關於悖論，首先要明白什麼是悖論。

《數學百科辭典》一書中，對於悖論是這麼解釋的：能夠匯出與一般判斷相反的結論，而要推翻它又很難給出正當的根據時，這種論證稱為悖論。其實簡單來講，所謂的悖論，就是指從這樣一個命題A，可推匯出另一個命題B，但這個明天本身卻存在自相矛盾的現象：若B為真，則推出B為假；若B為假，又會推出B為真。

而將已認知的悖論進行劃分的話，可以分為這三大類：

（1）一個論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）；（2）一個論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）；（3）一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻匯出了邏輯上的自相矛盾。

如果還沒看明白，那我們就講講幾個比較熟悉的悖論吧！首先還是要跟大家分享一下最熟悉的唐·吉訶德悖論。

著名小說《唐·吉訶德》裡描寫了一個殘酷的國王，在他所能統治的國家裡有一條法律：每個旅遊者都要回答一個問題：“您來這裡幹什麼？”如果回答對了，一切事情都好辦；如果回答錯了，立刻被絞死。某天，有個旅遊者來到這個國家，回答上述問題時他答道：“我是來被絞死的。”如果旅遊者回答是對的，按照法律，他就不應該被絞死；如果旅遊者回答是錯的，按照法律應被絞死，而他的“我是來被絞死的。”這句話顯然又是回答對了，也不應該被絞死。最後，國王無可奈何，只得對旅遊者放行。

除此之外，想必大家也應該還記得理髮師悖論和祖父悖論。

理髮師悖論

這是羅素集合悖論的一種通俗說法：薩維爾村裡的一名理髮師，給自己立了一條店規：“只給自己不給自己刮臉的人刮臉。”那麼這位理髮師的臉該不該由自己刮呢？如果理髮師的臉由他自己刮，則他屬於“自己給自己刮臉的人”，因此，理髮師不應該給自己刮臉；如果理髮師的臉不由自己刮，則他屬於“自己不給自己刮臉的人”，因此，他的臉可由自己刮，顯然又與上述“自己不給自己刮臉的人”相矛盾。

祖父悖論

祖父悖論又稱為“外祖母悖論”是一種時間旅行的悖論，科幻故事中常見的主題。最先由法國科幻小說作家赫內·巴赫札維勒(René Barjavel)在他1943年的小說《不小心的旅遊者》（Le Voyageur Imprudent）中提出。情景如下：假設你回到過去，在自己父親出生前把自己的祖父母殺死；因為你祖父母死了，就不會有你的父親；沒有了你的父親，你就不會出生；你沒出生，就沒有人會把你祖父母殺死；若是沒有人把你的祖父母殺死，你就會存在並回到過去且把你的祖父母殺死，於是矛盾出現了。

接下來，我們繼續講講與三次數學危機相關的悖論。

1、二分法悖論

故事是這樣的，假設一個人在到達目的地之前，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……按照這個要求可以無限迴圈的進行下去。。。

因此有兩種情況：①這個人根本沒有出發；②只要他出發了，就永遠到不了終點。（儘管離終點越來越近）

其實現在想想，這個悖論從邏輯上來看就是錯的。

2、貝克萊悖論

17世紀的時候，牛頓與萊布尼茲共同建立了微積分，給全世界數學的發展帶來了新的曙光，然而此時卻有跳出來指出了這麼一個問題：

在1734年，英國哲學家喬治·貝克萊出版了名為《分析學家或者向一個不信神數學家的進言》的一本書。

在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊，指出求x²的導數時，會出現如下矛盾：

貝克萊認為這是依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果。

然而這個問題並沒有阻礙微積分的發展，下拉格朗日、柯西等數學家的改進下，微積分依舊上當前數學研究中重要的基礎內容。

3、羅素悖論

在1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊高調宣稱：“……藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”

然而羅素提出的一個悖論：

所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那麼它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理應是所有不包含自身的集合的集合的一個元素。這樣的一個集合，包不包含自身，都必將引發矛盾。

如果看不懂這個悖論，那就請直接參考理髮師悖論。

就在這次危機爆發後很長一段時間內，數學家們曾試圖對“集合論”的定義加以限制，進而排除悖論。然而並無法消除悖論存在的可能性。

直到1931年，哥德爾提出了一系列不完備定理並予以證明。

①任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在至少一個命題：它在這個系統中既不能被證明也不能被證否。②如果一個形式系統含有初等數論，當該系統自洽（所有公理都不互相矛盾）時，它的自洽性不可能在該系統內證明。

所謂悖論，感覺就是一種語病或是關於無窮化之後的問題，畢竟無窮的東西是以省略的形式表達的，去除這些，悖論其實是不存在的.

