負數是數學術語，比0小的數叫做負數，負數與正數表示意義相反的量。負數用負號（Minus Sign，即相當於減號）“－”和一個正數標記，如−2，代表的就是2的相反數。於是，任何正數前加上負號便成了負數。一個負數是其絕對值的相反數。在數軸線上，負數都在0的左側，最早記載負數的是中國古代的數學著作《九章算術》。在算籌中規定"正算赤，負算黑"，就是用紅色算籌表示正數，黑色的表示負數。兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。

數的產生和發展離不開生活和生產的需要。自然數是在人類的生產生活實踐中產生的。與之相比，負數的產生則是經歷了一個更為漫長的過程。

中國是世界上首先使用負數的國家

戰國時期，李悝（約公元前455—前395）在《法經》中說：“衣五人終歲用千五百不足四百五十”，其意思是說，5個人一年開支1500錢，入不敷出，尚“不足四百五十”，即還差450錢。這裡的“不足”就是負數的意思。

負數概念最早出現在中國的《九章算術》中，裡面提出了正負數加減法則，但未說明什麼是正負數。

據史料記載，早在兩千多年前，中國就有了正負數的概念，掌握了正負數的運演算法則。人們計算的時候用一些小竹棍擺出各種數字來進行計算。這些小竹棍叫做“算籌”算籌也可以用骨頭和象牙來製作。

中國三國時期的學者劉徽在建立負數的概念上有重大貢獻。劉徽首先給出了正負數的定義，他說：“今兩算得失相反，要令正負以名之。”意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分它們。 劉徽第一次給出了正負區分正負數的方法。他說：“正算赤，負算黑；否則以邪正為異”意思是說，用紅色的小棍擺出的數表示正數，用黑色的小棍擺出的數表示負數；也可以用斜擺的小棍表示負數，用正擺的小棍表示正數。

據有關資料顯示，負數的產生與其他數學概念的形成相類似。負數是為了表示並計算現實生活中具有相反意義的量。當生活中用單一的數概念無法準確地描述兩種迥然不同的量時，人們自然想到了擴充原有的數概念以適應新的需要。

有關這方面內容的文字記載據說最早出現在《九章算術》中。關於負數的引入,書中以賣（收入錢）為正,買（付出錢）為負；餘錢為正,不足錢（虧錢）為負；在關於糧谷計算的問題中,益實（增加糧谷）為正,損實（減少糧谷）為負。

我們來看兩個生活中的例子吧。

但是相反意義量的存在並不是負數產生的充分條件。換句話說，有了負數，確實有利於表示相反意義的量；但並不是說沒有負數，就不能表示相反意義的量，如果我們在同一個數的前面註上兩個反義詞，問題不也就解決了嗎？

是的，在《九章算術》中的直除法消元，必然會出現零減去正數的情況，要使運算進行下去，必須引進負數。

因此，正負是相對的。在列方程時可以根據消元的方便確定各行的符號。正負是兩種不同的運算，加上一個正數等於減去一個負數，加上一個負數等於減去一個正數，這樣，運算便可暢行無阻。

《九章算術》中引入這些實際的例子很好地說明了古代先哲是如何提出負數的。或許對你理解負數是如何誕生的也有所啟發。

負數在國外出現的理由及發展狀況

儘管中國古人首先發現並應用了負數，但客觀地說，演算法中使用負數和在邏輯上真正理解負數是兩個層面的事情。負數的數學意義，首先是西方數學家們建構起來的。

在西方，人們認識負數比認識無理數還困難。被譽為代數學鼻祖的希臘數學家丟番圖（246-330）雖知道把“負負得正，正負得負”的乘法法則運用於（x-1）（x-2）一類的乘法，但他認為2x<10是荒謬的。

在公元1150年（比《九章算術》成書晚1千多年），印度在公元7世紀才採用負數，公元628年，印度的《婆羅摩修正體系》一書中，把負數解釋為負債和損失，是西方最早在數學上使用負數的是一本印度數學文獻。它的出現是為了表示負資產或債務。在很大程度上，歐洲數學家直到17世紀才接受負數的概念。

13世紀初，義大利數學家斐波那契解釋負數為“欠款”。15世紀，法國數學家許凱在1484年對解方程中多次出現的負數解用賒欠等詞語解釋了它們的意義。

著名的德國數學家史提非在1544年說負數是“無稽的”或“虛偽的零下。16世紀法國數學家韋達解方程時仍然不要負數。1545年，義大利的卡當著《大法》，成為歐洲第一部論述負數的著作。

