的分式城，故（Q，
+，·）構成環（其中Q為所有有理數構成的集合，乙是所有整數構成的集合）對任意的a，c∈Q，且a，c>0因為（Q，+）構成群，故存在b=Q，使得a+b=0（0為Q中的零元），又團為bc=（0-a）c=[0+（-a）]c=0-c+
（-a）e=（-a）c，即bc=（-a）c（*）.兩邊同時加上ac，得：ac+bc=ac+（-a）c.因為（Q，+，·）構成壞，由乘法對加法的右分配律：
（-a）c＋ac=[（-a）+a]c=0-c=0，即；ac+bc=0，也即bc=-ax，聯合（*）式得：bc=（-a）c=-ax. 故：（-a）c=-ac.
結論1：兩個有理數a，c相乘，把a換成-a後，即（-a）與c相乘為原來積ac的相反數ac.對a與（-c）相乘，可由結論l得結論2：兩個有理數a，（-c）相乘，把a換成-a後，即-a與-c相乘為原來積（-ａｃ）的相反數ａｃ．
但事實上，這也就隱含地說明了“負負得正”的原因。
一點感想讀書時還有一個疑問，在學習無理數時對“無理數”這個名稱感覺怪怪的，有理數是“有道理的數”？無理數難道是“沒道理的數”？既然沒道理我們還學它幹嘛？這個疑問直到多年後偶然看到孫維剛老師的解釋才迷團頓解。
原來，“有理數”和“無理數”這兩個名詞是從西方傳來，在英語中是“rational number”和“irrational number”。而rational通常的意義是“理性的”，日本人據此把它翻譯成“有理數”和“無理數”。
中國在近代翻譯西方科學著作，照搬了日語中的翻譯方法。但是，這個詞來源於古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這裡的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而並非“沒有道理”。所以更為合適的翻譯應為“可比數”和“不可比數”，有理數都可化為兩個整數的比，無理數則不能，這樣從名稱就可以反映它們的意義和本質。
我想如果老師能對一些不易理解的概念名詞作合理的生活化的解釋，學生就可以更輕鬆地接受新概念，更順暢地理解新概念，也更自然地加深了記憶。
有人這樣用類比的方法解釋乘法符號法則的合理性：
好為正，壞為負。
好人好報是好事⇒ 正×正=正；
好人壞報是壞事⇒ 正×負=負；
壞人好報是壞事⇒ 負×正=負；
壞人壞報是好事⇒ 負×負=正。
細想一下，其中的道理確有相通之處，正是日常事理與數學規則的完美結合。
“19世紀德國數學家漢克爾（H.Hankel）早就告訴我們：在形式化的算術中，‘負負得正’是不能證明的。大數學家F.克萊因（F.Klein）也提出忠告：不要試圖去證明符號法則的邏輯必要性。”
參考文獻
1.佟巍, 汪曉勤. 負數的歷史與“負負得正”的引入[J]. 中學數學教學參考, 2005(Z1): 126-128.