相對性原理是什麼意思呢？意思是在不同的座標系裡，速度也是不同的。

比如說我站在岸邊，看見有一艘船從左往右遊了過去，船上有一個人在跑步，從船尾跑到了船頭。

那如果從我做參考，船上的人和船都是在向右走。但是從船的角度來看，我是在向左走的 床上的人生是向右走的。

這就是相對性原理，運動都是相對來說的。還是上面的例子，假如船的速度是5米每秒，船上的人的速度是1米每秒。那對於我來說，床上的人的速度是多少呢？

很簡單，就是船的速度，加上那個人跑步的速度，6米每秒。這就是一個伽利略變換，對新的參考系來說，物體速度等於這個參考系，相對於舊參考系的速度，加上物體相對於舊參考系的速度。

可能有點繞啊，已經儘可能說的簡單。如果可以理解，我們想一個問題。光速是不是不可超越的?

如果上面的結論成立，那光速完全可以被超過。假設我和小明站在一起，小明屁股底下坐著一個火箭，手裡拿著一個手電筒。等到一聲令下，小明就會把手電筒開啟，同時火箭也開始發動了。

這樣一來，火箭筒對我的速度是多少?是不是手電筒裡發出的光的速度，再加上火箭筒的速度。這，不就超光速了?

但是沒有，奇怪的事情發生了。在我測了一下小明手電筒裡光的速度後，發現速度沒有變。而如果我也拿著一個手電筒，和小明同時開燈，光線居然是同時到達的，雖然他坐在火箭上，理論上應該比較快。

這個例子說明一個定理，不管在那個參考系 光速都是一樣的。那怎麼解釋上面的現象呢？愛因斯坦說 答案就是，對於小明，他的時間變慢了!

光速一致性原理，不管在誰看來，光速都是一樣的。這就是狹義相對論的一條基本理論，可以根據這個原則 推匯出一些理論。

比如說，速度快的物體，時間就會變慢，這就是鐘慢效應。另外還有一個現象，速度快的物體，長度會變短，免得答案太長 就不說了。

簡單說了下狹義相對論，那麼廣義相對論說了什麼?廣義相對論說，引力就是加速度。

假設宇宙裡有一個大圓盤，這個圓盤一直在旋轉。如果我們站在圓盤的邊緣，就會發現一個問題。當我們想往中心走的時候 就會被離心力甩開，好像受到了重力一樣。

這個現象也可以這麼解釋，是因為圓盤的邊緣有引力，所以我們，想往中心部分靠近，就會受到引力作用。這個引力是怎麼產生的呢？是因為圓盤在旋轉想，所以有了加速度。

因此，引力和加速度其實是一個東西。而且根據這個例子，還能得出一個結論，時間和空間都是會彎曲的。

假設我們從圓盤的中心，慢慢朝著邊緣走，就會發現一個現象。因為越靠近邊緣，速度就會越快，所以根據狹義相對論，時間就變慢了，而且我們受到的引力也會越強。

那就可以得出一個結論，是變強的引力導致了時間變慢。現在拿一根尺子去量圓盤的半徑，和他的周長。由於圓盤在旋轉的方向速度快，所以我們的尺子會變短，量出來的圓周會長一點。

但是半徑方向，圓周沒有運動，所以尺子的長度沒有變。這樣算出來的圓周率，就比3.14大。圓的圓周率什麼時候會大於派呢？有，除非它所在的空間是彎曲的，比如在畫球面上的圓，圓周率是大於派的。

這說明了一個現象，這個圓盤處在的空間是彎曲的。而且是因為引力彎曲的，引力越大，就會彎曲的越厲害。也可以這麼說，引力實際上，就是彎曲的空間。

不知道寫了這麼多，大家能稍微理解一點嘛

提要

伽利略是物理學的奠基者，單擺公式、落體公式和慣性定律皆出自其手。在慣性參照框架中，一個不受外力的物體會保持靜止或者勻速直線運動的狀態。相互間作勻速直線運動的參照框架，若其一為慣性參照框架，則全部都是慣性參照框架。伽利略發現置身於勻速運動的船艙內，人對周圍環境的觀察不能判斷船是否

