下面這個例子正好符合你的要求，是我偶然發現的。在圓周上任何不規則的位置畫點，然後把每兩個點連線起來，計算圓被連起來的線分割成多少個區域。畫1，2，3，4，5……個點，圓會被分割成1，2，4，8，16……個區域，這個數列非常漂亮：

那麼你用直覺猜一下，如果畫6個點，圓會被分割成多少個區域？你確定自己的答案是對的嗎？你甚至懶得去數圓被分割成了多少個區域，對不對？

你的直覺肯定是32。這種直覺非常令人信服，導致你即使一個個數了之後，仍然相信應該是32，反而覺得是自己數錯了……直覺的力量非常強大，你很難相信自己的直覺是錯的。但事實是，你的直覺確實錯了！

任何涉及“更高維度”（即超過3）的事情往往都是違反直覺的。我特別喜歡下面這個例子：

我們先從二維空間開始。平面上有四個半徑為1、圓心座標分別是（1，1）、（-1，1）、（1，-1）、（-1，-1）的圓。現在還有一個圓心座標是（0，0）的圓，它跟上面的4個圓都有交集。很顯然這個圓心座標是（0，0）的圓比其他4個要小。

下面是三維空間的情景：三維空間中也有跟二維空間類似的半徑為1的圓，只不過是8個，圓心座標分別是（+/- 1，+/- 1，+/- 1），（+/ 1，+/ 1，+/ 1）……。同樣的也有一個半徑為1、圓心座標是（0，0，0 ）、跟其他8個圓都有交集的圓。顯然這個圓心座標是（0，0，0 ）的圓也比其他8個小。

以此類推，你會以為放在其他圓、球體或者更高維度的類似物中間的圓、球體或者更高維度的類似物總是比它外面的圓、球體或者更高維度的類似物小。但實際上不是的。在四維空間中，它們的大小都相同。在五維或者更高維度的空間中，裡面的會比外面的大。

不管是幾維空間，外面的“球體”的半徑永遠是1。而在n維空間（n> 4）中，裡面的“球體”的半徑是sqrt（n）-1，是大於1的。

“失蹤的正方形”必須榜上有名啊。先看看下面的圖片吧：

這兩個三角形尺寸是完全相同的，都是：

不過，你會發現儘管這兩個三角形覆蓋的區域是相同的，但是第二種拼法少了一個正方形，對吧？

答案是：錯。

這張圖的關鍵是：其實三角形斜邊的斜率是不同的，所以這兩個實際上不是三角形而是四邊形。在第一幅圖中，最上面的藍色三角形斜邊的斜率為：

而下面的紅色三角形斜邊的斜率為：

由於它們兩個的斜率是不同的，所以它們其實並沒有位於同一條直線上。不過這用肉眼是很難看出來的，因為彎曲度大概只有：

不過，當你把它們像這樣拼在一起的時候，就變得一目瞭然了：

因此，失蹤的正方形區域恰好是這兩個“假三角形”之間溢位來的斜邊所構成的一個很小的四邊形。

想起了以前被矇騙了好久的一道偽推理題目，發上來看看會有多少人想我一樣被騙：

三個人去住店，每人收10元，總共是30元。老闆善心大發，給夥計5元，讓他退還給住店的三個人。夥計想，5元怎麼分，於是自己私吞了2元，把3元平均分給了那三個住店的人。這樣就等於每人住店用9元住店。那麼3*9=27，加上夥計手上的2元，以共29元，請問剩下得1元錢去哪了？

數學直覺

在數學哲學中，直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。

任何數學物件被視為思維構造的產物，所以一個物件的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以透過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。

直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學物件純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否命題。(參看直覺邏輯.)

直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮象所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定物件。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。

導致的錯誤

第一，一位學生髮現了一個底邊為1的

等腰直角三角形

的斜邊（即根號2）永遠無法用

最簡整數比

來表示，從而發現了第一個

無理數

，推翻了

畢達哥拉斯

的著名理論，但就因為這樣這個學生也被拋入大海；

第二，

微積分

的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻；

第三，

羅素悖論

：S由一切不是自身元素的

集合

所組成，那S屬於S嗎？用通俗一點的話來說，

小明

有一天說：“我永遠撒謊！”問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在於，它不像最大序數

悖論

或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，輕鬆摧毀集合理論！

數學的錯誤認識才引發了人類文明的發展，長期以來只因為人類對數學的直覺的錯誤才誘導人類對宇宙的好奇，數學中神奇的錯覺，種下了今天人類文明對萬物產生不斷的探索。

數學中的直覺錯誤以1+1=2為例，看似異常簡單沒有任何一絲有不對的地方，可是人類以1+1先例開始，一步一步地陷入數學錯誤直覺中無回頭。人類起始數學都是在直覺中，都以1+1=2為基礎，千萬年來習以為常司空見慣認為事物是以數學可以計算，可以模擬的。需不知數學是人類意識看事物的直覺表象，而人類的意識是相對模糊的，很多時候人類意識都是難以讓人理性，很多時候意識都是從錯覺中來。而這個所謂數學本性是人類意識的錯誤直覺，所以在計算數學1+1的認識中，許許多多數學的計算根本沒有在實際中出現，根本不存在這種毫無邊際的數學，可是在人類的直覺認識中好像自然而然，如數學計算中超光速時間就會倒流同樣演繹的逼真。在數學計算領域中，沒有任何人知道哪一道數學題或在某一算術對解中，哪一齣處數學計算是直觀錯覺，是在本宇宙中不成立。而在計算任何一道數學題中都有這樣的似是而非的出處。 可見數學的錯誤是人類文明起始，本代文明顯然沒有再回頭之路。1+1真的會等於2嗎？這個錯覺都沒有讓人類敏覺，那麼所有的數學直覺錯誤將無從談起，所有的人類文明發展只能在數學的錯覺中繼續蔓延。不經意中常常靠問一下1+1有可能存在等於2嗎？這隻能是一種錯覺的演繹。