法國數學家吉拉爾在《整數算術》中正式用“+”、“-”表示加、減，並注意到負數不單是一種減數，還是小於零的數，比零小也就是“小於一無所有”，因而負數是“荒謬的數”。”這樣的表示方法被廣泛接受，並沿用至今。

特別是1637年，法國數學家笛卡爾發明瞭解析幾何學，建立了座標點，將平面點與負數、零、正陣列成的實數對應起來，使負數得到了解釋，從而加速了人們對負數的承認。

直到1712年，連萊布尼茲也承認這種說法合理。英國數學家瓦里承認負數，同時認為負數小於零而大於無窮大（1655年）。他對此解釋到：因為a＞0時，英國著名代數學家德。摩根 在1831年仍認為負數是虛構的。

但直到19世紀，德國數學家魏爾斯特拉斯等人為整數奠定了邏輯基礎以後，負數才在現代數學中獲得鞏固的地位。

一點感慨

從上面可以看出，負數的引進，是中國古代數學家貢獻給世界數學的一份寶貴財富。單、但東方數學的發展滿足於解決問題，所以對負數的認識只限於它的四則運算，直至近代也沒有更多的的突破。西方對負數的探討雖然起步較晚，但理性思辨的傳統，使得他們從一開始就聚焦於方程負數解的討論上，並最終完成了對負數的數學抽象。

隨著人類歷史的發展，有一些比0更不可思議的數字開始在歐洲流行起來了，它們是一些比0還小的數字，被稱作負數。要知道，0的存在就已經很讓人抓狂了，怎麼會有比0還小的數字呢？是什麼人吃錯了藥，非要使用這樣的數字呢？商人！那他們使用負數有什麼好處呢？賺錢！什麼？賺錢？負數為什麼會讓商人多賺錢呢？要想知道這一點，我們首先就要弄明白，商人是怎麼賺錢的：

大家都知道，所謂商人，就是靠倒賣東西賺錢的人，他們以很便宜的價格把貨物從產地買進來，再以昂貴的價格在市場上賣出去，從中賺取差價。一個商人要想賺錢，首先必須要擁有一筆啟動資金，先用這筆錢買來貨物，然後再賣出去才能賺錢。假設一開始這個商人只有10萬元，那麼，他就只能先買進10萬元的貨物，如果他把這些貨物賣出以後能收入15萬元，那麼，他買賣一次貨物，就能賺5萬元錢。我們再假設他買賣一次貨物需要1個月的時間，這就意味著他1個月的時間就能把10萬變成15萬，讓自己的資產翻1.5倍。那麼，如果他一開始就有100萬呢？他就可以一次進100萬元的貨物，而1個月後，他的資產翻1.5倍，就會變成150萬。換句話說，商人賺錢的多少，是受他的成本控制的，越是有錢的商人，賺錢越快。可是這件事跟負數有什麼關係？說來說去，我們得到的結論不就是一句廢話嗎，誰不知道越有錢的人賺錢越容易呢。

不對！剛才的這些內容啊，都是理論分析，如果你去市場上觀察你會發現：商人能進的貨，遠遠比他手裡的現金要多，一個手裡只有10萬現金的商人，就能做著100萬的生意。為什麼？因為他在這個市場上經營的時間長了，跟客戶和供貨商的關係特別好，於是他們彼此之間產生了相互的信任關係，因此大多數生意都是在相互賒欠的情況下完成的。雖然我手裡只有10萬現金，但是我還有很多客戶，他們欠著我80萬的賬款，同時，我的倉庫中還有10萬的貨物，在這種情況下，我就可以毫不費力的從進貨商那裡再賒來90萬的貨物，等我把貨物賣出去，把錢賺到手以後，再慢慢的還給他們。在一個穩定成熟的市場上，商人之間比拼的不僅是誰手中的現金多，更是誰的信用更好，信用多的人就能夠賒欠更多的貨款，所以他的生意就能做的更大。一個毫無信譽的人，手裡有20萬現金，他就只能同時做20萬的生意，而一個信譽良好的人，手裡有10萬現金，卻可以同時做100萬的買賣。那麼，欠債經營這件事是不是臨時的呢，一個商人如果靠著欠債賺回100萬了，我是不是就可以不用欠別人的錢了呢，不是的，如果他有100萬現金，他就有資格欠別人1000萬了，他也就可以同時開始做1000萬的生意了。

