圓錐曲線離心率的求法

學習目標

1、掌握求解橢圓、雙曲線離心率及其取值範圍的幾類方法;

2、培養學生的分析能力、理解能力、知識遷移能力、解決問題的能力; 學習重難點

重點:橢圓、雙曲線離心率的求法;

難點:透過迴歸定義，結合幾何圖形，建立目標函式以及觀察圖形、設引數、轉化等途徑確

定離心率

教學過程:

複習回顧:圓錐曲線離心率的概念

一、求離心率

, 探究一:利用定義直接求ac

例1(已知橢圓E的短軸長為6，焦點到長軸的一個端點的距離等於9，則橢圓E的離心F

率等於 (

練習1:在正三角形ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，則以B、C為焦點，且過D、E的雙曲線的離心率為 ( )

5A. B.3,1 C.2，1 D.3，1 3

B.

探究二:構造關於e的(a,b,c的齊次)方程

22yxBB,例2(已知橢圓的上焦點為，左、右頂點分別為，下頂點為，FA，,,,1(0)ab1222ab

,,,,,,,,,

ABBF直線與直線交於點，若，則橢圓的離心率為___________ PAPAB,2212

22xy練習2、雙曲線,,1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F、F，過F作傾斜角為30?的22121ab

直線交雙曲線右支於M點，若MF垂直於x軸，則雙曲線的離心率為 2

( )

A.6 B.3

3C.2 D. 3

探究三:以直線與圓錐曲線的位置關係為背景，設而不求確定e的方程

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2 2 xy例3(橢圓 +=1(a>b >0)，斜率為1，且過橢圓右焦 22a b

???OAOB a點F的直線交橢圓於A、B兩點，+與=(3,-1)共線，

,Y) A(X11求e? O

B(X,Y) 22

二、求離心率的範圍(構造不等式或函式關係式求離心率的範圍) 1、直接根據題意建立不等關係求解. ac,

22xy2b,4ac,0a,0,b,0,,1例4、已知雙曲線 ( )的半焦距為;，若 ， 22ab

則雙曲線的離心率範圍是 ( )

3,( , ,( ,( 2,e,2，52,5,e,2，5,e,21,e,2，52

2、藉助平面幾何關係建立不等關係求解 ac,

222xyaab,,0，,1例5、設分別是橢圓()的左、右焦點，若在直線,=上存在使FF，P,1222cab

線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值範圍是 ( ) PFF12

2323[1)，A((0]， B((0]， C( D.[1)，2233

3、利用圓錐曲線相關性質建立不等關係求解. ac,

22xy例6、已知雙曲線,,1(a>0，b>0) ，F1是左焦點，O為座標原點，若雙曲線上存在點P，使|PO|22ab

,|PF1|，則此雙曲線的離心率的取值範圍是 ( )

A( (1,2] B((1，，?) C((1,3) D([2，，?)

4、運用數形結合建立ac,不等關係求解

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22xy,,,,1(0,0)ab60:例7、已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線22ab

的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值範圍是 ( )

(1,2](1,2)[2,)，,(2,)，, (A) (B) (C) (D)

5、運用函式思想求解離心率

22xy,,1例8、設a,1，則雙曲線的離心率e的取值範圍是 22aa(1)，

(2,5)A( B. C. D. (2,2)(2,5)(2,5)

22xy練習 3、 設A、A為橢圓的左右頂點，若在橢圓上存在異於，,1(a,b,0)1222ab

A、A的點，使得，其中O為座標原點，則橢圓的離心率的取值範圍ePO,PA,0P122

是

1122 A、 B、 C、 D、 (0,)(,1)(0,)(,1)2222

小結:求離心率的關鍵是列出一個與a,b,c,e有關的等式或不等關係

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求離心率的關鍵是列出一個與a,b,c,e有關的等式或不等關係.在此,要活用圓錐曲線的特徵三角形.常用方法:

1.利用曲線變數範圍。圓錐曲中變數的變化範圍對離心率的影響是直接的,充分利用這一點，可最佳化解題(

2.利用直線與曲線的位置關係。根據題意找出直線與曲線相對的位置關係，列出相關元素的不等式，可迅速解題(

3.利用點與曲線的位置關係。根據某點在曲線的內部或外部，列出不等式，再求範圍，是一個重要的解題途徑(

4.聯立方程組。如果有兩曲線相交，將兩個方程聯立，解出交點，再利用範圍，列出不等式並求其解(

5.三角函式的有界性。用三角知識建立等量關係，再利用三角函式的有界性，列出不等式易解(

6.用根的判別式根據條件建立與,、,、;相關的一元二次方程，再用根的判別式列出不等式，可得簡解

7.數形結合法:解析幾何和平面幾何都是研究圖形性質的，只不過平面幾何只限於研究直線形和圓。因此，在題設條件中有關圓、直線的問題，或題目中構造出直線形與圓，可以利用平面幾何的性質簡化計算。

練習 22xy1、如圖，雙曲線的兩頂點為，，虛軸兩端點為，，兩焦,,,1 (,0)abAABB121222ab

FBFBABCD,,,點為，. 若以為直徑的圓內切於菱形，切點分別為. 則雙曲線FFAA11221212

的離心率 ; e,

y

B2 A B A 1 O F F 12 A 2 x C D B 1

22xyCab:1(0,0),,,,2、設是雙曲線的兩個焦點,P是C上一點,若FF,1222ab

,30PFPFa，,6,且的最小內角為,則C的離心率為___. ,PFF2121

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2x23、如圖,是橢圓與雙曲線的公共焦點,分別是,在第二、C:，y,1CCCF,FA,B1212124

四象限的公共點.若四邊形為矩形,則的離心率是 ( ) CAFBF212

y A( B( 32

A

63F2 C( D(OxF 1 22B( B

(第3題圖)

2x24、設雙曲線C:,y,1(a>0)與直線l:x，y,1相交於兩個不同的點A，B. 2a

求雙曲線C的離心率e的取值範圍

5/5頁全文完

課改之後，圓錐曲線的第二定義不再作為高考要求，所以單純從圓錐曲線第一定義來理解離心率的幾何意義確實有點困難，接下來我結合圓錐曲線的第二定義來進行說明。

一、圓錐曲線的第二定義：

到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。

當0<e<1時為橢圓：

當e=1時為拋物線；

當e>1時為雙曲線。

所以，離心率是描述圓錐曲線軌跡形狀的重要指標。

二、解決離心率問題的方法：

1、利用已知條件直接構造不等式；

2利用圓錐曲線的範圍及最值構造不等式；

3、數形結合藉助平面幾何知識構造不等式；

4、利用判別式、均值不等式或其他基本不等式來構造不等式；

5、利用函式的單調性構造不等式．

三、典題剖析

1、根據圓錐曲線的自身性質求離心率的取值範圍

2、根據題目條件中已知引數的範圍求圓錐曲線的離心率的取值範圍

點評　第１問根據勾股定理求a，根據橢圓定義求c，第２問原解計算量大，而且用到利用導數求範圍，學生很難算對，下面我透過整體換元，構造二次函式，利用二次函式在指定區間上求離心率的取值範圍；這類問題的關鍵還是如何構造不等式求橢圓離心率的取值範圍．

希望可以幫到你！

答：

離心率是圓錐曲線的一個重要性質，是描述圓錐曲線軌跡形狀的重要指標。下面以橢圓的離心率為例。

一·離心率的定義二·求橢圓離心率的常見方法三·典型例題剖析

值得說明的是，離心率問題有著“小題之王”的稱號，每年高考題中必有一道。上述三道高考真題，分別從三個不同的維度闡釋了離心率的相關解法，認真體會必有增益。

以上，祝你好運。