1+1只是在錯覺中存在，物質總是以抗衡形式發展，人總是懷疑目光看待事物，壓根兒沒有1+1=2的存在。在現實中數學也無法解釋根本，總是以錯誤的結果收場。沒有一個狀態下完全可以用數學來解釋，沒有一種數學可以證明一切。事實數學本身就是人類在錯覺的產物，直截了當用數學佐證去忽悠他人，在不明是非的人中堂而皇之成立。

其實沒有對錯之說，語言文字描述著物體，闡釋情感，但很乏裡很乏力的，這和數學定律規律瞭解物質狀態一樣，科學也很乏力很乏力的，科學是一種邏輯，聯絡物質之間的邏輯，物質的運動可以用哲理闡述，用唯心證明，一樣可以總結出規律，妙語箴言不就是嗎，數學科學也一樣，比如t，v，m時間，速度，質量，當然還有很多，在最初定義的時候，已經融入了創造者的內心的哲學啊，或者說假設，其實唯物唯心是沒有的事情，他們是共存的，矛盾的，但這就是事實！思想哲學裡的愛，恨，情，愁，也一樣存在規律，因果，他們是本質一樣的東西，當人類賦予一個不存在的東西，在一個物體上，並建立龐大的邏輯體系，我們就被困住了，甚至會認為這些是實際存在的，真是迂腐之至！文字，有嗎？數字有嗎，符號有嗎？沒有！科學裡的各種因素，時間，和質量啥的,都是我們臆想的呀，自以為是的規定呀，怎麼就不明白呢？什麼e=mc2，哪個存在？沒有，我們可以根據目前人類的邏輯認知，改變一些東西，但你改變不了因果，你解釋不了因果，在基本一點，你解釋一下隨機，若說一切都是有規律的，那電子的隨機，元素的衰變都是隨機的，能有規律嗎？能研究透徹嗎？不能，我們最應該去探討的是這因果的由來，隨機的由來，而不是，什麼一維二維空間，時空旅行，不可能的，當然也有一種可能，或許接近光速你會到未來，不是時間慢了，是物質的狀態慢了，最根本的隨機受到了改變，當然這只是假設，但是人若用冷凍也好，超光速也好去到未來，有意義嗎，愛你的你愛的人都不在了，就算全世界一起超光速，有意義嗎？你又回不去，還一樣活百八十載，邏輯文明不在連續，你我的心情會怎麼樣，再說了我們一直在時間旅行啊，勇往直前，是造物主在眷顧我們，讓我們一起旅行，而不是斷斷續續的片段，而是一副華麗的電影，不是ppt，所以醒醒吧人類！

呵呵，數學中有許多錯覺，比方說這個：（自己畫的，見諒。）大家第一眼的錯覺來說，一般都是二號短一點，一號長一點。可事實並非如此，我畫的線都是二釐米。因為放大了，所以不要吐槽。

再舉個栗子吧：三個人去住賓館，要花三十元，每人付十元對吧。但事後，老闆又說打折促銷，讓服務員退回5元，可是服務員只退給他們三元，藏了兩元。這時候，就等於每個人都付了9元，3✖️9是27，再加上服務員生藏起來的2元，為什麼只有29元了呢？

太累了？來個解壓圖吧！點進這個圖片，然後搖晃你的手機，平板，電腦！是不是在動呢？

數學上最容易犯直覺上錯誤的地方大概就是無窮大這個概念了。

舉個最簡單的例子：偶數多還是整數多？很多人肯定是不假思索的說，整數包含偶數，但是偶數不包含整數，所以當然是整數多了。但是實際上，兩個是一樣多的。

這一點，“希爾伯特的旅館”這個很多人耳熟能詳的故事已經告訴大家這個原理了：

假設有一個擁有可數無限多個房間的旅館，且所有的房間均已客滿。或許有人會認為此時這一旅館將無法再接納新的客人（如同有限個房間的情況），但事實上並非如此。

有限的顧客可以住入這個旅館：

設想此時有一個客人想要入住該旅館。由於旅館擁有無窮個房間，因而我們可以將原先在1號房間原有的客人安置到2號房間、2號房間原有的客人安置到3號房間，以此類推，這樣就空出了1號房間留給新的客人。重複這一過程，我們就能夠使任意有限個客人入住到旅館內。

甚至於，這個旅館還可以接受無限個客人：

另外，我們還能使可數無限個新客人住到旅館中：將1號房間原有的客人安置到2號房間、2號房間原有的客人安置到4號房間、n號房間原有的客人安置到2n號房間，這樣所有的奇數房間就都能夠空出來以容納新的客人。

有人願意把這個假設稱為悖論，但實際上這個只是人們直覺的錯誤而已，而不是說有什麼矛盾的地方。實際上，房間注滿，和不能再住人，在這個房間數字趨於無窮的時候，並沒有什麼直接的聯絡。

並且人們在面對“無限”這個概念時，直覺帶來的侷限性曾經一度讓數學陷入了一種困境，因為沒有人可以說清楚多大是無窮大、多小是無窮小，直到“epsilon-delta語言”出現，才把對無限的描述變成了一種具有堅實邏輯基礎的概念。