後相對性思想的進一步拓展埋下了伏筆。慣性定律後來成了牛頓第一定律，擺脫對慣性參照框架的依賴是推廣狹義相對論的原初動機之一，廣義相對論的一大進步是修正了慣性運動的概念。

撰文 | 曹則賢（中科院物理所研究員）

臥看滿天雲不動，不知雲與我俱東。

—陳與義《襄邑道中》

1 伽利略與近代物理學

伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642)，義大利哲學家、藝術家、作家、數學家、天文學家，近代科學的奠基人，一個善於擺弄小玩意兒的人[1]。單擺運動週期的規律，

即單擺週期平方近似地正比於擺繩長度但與擺錘質量無關，自由落體或者物體沿斜面無摩擦滑下的運動規律，h=½at^2，即下落高度與時間平方成正比，都是伽利略在沒有時間測量的條件下得出來的基本運動規律。透過研究一個從斜坡滾下的小球在對面斜坡上能爬升的高度，伽利略得出結論，在沒有摩擦的極限情形下 (不存在哦！醉心於透過什麼測量研究物理學的人，不妨多思考一下伽利略的工作)，小球應該爬升到下落時的初始高度而與斜坡的坡度無關。伽利略進一步做他的思想實驗 (Gedankenexperiment)：“若小球從高處滾下後滾到了一個傾角為零度的斜坡上，傾角為零度的斜坡那就是地平面，按理它依然要爬升到初始時的高度，可是在地平面上它又一點兒也爬升不起來，那結果會怎樣呢？小球就只好一直、永遠這麼無助地往前滾下去。也就是說，一個物體，若沒有來自外部的強迫，會一直保持自己的運動狀態。”這揭示的就是所謂的物質的慣性 (inertia，惰性，懶的量度) [2]。在愛因斯坦的相對論文獻中，慣性、質量和慣性質量是混用的，因為愛因斯坦明白實質上它們就是一個概念。牛頓第一定律就是慣性定律，早在牛頓出生之前就由伽利略揭示出來並完整表述了。牛頓第二定律為ma=F，其中的m可以理解為物體懶惰程度的度量。施加同樣的外力F，m越大，其獲得的加速度a就越小。所以在牛頓第二定律ma=F中出現的這個質量，為了嚴謹，會被稱為慣性質量 (inert mass)，以區別於牛頓萬有引力公式

中出現的質量，那裡的質量是引力質量 (gravitational mass) 。Mass，本義為一大坨。關於質量概念的意義及其在物理學中的演化，請參見本章的深度閱讀。

2 伽利略相對論與伽利略變換

研究運動要用到時間、位置向量、速度和加速度。樸素相對論關切位置向量變換

下物理規律的不變性，沒有納入時間的因素。伽利略更進一步，伽利略相對論關切速度變換下物理規律的不變性。

關於運動的感知問題，中國東漢時期成書的《尚書緯·考靈曜》中有句雲：“地恆動不止而人不知，譬如人在大舟中，閉牖而坐，舟行而不覺也。” 這說的是，人坐在船中無視船外之物，若船是勻速行駛的，則人不能感知船是否在移動，遑論船移動的快慢。由此，作者 (姓名未知，可惜！) 進而推論，大地也是一直在 (飄) 動的，但我們無從察覺地球的運動。這段話反映了一個特定層面上的相對論原理，即後來愛因斯坦所宣稱的伽利略相對論原理。中國古人的思想，由於沒有給出對這個原理進一步的闡述，更談不上用數學語言的系統表述及物理應用，未被看作是相對論理論的前身。我們甚至可以設想，在歷史上的某個時刻，還有別人也認識到了這一點。

