有理數和無理數，誰更多？

有理數是指一個整數a和一個非零整數b的比，即一個比值而非“有道理”的數。那麼，有理數有多少呢？約公元前580年至公元前500年間，畢達哥拉斯學派認為“萬物皆為數”，即宇宙的一切現象都能用有理數來表示，可見有理數之多。然而，該學派的弟子希伯索斯的驚人發現，第一次向人們揭示了有理數的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數並沒有佈滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“空隙”，而這些“空隙”就是無理數。那麼無理數有多少？與有理數比較，誰更多？下面從三個方面進行比較：

一、直觀感覺比較

二、透過基數比較

有理數在實數中是處處稠密的，即在數軸上任何小區間中都有有理數存在（並且有無窮多個）。儘管如此，有理數集是可列集，即全體有理數還只不過是一個和那樣稀疏分佈著的整數全體成為1—1對應的可列集，基數為N0。我們知道，在眾多的無限數集中，最小的基數便是N0，而實數集具有連續基數c，可見無理數集合也有連續基數c。而c和N0的關係可由Cantor-Bernstein定理：

來說明。顯然，從數量角度，無理數要比有理數多得多。

那麼，無理數比有理數多多少呢？下面從測度角度進行說明。

三、透過測度比較

我們以閉區間[0,1]中的有理數和無理數為例。顯然該區間的長度為1，即[0,1]中的有理數和無理數構成的區間長度的總和為1。而[0,1]中的有理數的Lebesgue外測度為0，那麼該區間的無理數的Lebesgue外測度為1。從長度角度，無理數比有理數多的程度由此可見。

透過三個方面的比較，我們知道無理數比有理數多。而且透過衡量閉區間[0,1]中的有理數和無理數的Lebesgue外測度，使我們更形象地瞭解到無理數比有理數多的程度。

從無窮大的概念來看無理數更多，但無窮大很燒腦，可以換一個常規的方法來比較誰更多一些。

任意有理數都可以寫成迴圈小數的形式，其中迴圈的部分稱為迴圈節。如1/6=0.1666……，其中6為迴圈節。還有一些特殊的數，如1=1.000……，其中迴圈節為0；2.6=2.60000，迴圈節也為0。最後兩個雖然特殊，但毫無疑問是對的，因此任意有理數都能寫成帶迴圈節的無限迴圈小數。

一個有理數只有兩個要素，迴圈節和迴圈節之前的數。只要保留這兩個要素，就可以對應所有的有理數，具體操作方法如下：從第二個迴圈節開始隨意更改數字，只要保證新創造的數字無限不迴圈。

顯然新創造的數是無理數，而且在一個有理數的基礎上可以創造出無窮多個的無理數。舉個例子，我們加上π的小數部分就是無限不迴圈的，然後在任意位置進行任意更改π的小數部分，得到的數字仍然是無限不迴圈的。

因為每個有理數都可以對應無數個無理數，因此無理數更多。有理數本來就有無數個，而無理數的個數是有理數的無數倍，數學上把這種現象稱為高階無窮大。