這個問題挺有意思的，個人做過一些思考，交流交流，有些問題的理解不說對錯，僅提供參考

1.先構造一個簡單的非嚴謹常識性問題理解1-0.999...的問題，如果一杯水，每天都喝掉裡面的90%，那麼最終這杯水什麼時候可以喝完？如果1-0.999...是等於0的，那麼最終肯定可以喝完，什麼時候可以喝完了？無窮天，永遠喝不完！這兩個結論有點互相矛盾，但是表述卻又是等價的。注意這兩個表述方式，能喝完但是要無窮天，這代表無窮天在可以理解的天數範圍，而不能喝完的範圍代表無窮天在不可理解的範圍。

2.用等比數列的方法來構造0.999...到1之間的數

0.999...=1-（1/10)^n，很顯然的要比0.999...大，所以只需要擴大分母部分的10，所以可以構造1-(1/16)^n，很顯然可以得出16進位制下的數0.FFF...，顯然十進位制下的0.999...這個數應該介於0.EEE...到0.FFF...之間，但是肯定比0.FFF...小.

3.戴德金分割(非數學專業，只知道個大約)

根據戴德金分割我們也可以顯然的證明在16進位制下0.FFF...=1.

根據10進位制下的0.999...=1和16進位制下的0.FFF...=1，我們可以推出無窮多個等式在不同的進位制下等於1.

4.根據2和3的推導，1=？，如何理解這些點，很顯然的問題是，在某個確定的進位制下，這些點不是一個點，也根本不相等。

5.根據2.3.4的結論，可以得到推論:

1)0.333...！=1/3的值，她只是在十進位制下的一個最精確描述

2)每一個進位制下的無限迴圈小數和分數形式下的p/q之間還有縫隙。

無限迴圈小學0.99999．．．．與1嚴格相等

這個問題並不能用初等數學的方法來理解，我下面舉幾個常見的初等方法

無懈可擊，對不對？但是我要說的是這三種方法只能幫助你直觀理解，但並不能把它們當成１＝0.999.....的嚴格證明．為什麼呢？因為0.99999....是無限迴圈小數，這的表示已經超出了我們認知的初等數學的範疇了；若類似的用以上這些方法，還可以簡單的證明出0.959....=0.96，這樣就陷入尷尬了，全部不成立了，整個數學都要崩塌了．怎麼辦？

我們並不能用初等數學的方法合理解釋它，首先要理解從有理數構造實數的方法出發，這時我們更加深刻的認識無理數，而不僅僅停留在我們的認知表面：

引入：設兩個非空有理數集合A和B，A並Ｂ為全體有理數，對任意的Ａ中的數a,和Ｂ中的數b,滿足a<b,mj A和B構成有理數集的一個分割Ａ／Ｂ．

Ａ和Ｂ可能的情況中有一種：Ａ中沒有最大數，Ｂ中沒有最小數，此時Ａ／Ｂ中沒有確定任何有理數，即Ａ和Ｂ中存在一個＂空隙＂，這些空隙就表示無理數，於是我們重新對無理數下一個嚴格的定義：Ａ／Ｂ是有理數的一個分割，若Ａ中沒有最大數，Ｂ中沒有最小數，則稱分割Ａ／Ｂ確定了一個無理數c,c大於Ａ中任何有理數，小於Ｂ中任何有理數；

於是我們根據上面得到實數的嚴格定義：由全體有理數，以及有理數的分割所確定的全體無理數，構成的集合構成實數集．

透過對以上的有理數無理數實數的定義之後，我們就可以對0.999....=1進行嚴格證明了

設x=0.9999...,作兩個有理數集的分割

根據前面的定義可以知道，Ａ／Ｂ確定了實數t=0.999....，分割Ｃ／Ｄ確定了實數1

為證明t=1,我們只需要證明這兩個分割是相同的，即證明Ａ＝Ｃ就可以了．

綜上所述，我們證明到Ａ／Ｂ和Ｃ／Ｄ是相同的分割，因此0.999．．．．＝１

我來簡單粗暴的回答這一個問題，易於小學5、6年級以上的學生理解。

我們知道：所有的有限小數都可以化成分數的形式。不過無限迴圈小數更是容易。例如：

0.11111…=1/9

0.22222…=2/9

0.33333…=3/9

……

0.88888…=8/9

【重點來了！】

沒有任何爭論，數學上。

但形式上的確不同，就是哲學意義上的問題了！

還有，物理學上也有問題，比如你以固定速度1m/s要達到1m處，按物理學計算需要1s，可是就要先到0.9m處，用時0.9s，再前進0.09m，又用0.09s，你是如何實現1s到達的？