例如：1=1/3 x 3=0.333··· x 3=0.999···，個人認為這涉及到一個趨向性問題，1/3並不完全等於0.333···，1/3這個數的小數形式最後一位總是向4趨近，而0.333···是固定的最後一位一定是3。所以我認為這並不是悖論，只是我們還沒有找到一個好的表現形式而已，在這裡我們忽略了一些細微的東西。

再說，

羅素悖論：所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那麼它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理應是所有不包含自身的集合的集合的一個元素。這樣的一個集合，包不包含自身，都必將引發矛盾。（這是很明顯的語病，邏輯錯誤好不好，既然前面已經說了它不包含自身，為何後面又要假設包含自身。這讓我不得不懷疑羅素是不是語言沒學好，無惡意的哈）

唐吉可德里：一個殘酷的國王，在他所能統治的國家裡有一條法律：每個旅遊者都要回答一個問題：“您來這裡幹什麼？”如果回答對了，一切事情都好辦；如果回答錯了，立刻被絞死。某天，有個旅遊者來到這個國家，回答上述問題時他答道：“我是來被絞死的。”如果旅遊者回答是對的，按照法律，他就不應該被絞死；如果旅遊者回答是錯的，按照法律應被絞死，而他的“我是來被絞死的。”這句話顯然又是回答對了，也不應該被絞死。最後，國王無可奈何，只得對旅遊者放行。（這僅是一個語言的矛盾利用，一句很順的話，被加上一個與之相沖突的條件，所得到的自然也是相沖突的，以結果作為起因來回答擾亂了原句的因果關係）

理髮師悖論：薩維爾村裡的一名理髮師，給自己立了一條店規：“只給自己不給自己刮臉的人刮臉。”那麼這位理髮師的臉該不該由自己刮呢？如果理髮師的臉由他自己刮，則他屬於“自己給自己刮臉的人”，因此，理髮師不應該給自己刮臉；如果理髮師的臉不由自己刮，則他屬於“自己不給自己刮臉的人”，因此，他的臉可由自己刮，顯然又與上述“自己不給自己刮臉的人”相矛盾。（很顯然這與唐吉可德里的相似，這也是忽視了言語中的因果關係，導致被人抓住漏洞，把理髮師代入了句子裡的自己，使得句子變成了理髮師即給自己又不給自己刮臉。就等於說我想吃飯我又不想吃飯樣，本身句子就有毛病，偏說成悖論）

所以我認為，悖論這東西只是自欺欺人，不存在的。

數學上的悖論很多，最著名的，就是導致了第三次數學危機的集合論悖論。因是英國哲學家羅素在1902年寫給數理邏輯學家弗雷格的一封信中最早提出來的，所以也經常被稱之為“羅素悖論”。 該悖論直指集合論的基礎問題，而集合論此時已經是整個數學大廈賴以建立的基礎，如若基礎不穩，則整個大廈為之震動。所謂導致了所謂第三次數學危機之說，就是這個意思。

羅素與弗雷格及其1902年的通訊

羅素本人1919年對這個悖論進行了“科普”，提出了一個生動有趣的比喻性解釋，稱為“理髮師悖論”。從而使得這個悖論幾乎家喻戶曉，堪稱是數理邏輯普及化的一個典範。

其他的著名數學悖論還包括：機率論悖論、幾何學悖論、曲線悖論、統計學悖論和蠕蟲悖論等。

荷蘭畫家埃舍爾筆下的永動水流城堡

機率論悖論說的是從機率論的一般性原理出發所得到的結論，卻與實際進行機率計算所得到的結果之間存在著很大矛盾。幾何學悖論則包含了視覺和計算錯誤、拓撲變換和不可能圖形等內容。曲線悖論來自於有數學家定義曲線是一條連續而光滑的線，而另有數學家發現按這個定義也可以形成一個面，從而使線和麵難以分辨，導致矛盾結果。而統計學悖論與機率論悖論有相似之處，一個看似機率很小的事件，實際發生的機率卻非常大，從而形成悖論。

