我覺得界限就在動機，而不在結果。

純數學不一定沒有用，但是它的研究東西不是為了有用，而是為了數學本身的推進，或者單純的好奇心和美感。研究的結果的價值判斷在於它對於數學本身是否重要，結果本身是否優美，以及證明中有多少原創和巧妙的思路。這種結果之後在實際中有用是完全可能的，只不過創造它的人在研究的時候並沒有考慮到這一點。

應用數學則不同，它的研究動機就是為了解決實際的問題。一個工程上的方程如何有效率的求出它的解，如何最佳化一個實際的生產過程，如何設計一個可行的演算法來解決一個具體的問題等等。這樣的研究的價值判斷，就在於結果出來能不能更好的解決要解決的問題，以及解決的效率是否高。至於裡面有多少新的數學思想，就不重要了。當然現在也有一些“應用數學”，在封閉的小圈子裡自己生造出來很多問題，自娛自樂，這樣的應用數學，就背離了應用數學的本源，在純數學看來也沒有價值。

目前仍然沒有相關數學有界性的證明。數學就是一門科學，用於解決生活中實際問題，數學既然源於生活，生活離不開數學，那麼在大千世界裡到處都有數學，大千世界林林總總無邊無界，所以數學是具有普適性的科學！

學數學就是為了能在實際生活中應用，數學是人們用來解決實際問題的，其實數學問題就產生在生活中。比如說上街買東西自然要用到加減法，修房造屋總要畫圖紙。類似這樣的問題數不勝數，這些知識就從生活中產生，最後被人們歸納成數學知識，解決了更多的實際問題。

我曾看見過這樣的一個報道：一個教授問一群外國學生：“12點到1點之間，分針和時針會重合幾次？”那些學生都從手腕上拿下手錶，開始撥錶針；而這位教授在給中國學生講到同樣一個問題時，學生們就會套用數學公式來計算。評論說，由此可見，中國學生的數學知識都是從書本上搬到腦子中，不能靈活運用，很少想到在實際生活中學習、掌握數學知識。

數學就應該在生活中學習。有人說現在書本上的知識都和實際聯絡不大。這說明他們的知識遷移能力還沒有得到充分的鍛鍊。正因為學了不能夠很好的理解、運用於日常生活中，才使得很多人對數學不重視。希望同學們到生活中學數學，在生活中用數學，數學與生活密不可分，學深了，學透了自然會發現，其實數學很有用處。

一、在應用數學知識中認識生活實際

我們以往的數學教學往往比較重視解答現有的數學問題，既課本上已經經過處理的問題。學生只需要按照學會的解題方法，一步一步地去解決問題就可以了，不需要考慮這些問題的來源和作用，更不需要應用數學知識去解決現實中的各種問題。有的內容過分強調思維訓練，學生在不斷反覆機械地操作下，雖然能熟練地掌握各種題目的解題智慧、技巧，但一碰到實際生活卻顯得不知所措。在大力推行素質教育的今天，有必要讓學生在數學應用中，在生活實踐中使知識得以驗證，得以完善。

例如，在教學“小數的初步認識”之後，引導學生到商店觀察物品的價格，發現了以元做單位會出現小數。學生在老師的幫助下，知道了原來這些物品雖不貴重但顧客需要量大或有的物品分量雖輕但很貴重。

又如，在教學“平面圖形的面積”之後，我組織了一次實踐活動，帶領學生去田間實地測量土地的面積。學生很快就發現，現實的一塊一塊土地不是規則的長方形、平行四邊形或梯形，必須透過化整為零，轉化成我們所掌握的平面圖形面積的問題。

再如，在教學“軸對稱圖形後”後，我讓學生走出校門觀察周邊環境，找一找生活中哪些物體是呈軸對稱圖形的。學生把日常生活中每天看見的的、但又沒有意識到的是軸對稱圖形的物體一一找了出來。更有意思的是學生把特殊的平行四邊形的對稱性也講得頭頭是道。這無疑使學生體會到數學與實際生活離得很近，也增強了學生今後運用數學知識去創造美好生活的意識。

二、根據生活實際靈活運用數學知識

在實際應用數學知識時，往往會與社會生活出現一些偏差。創設一些生活例項，靈活運用數學知識，實質上是對數學知識的一種深化。

例如，要給教室裡三個向陽的窗戶做窗簾，每個窗戶高1.5米、寬1.2米，需要買多少平方米？這是一道求面積的應用題，學生自然會根據每個窗戶的高與寬，再乘3就可以得到結果.但要解決好這個實際問題，就不那麼簡單。既要考慮窗簾必須大於窗戶，又要考慮到市場上窗簾每幅寬度等等因素。

再如，在教學統計圖後，安排一個課外作業：到校門口或路上收集某一段時間的交通工具的流量，然後製成一張統計表。第二天。一張張學生自己收集資訊的統計表呈現在全班面前。更為可貴的是有一小組同學，別出心裁地去收集行人、腳踏車遵守交通規則的資訊。透過兒童自身活動獲取的知識，比從教科書、從他人學來的知識要清晰得多，深刻得多 。

數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理資料、進行計算、推理和證明，數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象；數學為其他科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發展的基礎；數學在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創造力等方面有著獨特的作用；數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分。

