今天來玩靈魂交換吧! 啊? ! 不是口嚼酒啦! baka! hentai！

今天跟大家介紹的是Futurama定理.

在Futurama第六季episode "The Prisoner of Benda"中, Farnsworth教授和Amy製造了一臺靈魂交換機. 這臺機器可以交換兩個人的靈魂. 但它缺點是任意兩人之間只能交換一次. 為了將所有人的靈魂都換回來, 教授證明了這樣一條定理: 無論之前已經有多少人進行了多少次交換, 只要再找來兩個沒被交換過的人來幫忙, 就可以按照一定的順序把所有的人靈魂重新交換回來:

接下來我們不使用數學公式來說明如何做到這一點. 在此之前澄清幾個概念:

1. 機器是隻認身體不認靈魂的, 可以想象成這臺機器擁有面部識別的能力, 當它看到這兩個人以前交換過時, 它就不能再次交換兩人.

2. 如果AB以前交換過, 且他倆都沒有和C交換過, 那麼AB可以分別和C交換.

3. 我們用A↔B這樣的記號來表示讓A和B交換——這裡的交換指的是讓A和B的身體坐上這臺機器, 而不考慮A和B的身體裡是誰.

要讓所有人的靈魂都歸位, 總共分三步:

第1步: 把置換分解為輪換.

現在大家都去找到自己原來的身體, 然後各自面朝自己原來的身體的後背乖乖站好. 這樣大家就站成了好幾個圈. 我們可以分別處理這幾個圈, 所以這裡只處理其中一個圈.

例如有5個身體和5個靈魂, 身體1 2 3 4 5內部的靈魂分別是2 4 1 5 3.

那麼這5個身體就應該排成這麼一個圈: 1→2→4→5→3→1. (例如2號靈魂找到了2號身體, 於是面朝2號身體站好, 因為2號靈魂本身在1號身體內 所以就有1→2)

第2步: 叫來兩個助手A和B. 這兩個助手沒有跟其他人交換過.

第3步: 按照下面給出的順序交換.

3.0步: 從任意位置斷開這個圈, 把這個圈排成一個佇列. 為了便於理解, 這裡拿4個人的佇列舉例子.

給4個身體編號: 1 2 3 4 A B. 對應的靈魂分別是: 4 1 2 3 A B.

3.1步: 1↔A. 此時靈魂的排列變為: A 1 2 3 4 B.

3.2步: 依次做4↔B, 3↔B, 2↔B, 1↔B. 每次交換之後, 身體 1 2 3 4 A B中的靈魂分別變為:

A 1 2 B 4 3

A 1 3 B 4 2

A 2 3 B 4 1

1 2 3 B 4 A

3.3步: 4↔A. 此時排列變為1 2 3 4 B A.

3.4步: 由於AB沒有互相交換過, 最後A↔B即可(在處理有偶數個圈的情況時, AB會被交換偶數次, 所以最後不用交換AB).

在這個簡單的例子中, 我們一共進行了7次交換, 事實上7也是所需要的最少的交換次數. 文[1]給出了一般情況下最少交換次數的證明.

參考文獻

[1] Evans, R.; Huang, L.; Nguyen, T. Keeler’s theorem and products of distinct Transpositions. The American Mathematical Monthly 2014, 121, 136.

筆者記得在電視動畫《NO GAME NO LIFE 遊戲人生》中有一段 “21點”的橋段就利用了數學理論。首先介紹一下這個遊戲，21點也叫黑傑克（Black jack），是起源於法國的一種撲克遊戲，現已流傳到世界各地成為賭場、娛樂中常見的經典玩法，具體規則過於冗長而且簡單易搜，所以就不多贅述了。

而在《NO GAME NO LIFE 遊戲人生》的第五集中空在和史蒂芬賭21點時所運用的算牌方法叫做“高低法”，主要運用的是數學理論中的機率學。假設52張牌出現的機率始終相同，也就是說每張牌都是從一個無窮多副牌組成的牌盒裡抽出來的，或者說前面出過的牌不影響後面的牌，換句話說，每張牌相互之間都是獨立的。

具體的算牌方法已經不是秘密，也隨處可查，那麼其大概的方法是：在遊戲過程中，我們把每一張出現的2，3，4，5，6都算＋1點，7，8，9算0點，10，J，Q，K，A算-1點，將各點相加，結果越大，就表示前面出現過的小牌越多，對玩家越有利。反過來，如果結果是個負數，就表示前面出過的大牌比小牌多，對莊家有利。

　　比如前面出現的牌是：4，9，10，5，J，A，8，10，Q，2，6，K，J，7 ，那麼點數就是4張小牌減7張大牌，是-3。當然，在遊戲過程中，你不可能叫莊家把牌局暫停，讓你從容加減。你必須在每張牌出來時，就在心裡默算點數。比如在上面的例子裡，從第一張牌出現開始，你就應該在心裡默算出：1，1，0，1，0，-1，-1，-2，-3，-2，-1，-2，-3，-3。

　　在實際運用中，還可以採取兩張牌一計的技巧，因為莊家發牌時一般速度較快，這樣可以方便地把很多同時出現的大牌和小牌抵消不計，提高了算牌速度，減少了可能的計算錯誤。比如在上面的例子裡，如果兩張牌一計，那就是：1，1，-1，-2，-2，-2，-3。

　　如果是一副牌，-3已經是很糟糕的點數了，這時應該下最小注，或者停止不玩。不過一般來說，現在的賭場都使用六到八副牌，那麼在六副牌312張牌內，發出14張牌，還剩298張牌，平均每副牌的點數是（-3）×52/298＝-0.5，還算可以忍受。

這套“數學理論”看起來並不複雜也並不難，但其實要在實際中熟練運用還是需要一定的練習。而且我記得看過一個相關的電視節目，其中值得注意的是在很多賭場中如果工作人員發現你正在愁眉苦思的算牌，那麼是會被“請走”的，所以想要熟練的運用這種技巧，不但要熟練還要有一定的心理素質和演技才行。