有的函式確實畫不出函式影象，例如下面這個分段函式，定義:當x為有理數時，f(x)=1，當x為無理數時，f(x)=0。

我們知道在近幾年的高考中,越來越重視對函式的理解。而狄利克雷函式正是完全建立在主觀意義上的人造函式,所以值得我們細細研究。

函式概念最早出現在17世紀英國數學家格雷戈裡的文章《論圓和雙曲線的求積》（1667年）中．他定義函式是這樣一個量：它是從一些其他盆經過一系列代數運算或者任何其他可以想象到的運算而得到的．自從牛頓於1665年開始微積分（研究曲線的弧長、不規則圖形的面積等的一個數學分支）的研究工作後，他一直使用“流量”一詞來表示變t間的關係．17世紀德國著名數學家萊布尼茨1673年在一篇手稿裡使用了，函式”這一概念．後來，萊布尼茨又引進“常盆”’、“變數”和’‘參變t”的概念．

在數學史上，這是一大進步，它使得人們可以從數量上描述運動了．當時的函式指的是可以用解析式表示的函式．但這種概念對數學和科學的進一步發展來說實在是太狹隘了．

1734年，瑞士數學家尤拉用f(x）作為函式的記號．f(x）中的f是function（的數）的第一個字母．

歷史上第一個給出函式一般定義的是19世紀德國數學家狄利克雷(Dirichlet)．這也促成了微積分的嚴格性的開始．事實上，如果嚴格性沒有進人定義，那就無法在推理中體現嚴格性．

當時，數學家們處理的大部分數學物件都沒有完全的、嚴格的定義，數學家們習慣藉助於直覺和想象來描述數學物件．他們還沒有推理賴以展開的精確定義．

1829年，一個叫狄利克雷的人生生造出瞭如下的函式：

就說這個表示式吧，是不是符合函式的定義？但你能畫出它的圖象嗎？

從直觀上講,狄利克雷函式可以看做兩條極不光滑的直線。

狄利克雷函式具有以下幾個性質:

(1)解析式不可寫。

(2)影象不可畫，無法畫出影象，但是影象客觀存在。

(3)沒有有關的實際背景作為參考，即生活中很難找到以這個函式為模型的例子。

從以上特點看出,狄利克雷函式完全是“人工”的函式,對整個數學的邏輯嚴密性,起到至關重要的作

用。

狄利克雷函式的出現，表示數學家們對數學的理解發生了深刻的變化，數學的一些“人造”特徵開始展現出來．這種思想也標誌著數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”.

狄利克雷是數學史上第一位重視概念的人，並且是有愈識地“以概念代替直覺”的人．在狄利克雷之前，數學家們主要研究具體函式，進行具體計算，他們不大考慮抽象問題．但狄利克雷之後，事情逐漸變化了，人們開始考慮函式的各種性質，例如（圖象的）對稱性、增減性、連續性等．具體函式、具體函式的計算逐漸淡化了．

1837年，狄利克雷給出了與我們現在所熟知的函式定義非常相近的函式的如下定義（區間一般是指兩個實數之間的所有實數）:如果對於給定區間上的每一個x值，都有唯一的y值與它對應，那麼y是x的函式．

這個說法逐步演變為現在高中課本上用的函式的定義：

設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那麼就稱為從集合A到集合B的一個函式，記作

或。

其中x叫作自變數，y叫做x的函式，集合A叫做函式的定義域，與x對應的y叫做函式值，函式值的集合

叫做函式的值域，f叫做對應法則。其中，定義域、值域和對應法則被稱為函式三要素.

關於荻利克雷函式也可以用一個統一的式子進行表達：

這個函式有如下基本性質:

(1)週期性：任何的非零有理數都是這個函式的週期。也就是說,此函式沒有最小正週期。

(2)奇偶性：D(x)是偶函式。

(3)單調性：D(x)在任意區間都不具有單調性。

(4)處處不可導，處處不連續，處處不可積。

這個函式一般用分段表達：

有時高考相關的試題中也有它的影子：

對於一個人來說，如果你愛她，就讓她學習函式吧，同樣地，如果你恨她，也讓她學習函式吧！這不應了那句話了嗎？“恨之越切，愛之越深！”

