這種樣式的帽子被稱為“幞（fú）頭”，後面的兩個“尾巴”，則被稱為“幞頭腳”。最開始的時候，這個“幞頭腳”只是多餘的部分，也就是兩條頭帶包住腦袋以後，多出來的兩個角。

古代人普遍認為包頭巾要美過戴帽子，所以頭巾的戴法流傳了很多年，並且經過了許多改動。到了唐代，開始發生更多的轉變。首先是開始在頭巾里加一個內襯，稱為“巾子”。

這使得幞頭變得高並且更有形狀，有了電視劇裡“高帽子”的雛形。與此同時，人們也開始對幞頭腳的造型感興趣，首先是不斷加長，有了所謂“長腳羅幞頭”。

隨後，最具有標誌性的變化——出現了硬腳幞頭。《幕府燕閒錄》中有：“自唐中葉以後，謂諸帝改制，其垂二腳，或圓或闊，周絲絃為骨稍翹矣。臣庶多效之。”

得到皇帝支援，這兩個帽子後面的“尾巴”，開始引人注目，並且越來越翹，發展到宋朝，簡直可以說是突破天際，五花八門，為所欲為……

古人在某些東西上的想象力，歎為觀止……

扯遠了，問題中說道，宋朝也有類似的設計。其實唐宋幞頭腳還是有區別的，最明顯的在於，唐朝的幞頭腳大多下垂，並且有弧度，如下圖——

宋朝則是長、直、有稜有角，如下圖——

最後再說到幞頭腳的作用……這真挺難說的，因為更多程度上，這是一種服飾審美的演變，是文化變遷的一種影響，最後被官方定式，成為官服的普遍樣式。說到底，大概因為好看吧。

那兩啾啾“尾巴”叫“幞頭”。早期的“幞頭”通俗說可以理解成一種包頭布，北朝晚期以來為求收束牢固，其有裁出來的四個角，繫裹時先在髮髻上加一硬質“巾子”，再將幞頭繫裹，其中位於後腦的兩個角在繫結後剩餘部分下垂，也就是題主所說的那兩個“尾巴”。這種包頭布式的“幞頭”在後來演變成了可以直接戴上取下的冠帽，但舊有特徵仍存遺象，宋元明幞頭、烏紗帽後的硬框展角、帽翅，其淵源就是早期繫裹式幞頭後打結下垂的那兩個角（唐代已出現在後兩角內加硬襯骨架的做法），從最早實用性結構變成了裝飾性構件。