負數，小數，無理數，虛數，這些都是數學中重要的概念。

負數是怎麼產生的呢？在中國古代，由於收支的計算，產生了讀書，多出來的稱作盈，不足的稱作虧。相當於現在的正負數。比如說買賣賠錢了，經常說虧了多少，使用的次數多了，就有了負數的概念。當然與現在負數的概念不完全一致，但是含義和運算是一致的。歐洲數學家一直不接受負數的存在，比如說解一元二次方程，他們不要那個負根，只要正根，過了一千多年才逐漸接受，這點比我們差遠了。

小數又是怎麼產生的呢？人們由於分配問題而產生了小數，比如說一個餅子分成兩半，一人一半，那麼一半的概念相當於二分之一，或者0.5，其他的小數類似。這也是生活實踐產生的。

無理數的產生源於對正方形對角線長的研究。研究幾何更是生產生活的需要，比如說丈量啊，體積啊，面積啊什麼的，都要用到，逐漸地就產生了無理數。不過無理數的確切概念產生的很晚，一直到牛頓，萊布尼茨這些人手裡才弄清楚無理數的本質。

虛數產生於解方程的需要，比如一個數的平方等於—1，也產生於工程學上的需要，現在虛數大量應用於工程學等高等學科，是非常重要的。

任何數都不是憑空產生的，都是實際跟實踐的需要才產生的，至於自然界有沒有，我想，都是有的，畢竟數學也客觀地反應了自然界的某些特徵。

謝謝！這個問題很重要，涉及中華民族文化底蘊問題，數字的虛數不虛是從實數中推匯出來的，這是人類文化文明的根基。這個推導有三個方面的題“陰陽五行數字，天干地支數字，數義音聲數字”，比如“今有物不識數，三三數之剩二，七七數之剩二，五五數之剩三，為此為何物？”，

起碼小數，無理數是無處不有，離開這些一概念，科學將永不發展。其實數學家對1的表述是0.99999......

就是人為命名的唄，你的名字怎麼起的，別人就怎麼叫你。這些概念和我們的名字一樣，只不過為了更好的區別罷了。。

虛數：不存在的，概念性的。

小數：有小數點的。

無理數：小數的一種，非迴圈小數，非有限小數。

負數：比0小的數。

我們應該明白，數學中矛盾的解決，產生新的數系。如

從自然數擴張到整數：增加的負數可以對應“欠債、減少”

從整數擴張到有理數：增加的分數可以對應“分割、部分”

從有理數擴張到實數：增加的無理數可以對應“單位正方形的對角線的長度（ ）”

從實數擴張到複數：增加的虛數對應什麼？

公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個有理數），這一不可公度性與畢氏學派的“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐，認為這將動搖他們在學術界的統治地位，於是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒。被畢氏門徒殘忍地投入了水中殺害。科學史就這樣拉開了序幕，卻是一場悲劇。

希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數並沒有佈滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經後人證明簡直多得“不可勝數”。於是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發現連同芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次數學危機，對以後2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學和邏輯學的發展，並且孕育了微積分思想萌芽。

中國是認識正、負數最早的國家。《九章算術》中給出正負數加減法的法則:“同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”這裡的“名”就是“號”，“除”為“減”，“相益”“相除”為兩數的絕對值“相加”“相減”，“無”為“零”。大意為“同符號兩數相減，等於其絕對值相減，異號兩數相減，等於其絕對值相加。零減正數得負數，零減負數得正數。異號兩數相加，等於其絕對值相減，同號兩數相加，等於其絕對值相加。零加正數等於正數，零加負數等於負數。”

在數學史上，劉徽第一個給出了正負數的定義:“今兩算得失相反，要令正負以名之。”即在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分。“正算赤，負算黑;否則以邪正為異”，即用紅色算籌表示正數，用黑色算籌表示負數;也可以用斜擺算籌表示負數，用正擺算籌表示正數。用不同顏色的數表示正負數的習慣，一直沿用至今。

直到17世紀歐洲才對負數有一個完整的認識。引進負數而形成有理數集合，這是數概念的第三次擴充。“有理數”在英語中是rational number，而rational的通常意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語翻譯方法將其譯成了“有理數”，但該詞源於古希臘，其原意為整數之“比”。

即使是尤拉(Leonhard Euler)，也為“負數”的概念糾結了好一陣。不過現如今，認為負數“無用”或“不合邏輯”才是真的荒謬。

那為什麼人們對負數的理解發生了180°的大轉變呢？因為我們發明了一種具有有用屬性的理論上的數字，負數並不能很好地用來描述我們看得見、摸得著的可直觀感受的事物，但卻能很好地描述某種關係。