伽利略相對論，源自其1632年出版的《關於托勒密和哥白尼兩大主要世界體系的對話》一書中的一段描述。伽利略以"表明所有用來反對地球運動的那些實驗全然無效的一個實驗"為題，詳細敘述了封閉船艙內發生的現象。伽利略寫道："為了最終表明實驗 (揭示勻速運動) 的完全無效，我覺得此處正好給各位展示一個容易進行驗證的途徑。把你和幾位朋友一起關進一艘大船甲板下的主艙裡，帶上幾隻蒼蠅，幾隻蝴蝶，以及別的能飛的小動物。再帶上一大碗水，水裡有魚；吊起一隻瓶子，讓裡面的水滴到下面放置的廣口容器中。船靜止時，請仔細觀察小動物在船艙裡是以同樣的速度四處亂飛的。魚兒遊動，無所謂是朝著哪個方向；水滴會落到正下方的容器裡；朝你的朋友扔過去個什麼東西，你也無需在這個方向上加把勁兒，那個方向上省點力兒，扔出去的距離都是一樣的；雙腳起跳，你在不同方向上會跳出去一樣遠。當你仔細做了這些觀察 (毫無疑問，船靜止的時候事情就應該是這個樣子的) 後，讓船以任何速度前行，只要速度是均勻而非忽快忽慢的。你將會看到前述效應不會有一絲兒改變，你也不能從這些觀察判斷出船到底是走是停。起跳，你會越過跟從前一樣的距離，不會是朝著船尾跳得遠而朝著船頭跳得近一些兒，儘管船在高速前行，在你浮在空中的時候你腳下的船板 (在你往船尾跳時) 在相反的方向上一直前行。朝對面的同伴扔個什麼東西，你也無需因為他是在船頭或者船尾的方向而格外用力。水滴會象從前一樣落到正下方的容器而不是飄向船尾，儘管下落過程中船往前竄出了一大截。碗中的魚兒往前遊和往後遊一樣輕鬆，會一樣自在地遊向碗邊的魚食。最後提一下，蝴蝶和蒼蠅會繼續四下亂飛，而不會朝船尾聚集，好像因為不得不總停留在空中跟船分離又要長途旅行而終於累了跟不上船的行程似的。再者，如果點著什麼東西升起了煙，那煙會直直地升起形成一團小云彩，靜止在那裡，既不往前也不往後。這些 (船動與靜時) 效應相對應的原因是，大船的運動為其所容納之所有物體共享，包括空氣。這就是為什麼我說過你要呆在甲板下的原因；如果是在開放的空間中，空氣就不能跟上船的行程了，則我們所說的效應多少會有些不同。無疑地，煙要比空氣自身更落後一截，蒼蠅，還有蝴蝶，會被空氣裹挾而落後，因而若它們跟船離得遠的話就跟不上船的行程。但是讓它們保持靠近船，它們就能輕鬆地跟上；因為船，連帶著它周圍的空氣，是一個整體。因為類似的緣故，當我們騎馬的時候，會看到一些蒼蠅和牛虻會老跟著我們的馬，在馬身上從這塊兒飛到那塊兒。”伽利略在這裡想要說明的一個根本思想是：“不能以任何力學實驗來判斷一艘船是靜止還是在以任何速度勻速行駛中。”自然可以由此推論，對於地球的運動，人們也無法覺察到。比較伽利略的這一段同《尚書緯·考靈曜》中的論述，論證採用的情景以及論證模式分毫不差。當然，如今我們知道，地球的運動包括公轉、自轉和章動，比我們假定的船在水上的勻速運動複雜多了。後來法國科學家傅科 (Jean Bernard Léon Foucault, 1819-1868) 發明的傅科擺可演示地球的自轉[3]。不管怎樣，伽利略在這裡傳達了一個思想，不能用力學實驗區別一運動系統的不同勻速運動狀態。愛因斯坦把伽利略這個思想當成(特定層面上的)相對論，稱之為伽利略相對論。