一樣大！設x=0.9999……，10x=9.999……=9+0.9999……=9+x,x=1!得到1=0.9999……

這個問題根本就不存在爭論，它們確實是嚴格相等的(可以透過求極限來證明)。從《高等數學》極限的角度去理解，一句話：無限接近就等同於到達，所以1＝0.99999999……

1=0.999……。在初等數學裡，任何證明都是錯誤的。

有種證明方法叫做迴圈證明，由A證明B，B再證明A。我們看看迴圈小數的真實含義就知道所有的證明都是迴圈證明。

1/9=0.1111……，顯然1/9得出來的小數是無限小數，是寫不完的，但只有把0.111……寫完了才等於1/9。所以迴圈小數的真正含義是把無限迴圈和寫完劃等號，或者把無限迴圈之外沒寫完的的無限迴圈當做零，也就是無窮小等於零。

舉例來說明，一條線段長度為1，第一次取下0.1，依次繼續取下0.01，0.001……，不斷取下去，取下來的總長就是0.111……，無限取下去，總長度會無限接近1/9。等於1/9的情況是把無限次取線段的過程取完了。

我們更進一步分析0.111……=1/9有兩種含義。第一種是無限之外還有無限，1的迴圈永遠完不了，過程取完的含義是把無限之外的無限當做零忽略。第二種是無限次之後，取線段的過程真的完了，即在無限次數之後取下無窮小的線段實際上是零，含義還是無窮小等於零。

即然迴圈小數的出現就是預設無窮小等於零，那麼0.999……肯定等於1。真正要證明的是一些分數為什麼可以寫成迴圈小數，如0.111……=1/9。用文字描述就是如何證明無限迴圈表示寫完了所有位數，或者證明無限迴圈之外的部分等於零。

就測量而言：0.9=1-(1e-1)≈1，精度為e-1；0.99=1-(1e-2)≈1，精度為e-2；0.999...9=1-(1e-∞)，絕對精度不存在，1≠0.999...9，失之毫釐，差之千里。

就數學而言：0.999...=1-(1e-∞)=1。即1≡0.99...9，這隻能存在於數學世界，現實世界不存在。

就物理而言：數學可以純真到100%，物理不可逼真到99.999...%。

就哲學而言：1代表純真，0.99...9代表逼真。不存在絕對真理，只存在相對真理。

就藝術而言，1代表真是，0.99...9代表神似。真是反而不是，不似反而神似。

就軍事而言，1代表真形，0.99...9代表逼真。假的要與真的一樣，真的要與假的一樣。

不請自來，很榮幸為你解答這個問題。

看到這個問題，我也不想說一大堆的數學理論，就以機率論為例。（嚴格意義上，1於0.999迴圈是相等的）為了防止還有答友進來"教訓"我，補充一下。

我只想做個小小的假設。（機率為例）

如果你買一張彩票的中獎機率是0.9999999……，那麼，無論0.999……迴圈到無數位，可你依然有著那麼幾萬萬分之一的機率無法中獎。

如果這個機率是1呢？

那麼，無論如何，你這張彩票都會中獎。

所以誰大誰小呢？不同情況，結果不同。

1-0.99999999999...＝0.0000000000...故1＝0.999999999999...

21世紀了，如果是不能接受1=0.999...，那很抱歉，你學習不了高等數學，理工科的幾乎所有專業也同樣可以算是與你無緣了。

1與0.99...嚴格相等。

首先來看一下最常見錯誤就是1-0.99...＝0.00...1的，這裡注意錯誤的原因是一個無限小數的加減法居然得出的是一個確定的有限小數，這顯然是錯誤的。正確的結果應該是0.000...，這裡是不可能出現1的，因為出現1的前提是0.99...中9的個數是有限的。

第二種常見錯誤是，有人說初等證明不嚴謹，必須用到極限思想，事實上，初等證明足以。網上證明的方法很多，這裡我只說一個證法，好像之前沒人提到過，就是大家是否還記得，如何用分數去表示一個無限迴圈小數。其實很簡單，公式為0.abcabc..＝abc/999，比如0.789789...＝789/999，0.8989...＝89/99，所以0.9999...＝9/9＝1。

這個問題，雖然簡單，但證法多樣，從最簡單的小數性質，到高深的極限思想，從初等代數證明，到數形結合證明，結果殊途同歸，更加體現了數學大廈的堅實地基。

1－0.999.......=無窮小。所以這個問題實際上是在問無窮小等不等於0。套用第三個方法來說，也就是無窮小和0之間，存不存在一個數，大於0，而小於無窮小，即，無窮小有沒有大小。那麼我們看，lim(1/x)/(1/x^2)=無窮大，1/x^2是比1/x高階的無窮小，即處於0和1/x的極限之間的一個無窮小量。因此，無窮小不等於0，0.9999......也不等於1。