例如“債務”。人們會在日常支出中記錄各種交易資訊，如果欠別人50元，你會記錄-50，在賺了100元以後，可以直接用100+(-50)=50來計算屬於自己的錢，而不需要更多的文字描述，負數已經將這種關係植入其中，既然有這種屬性，又有什麼理由說它是無用的呢？可見“關係”的重要性。

小數的名稱是13世紀中國元代數學家朱世傑提出的。而元代數學家劉瑾最早提出了小數的表示方法。就是把小數點後面的數降低一格。例如，把8.63擺成圖中所示的樣子 ，這是世界上最早的小數表示方法。

在西方，小數出現很晚。公元1427年，伊朗數學家阿爾·卡西創造了新的小數記法。就是把整數部分和小數部分分開寫，如：3.14記作3 14。瑞士數學家用一空心圓圈把整數部分和小數部分隔開，比如把36.548表示為36.548。這種記法與現代的表示很接近。

最早使用小圓點作為小數點的是德國數學家克拉維斯。1593年，他在寫的一本書《星盤》中用小黑點代替了小圓圈，這個小黑點比小圓圈更簡潔。1608年，他在寫的另一本書《代數學》中，更明確地使用這種小數點。這就是用點表示小數記法的開始。

在虛數的概念被創造之前，人們始終認為任何數的平方都必定是一個大於等於零的數，因此只有對非負數開根號才具有意義，而對於一個負數開根號則絲毫沒有意義，因此像x²+1=0這樣的方程是沒有解的，平方數非負作為一個觀念已經深入人心。16世紀，義大利數學家卡爾達諾在其著作《大術》（《數學大典》）中給出了最早的虛數記號，但他認為這僅僅是個形式表示而已，並沒有什麼實際的意義和用途。

1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出“虛數”的名稱，和“實數”相對應，將x²+1=0的解定義為i。但直至此時，數學界對虛數的理解依舊十分縹緲，笛卡爾稱“虛數”的本意就是指它是虛假的。

真正賦予虛數以內涵的是高斯。由於人們把實數定義為和數軸上的點一一對應的數值，高斯創造性地引入了複平面的概念予以說明。高斯將一維的橫軸拓展到了具有橫軸和縱軸的平面直角座標系。平面直角座標系的橫軸被稱為實部，平面直角座標系的縱軸被稱為虛部，因此由實部的實數和虛部的虛數共同構成的數便是複數。複平面上的每一個點都可以唯一的對應一個複數，後來慢慢地將複數用來表示一個向量。

總之虛數在現實世界裡不存在，但將ⅰ與複數平面裡的虛軸對應後，則表示該軸上的一個單位長度，其中，任一複數z=a+bi(a=Re(z)，b=Im(z) )都和該平面裡的點(a，b)對應，且對應一個起點為原點，終點座標為(a，b)的向量.

數是文明開化的不可或缺的工具，用以將人類活動納入一定的秩序。如果我們能夠更好地把握數的發展史，我們就能在每個發現或發明的源頭髮現偉大的智力。

所有的都有應用，找些應用例子，就可以理解了。比如：虛擬空間就用到虛數；圓周率 對數e都是無理數（無限不迴圈）。

自然界中，萬物皆數也！那麼，所有的事物都可以用數表示。

數分為實數和虛數。

實數分為有理數個無理數。

有理數分為整數和分數。

整數分為合數和質數。

奇質數分為2n+1類和4n+1類。

2n+1類：3，7，11，19...

4n+1類：5，13，17，29...

其實，有且只有虛數在自然中是不存在的。但是，虛數卻是高次方程的解。小數，無理數和負數，在自然中都是存在的。

最開始，有人提出有數字0存在，被宗教者殺害。

小數，有的是分數所化成（如1/7=0.142857...，2/10=0.2）有的是開方等所得（如√2=1.41421356...，sin8=0.989358246...）還有的是人們計算所得（π=3.1415926535...，e=2.7182818284...）。至於負數，就更好理解了，就是相反的。

有人說兩個負數相乘沒有應用題，我就出一道：

有人以每分鐘50米的速度向後走路，8點鐘走到A點。請問7點55分鐘的時候，此人距離A點多少米？就是(-50)×(-5)=250（米）

要記住：

凡是科學家創造出來的東西，都是可以理解的，都大有用武之地。