伽利略的相對論是說，對於以任何速度勻速運動的觀察者來說，宇宙還是那個宇宙，宇宙裡的事件所應遵循的規律還是那個規律。套用中國古人的智慧，這叫“動靜等觀”。用數學的語

北京西山大覺寺的匾額“動靜等觀”

北京西山大覺寺的匾額 “無去來處”

3 伽利略相對論下的物理學

伽利略相對論常被詮釋為慣性的體現。一個支撐伽利略相對論的實驗是勻速運動體系內，自由落體過程同靜止體系中的自由落體過程是一樣的。你在行駛中的大船的垂直桅杆頂部釋放一個鐵球，它會砸在桅杆的基部。在一個岸上的觀察者看來，船勻速向前運動，而球的運動是勻速運動加上落體運動。球作為船之成體系的一部分，它和船具有同樣的向前的恆定速度。球砸到甲板時，船和球向前走過了同樣的距離，因此球必然會砸在桅杆的基部。這裡暗含的另一個重要內容是，描述運動的位置、速度和加速度都是向量，而向量是具有可加性的[4]。將速度乘上時間，加速度乘上時間的平方，就變成了和位置向量同樣的數學物件—本來就是運動造成的位移向量。一個拋體的動態位置向量，就是其初始位置向量，同勻速運動造成的位移向量以及自由下落造成的位移向量之和，

其中g是重力加速度向量。運動的分解與求和，對應的是數學上向量的分解與求和。

牛頓的萬有引力理論 (約成於1684年) 是滿足伽利略相對論的。考察一個質量為m的小物體 (設想是一個西瓜) ，其位置向量為r1，被一個質量為M的大物體 (設想是地球)，其位置向量為r2，所吸引的問題。由於m＜＜M，可以設想成是西瓜向著不動的地球下落。西瓜受力為西瓜-地球之間的萬有引力，

作變

4 慣性與慣性參照框架

伽利略在研究自一個斜坡滾下的小球在對面斜坡上爬升的問題時，發現小球在對面斜坡上的爬升高度接近初始高度。在沒有摩擦的極限情形下，小球的爬升高度應等於初始高度，而與斜坡的傾斜程度無關 (現實世界中當然總有摩擦。這樣的思考方式才見抽象的威力) 。那麼，若對面斜坡的傾角為零，也即根本沒有坡只有平面，則小球追求上升到初始高度的努力會表現為一直往前運動下去。由此，伽利略得出了運動的慣性定律：“一個不受外力影響的物體會保持原有運動狀態。”這個慣性定律後來成了牛頓第一定律。後來的廣義相對論之於狹義相對論的一大進步是對慣性運動概念的修正。

慣性定律成立的參照框架 (reference frame) 是慣性參照框架 (inertial reference frame) 。所謂慣性，就是懶，不會主動改變。在慣性參照框架中，一個不受外力的物體會保持靜止或者勻速直線運動的狀態。相互間作勻速直線運動的參照框架，若其一為慣性參照框架，則全部都是慣性參照框架。慣性和慣性參照框架是相對論的關鍵詞。擺脫對慣性參照框架的依賴是推廣狹義相對論的原初動機之一。這是後話，且待下文分解。

參考文獻

1. 曹則賢，《物理學咬文嚼字》卷一，中國科學技術大學出版社(2018).