從上面的分析中可以看到，債務是一個商人信用的表現，依靠債務，商人可以擴大自己的生意規模，讓自己多賺十倍的利潤。因此欠債在商業活動中是一種常見的現象。那麼，我們要如何在賬面兒上同時體現出來現金和負債呢？有人說，我可以透過欠款兩個字來表示，也有人說，我可以用不同顏色表示，比如用黑色的字表示收入，紅色的字來表示負債。這些辦法當然可以，但是，更為簡便的辦法是直接使用負數。負數是比0還小的數，它代表的含義與正數的含義相反。就在商人們開始大量的使用負數的時候，在一些數學家的筆下，負數也出現了：

我們都知道，加法是具有交換律的，比如3+5的結果和5+3的結果是一樣的，這一點在人類發現加法的時候，就已經知道了，因為加法代表的就是兩個數的和，而相加的結果與兩個數字出現的順序是無關的。但是，人們也知道，與加法相反的減法顯然是不符合交換律的，5-3顯然和3-5有著本質的區別。但是，如果你的算式中多了一個數字，比如，如果你的算式是7-3+2，你就會發現，無論是先-3，還是先+2，結果總是不變的，7-3+2=6,7+2-3也是=6的。當然，這樣的算式還可以t有無限多個，算式也可以無限的長，只要你不把減號後面的數挪到第一個數字的位置上去，無論你怎麼移動後面加減的數字，最終的得數總是不變的。這就奇怪了，為什麼減法有時候可以交換，有時候不能交換呢？為什麼第一位的數字就這麼特殊呢？其實不只是第一個位置特殊，人們發現：類似2+5-3這樣的算式也是特殊的,它的結果等於4，但-3卻不可以隨便的移動，如果你把-3移動到中間，變成了2-3+5，前面的2-3，也就沒有意義了。這個矛盾引發了一些數學家的思考，大家普遍認為，如果我們做一個規定，規定小數減去大數等於一個負數，那麼，這個算式自然就有意義了，比如如果規定2-3=-1,那麼-1+5就等於5-1,結果同樣是等於4。於是，負數就作為一種臨時運算的中間結果被保留了下來。值得注意的是，雖然負數的實際應用早就產生了，但是幾乎所有的數學家都堅持認為負數是沒有任何實際意義的，它只是一種為了運算方便而增加的臨時概念。這種觀點一直延續到近代，在笛卡兒建立座標系的時候，還是把負數當假數，甚至連18世紀的尤拉也深信不疑，一直到了19世紀，摩爾根等人還說：負數的存在是“十分荒謬”的。

那麼，是什麼原因讓大家普遍接受了負數呢？其實，是一種全新的世界觀。過去，我們之所以認為最小的數字是0，那是因為我們認為這個世界上，一切跟數字相關的量都是有起點和終點的。比如人的年齡即不可能小於0，又不可能是無限大。同時，任何一方土地，無論它多麼廣闊，它也是有邊界的，如果我們設定一塊土地的最左側表示0，那麼從左到右的測量下去，總會有一個數字表示土地的長度和寬度。但是，隨著我們對整個宇宙的認識的不斷深入，人類的視野逐漸開闊起來，我們總是能發現距離我們更加遙遠的星系，在這個過程中，人類逐漸感受到，整個宇宙空間似乎是沒有邊界的，與之對應的時間似乎也是沒有起點、沒有終點的。像時間和空間這樣沒有起點的量，我們就沒有辦法用0表示它誕生的時刻，或者它開始的地方。因此，我們就只能從中取一個表示0的點，而後用正數和負數分別表示兩個不同方向的量。比如，我們用0年表示公元元年，在此之後的年份就用正數表示，而在此之前的年份用負數表示。再比如，地球的經度，我們也只能人為約定格里尼治天文臺的經度為0，自此向東用正數表示，自此向西用負數表示。另外，一開始我們認為，像溫度這樣的量，也是沒有最小值的，因此，我們就約定水結冰的溫度為攝氏0度，高於0度的用正數表示，低於0度的用負數表示。儘管後來我們發現溫度是存在最小值的，它的最小值被稱為絕對0度，然而由於絕對0度的環境太不常見了，所以我們還是保持了原來的習慣。

這樣一來，負數的存在就有了與之對應的實際含義，於是負數的概念就被世人廣泛接受了。