答：不存在沒有影象的數學函式，只存在畫不出影象的數學函式，兩者是有區別的。

因為函式的本質，就是集合間的射影關係，對於數學函式，其集合的元素，都是可以在座標上找到的。所以一切數學函式的影象肯定存在，至於你畫不畫得出來，那是另外一回事！

最為著名的，當屬狄利克雷（Dirichlet）函式：

這是一個處處不連續，處處不存在極限的函式；但它本身也有一些普通函式的性質，比如它是一個偶函式，還是一個週期函式，但沒有最小正週期（任意正有理數，都是它的週期）。

狄利克雷函式還可以用極限形式表示為：

根據狄利克雷函式，可以變形得到很多，其他畫不出影象的函式。

除了狄利克雷函式型別的函式外，還有皮亞諾曲線，也是一個比較有趣的函式，我們只能意會它的函式影象。

廣義的皮亞諾曲線：自變數x在（0、1]區間取值時，皮亞諾曲線將遍歷單位正方形中所有的點，得到一條充滿空間的曲線。

皮亞諾曲線可以有很多種定義，但重要的性質是，自變數在“線”上的取值，可以一一對應到“面”上的因變數，甚至任意緯度的空間上。

該函式的本質，是康托爾的超窮數理論中，線上的點可以和任意緯度空間上的點一一對應，因為它們都是不可數集合。

皮亞諾曲線就是一種對應方式，這是一條連續但處處不可導的曲線，函式影象只能意會，不能完全地畫出來。

如果我告訴你有一個函式，它確實有影象，但是你卻畫不出來，你信嗎？

表示式為

當X為無理數是，值取0

當X為有理數時，值取1

大家可以在腦海中想象一下，假設從X軸正方向出發，會發現無理數和有理數都是無窮多，即便在一個極短的區間內，都無法畫全整個影象

或者說腦海想象出的影象，用肉眼看上去就是兩條直線：0和1，但這是由於點太密集導致的錯覺，本質來講根本不能叫直線，因為處處不連續，處處都是分散的點。

即便如此，狄利克雷函式的影象仍舊是客觀存在的。

我們畫在紙上的函式影象僅僅反映的是有理數的那一部分。構成函式影象的那些“點”，反映的是處在：並排且緊挨著的“一串串無理數”端頭上的那些“唯一的有理數”。每個串上都有無窮多個無理數，但有理數只有處在端頭的那一個，函式影象所能反映的就只是這些有理數，無理數則存在於：在二維的紙上所不能畫出的“第三維”上。

有理數的點，可以用1/∞表示。在這裡，“1/∞”的意思是：在一串無窮多的數中，只有一個有理數。這個有理數就是函式影象中的“點”(或者叫“畫素”)。自然數1是有理數，在這裡，“1”的意思就是有無窮多個這樣的有理數(即：∞×1/∞)。函式影象中任意兩個相鄰的自然數之間都是由無窮多個這樣的有理數構成的。

如果有∞多個有理數，就應該有(∞²-∞)多個無理數。如此看來，函式有沒有影象也真的無所謂了。

另外，依照數的應用不同，數的定義也有兩個層次。第一個層次用於“計數”事物，定義的是有理數的那些點：數是被計量事物的等量物的符號。第二個層次用於“計量”事物，定義的是那些有理數點之間的間隔：數是被計量事物的等量物的間隔的符號。目前，這兩個概念我們是混用的，無論在算術上還是函式影象上，以至於極限的概念上莫不如是此，而實質上，我們也沒有明確的關於數的定義。基於第二層次數的定義，導數應該是一個十分確定的數，如圖：(圖中那些圓圈表示的是二次畫數影象上的點，圖中“1、2、3、……”，那些數可以理解為“1/∞、2/∞、3/∞、……”。好了，不多說了。)

無理數之所以“無理”，是由於從古至今，在我們的數學中未曾存在過這樣的等量物，從早期的草棍、石子，到現代的函式影象莫不如此。唯有當我們按照第二層次數的概念，將無理數定義在紙張的“第三維”上，才能夠真正理解其無理性的含義，當然，這不等於無理數將從此就有理化了，也不意味著從此無理數將等量物化，因為在數學中，我們還沒有發現任何一種能夠用一維的數軸來反映二維數帶的方法，也沒有這樣的可行方案。

補充：

首先，函式的本質不是一種數集到另一種數集的對映。函式是數，是最普遍的數。自然數則是一種特殊的函式。不多講了。 其次，任何函式的影象都是不連續的。從圖畫講當然是連續的，從有理數點講也可以認為是連續的，但是，從實數上講任何函式的影象就都不是連續的了，因為無理數並不在連續的影象上，而是在影象所表示的那些有理數的“斜率”上。對於y=x這類斜率為1的函式，每一個有理數對應著就有∞多個無理數；對於y=x²這類斜率為2的函式，每一個有理數對應著就有2∞多個無理數。這些無理數沒在連續的二維影象上，也不能在斜率上表示。但我們可以想象著它們就在影象的第三維上。

其實很多。而且，可以證明，這種函式事實上不在“少數”，甚至比那些“正常”的函式“多得多”。

學訊號處理的同學對它可以說相當熟悉了。

其實我們是沒法畫出這個影象的，因為它在原點處的幅度是無窮大，但是在“這一點”的面積又是1。

在數學發展史上，人們一直猜測，連續函式必然是近乎可導的。即：

連續函式在其定義域中，除去有限個點外，總有一些光滑的可導部分，所謂不可導的點必然只是有限的。

1872年，德國數學家魏爾斯特拉斯（集合論創始人康托爾的導師）利用函式項級數構造了一個函式，數學描述如下：

這個函式奇葩在於，它處處連續，卻處處不可導。

簡而言之，它的尖刺折點是如此之多，以至於無論你放多大，在多細微的尺度觀察任何一段，函式影象都不會更光滑，它處處都是尖銳的。

它是一種不可測函式，你無法用筆畫出影象的任何一部分，因為每一點的導數都不存在，畫的人將無法知道每一點該朝哪個方向畫。

透過計算機逐點描繪，函式影象大致是這樣的：

該反例構造出來後，在數學界引起極大的震動。

隨後，這個例子促成了一門新的學科“分形幾何”的產生，所謂“分形”，就是指某圖案的區域性與整體具有相似性。

定義：

f(x) = 1/q，當x = p/q，p為整數，q為自然數，pq互質。即x為有理數；

f(x) = 0，當x為無理數；

其中，q為自然數。

這個和狄利克雷函式比較類似。