2. Galileo Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico e Copernicano (關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話), 收錄於《伽利略全集》 (le opera di Galileo Galilei) 卷七。英文為Dialogue concerning the two chief world systems-Ptolemaic & Copernican, translated by Stillman Drake, 2nd edition, University of California Press (1967). 這一段文獻非常重要，故將英文內容照錄如下：For a final indication of the nullity of the experiments brought forth, this seems to me the place to show you a way to test them all very easily. Shut yourself up with some friend in the main cabin below decks on some large ship, and have with you there some flies, butterflies, and other small flying animals. Have a large bowl of water with some fish in it; hang up a bottle that empties drop by drop into a wide vessel beneath it. With the ship standing still, observe carefully how the little animals fly with equal speed to all sides of the cabin. The fish swim indifferently in all directions; the drops fall into the vessel beneath; and, in throwing something to your friend, you need throw it no more strongly in one direction than another, the distances being equal; jumping with your feet together, you pass equal spaces in every direction. When you have observed all these things carefully (though there is no doubt that when the ship is standing still everything must happen in this way), have the ship proceed with any speed you like, so long as the motion is uniform and not fluctuating this way and that. You will discover not the least change in all the effects named, nor could you tell from any of them whether the ship was moving or standing still. In jumping, you will pass on the floor the same spaces as before, nor will you make larger jumps toward the stern than toward the prow even though the ship is moving quite rapidly, despite the fact that during the time that you are in the air the floor under you will be going in a direction opposite to your jump. In throwing something to your companion, you will need no more force to get it to him whether he is in the direction of the bow or the stern, with yourself situated opposite. The droplets will fall as before into the vessel beneath without dropping toward the stern, although while the drops are in the air the ship runs many spans. The fish in their water will swim toward the front of their bowl with no more effort than toward the back, and will go with equal ease to bait placed anywhere around the edges of the bowl. Finally the butterflies and flies will continue their flights indifferently toward every side, nor will it ever happen that they are concentrated toward the stern, as if tired out from keeping up with the course of the ship, from which they will have been separated during long intervals by keeping themselves in the air. And if smoke is made by burning some incense, it will be seen going up in the form of a little cloud, remaining still and moving no more toward one side than the other. The cause of all these correspondences of effects is the fact that the ship’s motion is common to all the things contained in it, and to the air also. That is why I said you should be below decks; for if this took place above in the open air, which would not follow the course of the ship, more or less noticeable differences would be seen in some of the effects noted. No doubt the smoke would fall as much behind as the air itself. The flies likewise, and the butterflies, held back by the air, would be unable to follow the ship’s motion if they were separated from it by a perceptible distance. But keeping themselves near it, they would follow it without effort or hindrance; for the ship, being an unbroken structure, carries with it a part of the nearby air. For a similar reason we sometimes, when riding horseback, see persistent flies and horseflies following our horses, flying now to one part of their bodies and now to another.

3. Albert Einstein, the Meaning of Relativity, Taylor & Francis (2004). Translated by Edwin Plimpton Adams, 原文為 Vier Vorlesungen über Relativitätstheorie (相對論四講), Vieweg (1922).

註釋

[1] 人類獲得對世界的感知的重要途徑之一是手。就造就科學家一事而言，手的訓練一點也不比腦的訓練欠缺丁點兒意義。學會用手寫字、推導公式、做實驗，用眼觀察，用腦子思考，當這些成為習慣的時候，一個人就初具科學家雛形了。

[2] Inert gas, 惰性氣體，指氦、氖、氬、氪、氙和氡六種元素，因為它們懶得與別的元素髮生化合反應，所以基本上以單質、氣體的形式存在(not always)。其中，氬，argon，西文字面意思就是不幹活。

[3] 微小的加速運動也是感知不到的，這屬於探測極限的問題(detection limit)。對任何訊號的測量，都要求訊號強度達到某個閾值以上。手頭的儀器探測不到光就以為物質是暗的或者某區域是個黑洞，就屬於對實驗物理常識的無知。

[4] 向量是對vector (攜帶者) 的誤解和誤譯。Vector 只需要有線性代數結構(乘以標量係數和相加)，可以但無需有方向和長度。

[5] 這裡的不是中的乘號，而是兩個向量的叉乘。但是，叉乘只對三維空間裡的向量成立。這裡的問題需要更多的數學知識才能理解。科學，至少物理學是這樣，是在不斷修正錯誤的過程中才多少有點兒正確的內容的。