蠕蟲悖論是說，一條每秒以一釐米的速度在一條一米長、但每秒都伸長一米的橡皮筋上爬行的蠕蟲，能否最後爬到橡皮筋的另一盡頭？以常識看這絕對是不可能的事情，但實際上從數學的角度看卻是可能的，只不過需要很長時間而已。這種悖論實際上是常識與數學之間的矛盾。諸如此類的悖論還有豌豆和太陽體積相等悖論，即把豌豆切成無窮多的小塊，再拼合起來，正好等於太陽的體積。

綜上，數學中的悖論，有些是數學自身所存在的矛盾或特殊性質引起，這是真悖論。有些則是對數學原理的誤解所引起，還有些是數學與常識之間的矛盾所致。後兩類嚴格的說不能算是真數學悖論。

答：貝克萊悖論、羅素悖論、意料不到悖論、鱷魚悖論、分球悖論等等。

悖論：指自相矛盾的命題，這個命題中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。（悖：混亂，相沖突；論：言論，言語。）

歷史上出現過的數學悖論很多，數理邏輯是數學的研究方法，於是很多邏輯上的悖論，也歸在數學門下，以下就是幾個有趣的數學悖論：

貝克萊悖論

在17世紀，牛頓和萊布尼茲各自都獨立創立了微積分，但是兩人對微積分中“無窮小量”的定義不明確，導致了後來的第二次數學危機。

到了1734年，英國大主教貝克萊駁斥微積分理論（本質是反科學），指出了著名的貝克萊悖論，該悖論把當時微積分中最大缺陷暴露了出來：

關於第二次數學危機的解決，直到19世紀後，由眾多數學家，比如波爾查、柯西、阿貝爾和康托爾等等，建立了更嚴密的數學定義後，才得到徹底解決。

羅素悖論

大名鼎鼎的羅素悖論（也稱理髮師悖論），直接導致了第三次數學危機的出現。

19世紀末，第二次數學危機在集合論的完善下得到解決，數學家們“歡欣起舞”。在1900年國際數學家大會上，法國大數學家龐加萊甚至宣稱：現在的數學，已經達到了絕對嚴密的程度！

沒想到三年之後，英國數學家、邏輯學家和哲學家——羅素，提出著名的理髮師悖論，震驚了整個數學界：

悖論的通俗解釋：城市中的所有人，都在一位技藝高超的理髮師那刮臉，這位理髮師說到：“我只為本城市中，不給自己刮臉的人刮臉”！於是，其他人對理髮師說：那麼你給自己刮臉嗎？

分析：倘若他不給自己刮臉，那麼他屬於“不給自己刮臉的人”，按照他的說法他就要給自己刮臉；倘若他給自己刮臉，他又屬於“給自己刮臉的人”，按照他的說法就不該給自己刮臉。

羅素悖論的出現，說明集合論本身是不完備的；直到1908年，數學家建立起了公理化系統，才讓集合論從根本上避免了羅素悖論。

預料不到悖論

一位學生會會長宣佈：在下星期一到星期五的某一天下午開會，但是你們無法提前知道哪一天開會，因為只有到了當天早上的8點鐘，我才會通知你們。

如果我們仔細分析這段話，會發現存在自相矛盾，使得開會無法進行，你能看出問題所在嗎？

鱷魚悖論

這是古希臘的一個故事：一條鱷魚從一位母親的手中奪走了孩子，母親苦苦哀求說：求求你放過我的孩子，你提什麼要求我都答應。

於是鱷魚得意地說到：可以，那麼你猜猜，我會不會吃掉你的孩子，如果你猜對了，我就把孩子還給你！

這位母親細想片刻說到：我想你會吃掉我的孩子！

鱷魚琢磨了一會愣住了，心想：我要是吃掉孩子，說明你猜對了，我應該把孩子還給你；如果我不吃掉你的孩子，說明你猜錯了，我又要吃掉你的孩子！

分球悖論

悖論意指自相矛盾的命題，但是在一些數學悖論中，也指代某些數學命題，只是該命題與人們的常識相悖，比如分球悖論就是這樣的。

分球悖論，數學中一條經過嚴格證明的定理，可以描述為：一個三維實心球，必定存在一種辦法分成有限部分，然後僅僅透過旋轉和平移，就可以組成兩個和原來完全相同的球（半徑相同，密度相同……所有性質都相同）。