數學源於生活，而它最終的目的是服務於生活。人類從猿進化而來就已經用到了數學。如：在計算日子的時候，在繩子上打個結，就表示一天。可見數學在生活中的應用真是源遠流長了。

如今，數學知識和數學思想在工農業生產和人們日常生活中有極其廣泛的應用。譬如，人們購物後須記賬，以便年終統計查詢；去銀行辦理儲蓄業務；查收各住戶水電費用等，這些便利用了算術及統計學知識。此外，社群和機關大院門口的“推拉式自動伸縮門”；運動場跑道直道與彎道的平滑連線；底部不能靠近的建築物高度的計算；隧道雙向作業起點的確定；摺扇的設計以及黃金分割等，則是平面幾何中直線圖形的性質及解rt三角形有關知識的應用。

數學問題具有形象性和啟發性，它能喚醒學生已有的知識經驗，增強學習動機和學習信心，不僅有助於引導學生進入數學情境，也有利於學生思維的發展。如生活中每時每刻都要用到估算，要求學生估算一下每天上學到校需多少時間，以免遲到；或估算一下外出旅遊要帶多少錢，才夠回來等等。在教學中引導學生尋找生活中的數學問題，既可積累數學知識，更是培養學生學習數學興趣的最佳途徑。又如在學了“年月日”這一課之後，讓每個學生說一說，自己的出生月份是閏月還是平月，如此切身的問題讓學生體驗到學數學的價值所在。這對於更好地激發學生學數學、愛數學、用數學的興趣，培養學生的探索意識和應用意識，具有十分重要的意義。

還有生活中很多例子是數學的應用：如大家知道生活中茶葉筒為什麼大部分都是圓柱體的嗎？同樣周長的圖形，圓形的面積比較大，使用圓柱體的茶葉筒不僅可以裝下更多的茶葉，還可以節省材料。日常生活離不開數學。如買、賣東西，度量長度；搞科學研究也離不開數學。如發射衛星。國防也離不開數學。銀行用數學、會計、物理、化學、飯店、喝水、出動旅遊、坐車等等離不開數學。

數學有利於培養我們用數學眼光看待現實問題的能力和意識。運用數學知識可以解決生活中的實際問題。可見數學在我們生活中的重要性，所以學好數學是一件很重要的事。我們的生活離不開數學。

數學的適用範圍在哪裡？這個問題其實很"繞"。

1.數學的使用場景"幾乎"無所不在，但它沒辦法像物理學，化學，生物學一樣，物件是"客觀事物"，也許"表徵"這個詞比較適合描述數學的物件。表徵是從事物中提取出來的，它必須依附於事物才能獲得"意義"，也就是有"應用價值"。基於表徵的表徵也允許的，但就很難有應用價值，更多的是一個"符號系統"，就如黎曼幾何一樣。這也可以說是數學的一個邊界。

2.數學更多的是邏輯空間，而不是現實空間。邏輯空間裡，必然存在邏輯的起點，也就邏輯假設，數學上稱為公理。公理系統是人們"節選"出來的片段，以保證自洽性。公理系統的邊界就是假設性邊界，有一個假設很常見——無限的假設，涉及不可計算問題，對應的邊界描述是：哥德爾不完備性定理。

3.潛無窮和實無窮的跳躍過程，是邏輯的邊界，也同樣是數學的一個邊界。類似的，它也是物理，化學等的一個邊界。

數學，解釋世界。它成為外部世界的表象包裹的本質。這樣數學成為規律，不能具體地給與直觀的表現，也就是抽象的一面。而要想看到數學，只看到表象，這就如同1，看到的只是1朵花之類的，純粹的1呆住數學裡。

而刻畫世界往往只有表現，於是有物理的，化學的，生物，人類學的，社會學的現象。所有的學科只有用到數學才真正成為科學。如同物理的實驗表現，最終以數學公式結束。數學的抽象恰好是事物永珍的核心。如同真理是裸露的，沒有外衣。

而沒有抽象為數學的 往往還會有表象的外衣，就不是深刻的。但是世界廓寥，豐富，也不是數學所能揭示的，如光的最短距離行走，以絕對速度賓士，都是人類非常努力的結果，而對世界來說，自然而然。一花一世界，解釋世界的可能性倍受煎熬，然而人類偉大之處也在這裡，無窮地探究宇宙的秘密。

數學本身是否可靠，這也就是自洽呢，不確定性原理告訴大家不可能。而測不準原理說明沒法準確確定位置。這樣在宏觀上無盡，在微觀上無力，數學確定性消失，而模糊數學，統計數學粉墨登場，大資料時代應運而生。數學也一樣拓展領域去認識世界。而解釋世界的重任在數學， 那麼認識的邊界就是數學的邊界了。

（首）上界在哲學之下，下界在具體事物的質量之上。

任何事物都是質量與數量的統一體，哲學是對事物總體質量的定性，脫離了數量描述。 一個具體的事物，有質量數量二方面，數學只描繪其數量方面。

數學從不是任何科學的基礎，只是它們的工具。數學之對於任何科學，如影隨形，無從分離，因為，數學本身並不是一門科學。

看個具體的數學方法應用，這些大學教材講的錯了沒有?

看一下這習題19的答案是什麼？這是1982年出版的微積分教材中的習題。再看看這例題8解答對不對？這例題是2011年出版的大學微積分中的例題。