（一）掌握一次函式的解析式的特徵

一次函式解析式的結構特徵：kx＋b是關於x的一次二項式，其中常數b可以是任意實數，一次項係數k必須是非零數，即k≠0，而當b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函式，是特殊的一次函式。 （二）應用一次函式解決實際問題

1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪兩種量是相關聯的量，且其中一種量因另一種量的變化而變化。

2、找出具有相關聯的兩種量的等量關係之後，明確哪種量是另一種量的函式。

3、在實際問題中，一般存在著三種量，如距離、時間、速度等等，在這三種量中，當且僅當其中一種量時間(或速度)不變時，距離與速度(或時間)才成正比例，也就是說，距離(s)是時間(t)或速度( )的正比例函式。

4、求一次函式與正比例函式的關係式，一般採取待定係數法。

（三）把握用待定係數法求函式解析式的一般步驟

1、依題意，設出含有待定係數的函式解析式。

2、把已知條件(自變數與函式對應值)代入解析式，得到關於待定係數的方程(組)。

3、解方程(組)，求出待定係數。

4、將求得的待定係數的值代回所設的函式解析式，從而得到所求函式解析式。

（四）確定一次函式的表示式:

已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函式的表示式。

(1)設一次函式的表示式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函式上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程:

y1=kx1+b①

y2=kx2+b②。

(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最後得到一次函式的表示式。

（五）正確理解函式與方程及不等式之間的聯絡

1、直線y = kx＋b與x軸交點的橫座標，是一元一次方程kx＋b = 0的解，求直線y = kx＋b與x軸的交點，可令y = 0，得到方程kx＋b = 0，解方程得x =? ，?就是直線y = kx＋b與x軸交點的橫座標，反之，由函式的圖象也能求出對應的一元一次方程的解。

2、使一次函式y = kx＋b的函式值y＞0(或y＜0> 的自變數的所有值，就是一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0）的解集。（六）一次函式的圖象及性質:

1. 作法與圖形:透過如下三個步驟：列表;描點;連線，可以作出一次函式的圖象為一條直線。因此，作一次函式的圖象只需知道兩個點，並連成直線即可。

2. 性質:在一次函式上的任意一點P(x，y)，都滿足等式:y=kx+b。

3. k，b與函式圖象所在象限。

當k＞0時，直線必透過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k＜0時，直線必透過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當b＞0時，直線必透過一、二象限;當b＜0時，直線必透過三、四象限。

特別地，當b=O時，直線透過原點O(0，0)表示的是正比例函式的圖象。

這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限;當k＜0時，直線只通過二、四象限。

對於一次函式的學習，只要抓住要點，家長鼓勵協同，熟練圖形結合思維，效果自然顯現。

一次函式是函式中的一種，一般形如y=kx+b（k,b是常數，k≠0），其中x是

自變數

，y是因變數。特別地，當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的

正比例函式

（direct proportion function）。

一次函式及其圖象是

初中代數

的重要內容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內容。

函式的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變數x與y，並且對於x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那麼我們就說x是自變數，y是x的函式。

表示方法

一次函式有三種表示方法，如下：

解析式法:

一次函式的解析式為：

其中m是

斜率

，不能為0；x表示自變數，b表示y軸截距。且m和b均為

常數

。先設出函式解析式，再根據條件確定解析式中未知的斜率，從而得出解析式。該解析式類似於直線方程中的斜截式。

基本性質:

函式性質

1. y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b（k≠0) （k不等於0，且k，b為常數）。

2. 當x=0時，b為函式在y軸上的交點，座標為(0,b)。

當y=0時，該函式圖象在x軸上的交點座標為（-b/k，0）。

3. k為一次函式y=kx+b的斜率，k=tanθ(角θ為一次函式圖象與x軸正方向夾角，θ≠90°)。

4. 當b=0時(即 y=kx)，一次函式圖象變為正比例函式，正比例函式是特殊的一次函式。

5. 函式圖象性質：當k相同，且b不相等，影象平行；

當k不同，且b相等，圖象相交於Y軸；

當k互為負倒數時，兩直線垂直。

6. 平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間。影象性質:

1. 作法與圖形：透過如下3個步驟：

（1）列表：每確定自變數x的一個值，求出因變數y的一個值，並列表；

（2）描點：一般取兩個點，根據“兩點確定一條直線”的道理，即在直角座標系中，以自變數的值為橫座標，相應的函式值為縱座標，描出表格中數值對應的各點。

一般地，y=kx+b（k≠0）的圖象過(0, b)和(-b/k, 0)兩點即可畫出。

正比例函式y=kx（k≠0）的圖象是過座標原點的一條直線，一般取(0, 0)和(1, k)兩點畫出。

（3）連線：可以作出一次函式的圖象——一條直線。因此，作一次函式的圖象只需知道2點，並連成直線即可。（通常找函式圖象與x軸和y軸的交點分別是與（ a ，0），（0，b））

2. 性質：（1）在一次函式上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函式與y軸交點的座標總是（0，b)，與x軸總是交於（ a，0）正比例函式的圖象都是過原點。

3. 函式不是數，它是指某一變化過程中兩個變數之間的關係。

4. k，b與函式圖象所在象限：

y=kx時（即b等於0，y與x成正比，此時的圖象是一條經過原點的直線)

當k>0時，直線必透過一、三象限，y隨x的增大而增大；

當k<0時，直線必透過二、四象限，y隨x的增大而減小。

y=kx+b（k,b為常數，k≠0）時：

當 k>0,b>0, 這時此函式的圖象經過一，二，三象限；

當 k>0,b<0, 這時此函式的圖象經過一，三，四象限；

當 k<0,b>0, 這時此函式的圖象經過一，二，四象限；

當 k<0,b<0, 這時此函式的圖象經過二，三，四象限。

當b>0時，直線必透過一、二象限；

當b<0時，直線必透過三、四象限。

特別地，當b=0時，直線透過原點O（0，0）表示的是正比例函式的圖象。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限，不會透過二、四象限。當k<0時，直線只通過二、四象限，不會透過一、三象限。

5. 特殊位置關係

當平面直角座標系中兩直線平行時，其函式解析式中K值（即一次項係數）相等。

當平面直角座標系中兩直線垂直時，其函式解析式中K值互為負倒數。

6. 直線y=kx+b的圖象和性質與k、b的關係如下表所示：

k>0,b>0：經過第一、二、三象限

k>0,b<0：經過第一、三、四象限

k>0,b=0：經過第一、三象限（經過原點）

結論：k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。

k<0,b>0：經過第一、二、四象限

k<0,b<0：經過第二、三、四象限

k<0,b=0：經過第二、四象限（經過原點）

結論：k<0時，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小。

7. 將函式向上平移n格，函式解析式為y=kx+b+n，將函式向下平移n格，函式解析式為y=kx+b-n，將函式向左平移n格，函式解析式為y=k(x+n)+b，將函式向右平移n格，函式解析式為y=k(x-n)+b。

位置關係:

當平面直角座標系中兩直線平行時，其函式解析式中k的值（即一次項係數）相等；當平面直角座標系中兩直線垂直時，其函式解析式中k的值互為相反數。

關於平面直角座標系中兩直線垂直時，其函式解析式中K值互為相反數的證明：

如圖，這2個函式互相垂直，但若直接證明，存在困難，不易理解，如果平移平面直角座標系，使這2個函式的交點交於原點，就會更簡單。就像這一樣，可以設這2個函式的表示式分別為；

y=ax, y=bx。

在x正半軸上取一點（z,0)（便於計算），做與y軸平行的直線，如圖，可知OC=z，AC=a*z，BC=b*z，由勾股定理可得：

OA=√z^2+(a*z)^2

OB=√z^2+(b^z)^2

又有OA^2+OB^2=AB^2，得

z^2+(az)^2+z^2+(bz)^2=(az-bz)^2 (因為b小於0，故為az-bz）

化簡得：

z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2

2z^2=-2ab*z^2

ab=-1

即k=-1

所以兩個K值的乘積為-1。

注意：與y軸平行的直線沒有函式解析式，與x軸平行的直線的解析式為常函式，故上述性質中這兩種直線除外。另補一次函式圖形結合思維圖:

要想學好一次函式，就要明確一次函式性質和影象分佈，一次函式的標準式y=ax+b（a≠0），a為一次函式的斜率，出現以下情況，

①當a>0，b>0時，一次函式經過一，二，三象限；

②當a>0，b<0時，一次函式經過一，三，四象限；

④當a<0，b>0時，一次函式經過一，二，四象限；

⑤當a<0，b<0時，一次函式經過二，三，四象限；

⑥當a<0，b=0時，一次函式經過一，三象限。