首先，基本的答案是：無理數在任何進位制下都是無理數。一個數是有理還是無理，是這個數本身的性質，不依賴於進位制。
其次，題目中的“那個值”有點模糊。如果說數的表示形式，當然會有變化。例如十進位制中的2，在二進位制中就是10（第一位的1乘以2，加上第二位的0乘以1，得到十進位制中的2）。十進位制中的0.5，在二進位制中就是0.1（小數點後第一位的1除以2，得到十進位制中的0.5）。十進位制中的0.25，在二進位制中就是0.01（小數點後第一位的0除以2，加上第二位的0除以2的平方，得到十進位制中的0.25）。
思考一下，二進位制中的無限迴圈小數0.1010101010...，在十進位制中是什麼呢？
這個表示式實際的意思，是1除以2，加上1除以2的三次方，加上1除以2的五次方，加上1除以2的七次方，如此等等無限下去，也就是1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + 1/2^7 + ...。這是一個等比數列的和，首項等於1/2，後項跟前項的比例q = 1/4。
學過高中數學的人知道，這個等比數列的前n項之和等於(1/2) * (1 - q^n) / (1 - q)。當n趨於無窮時，q^n = 1/4^n，而4的n次方趨於無窮，所以q^n趨於0。因此1 - q^n趨於1，整個等比數列之和就是(1/2) / (1 - 1/4) = (1/2) / (3/4) = (1/2) * (4/3) = 2/3，也就是十進位制小數0.666666...。這個數在二進位制和十進位制中都是無限迴圈小數，所以一眼就可以看出它是個有理數。
根據同樣的道理，你還可以證明十進位制中的0.1，在二進位制中是一個無限迴圈小數0.00011001100110011...。所以，在一個進位制中的有限小數，在另一個進位制中可能變成無限迴圈小數。
但無論如何，一個進位制中的有理數（有限小數或無限迴圈小數），在另一個進位制中不可能變成無理數（無限不迴圈小數）。反之亦然，一個進位制中的無理數，在另一個進位制中不可能變成有理數。題目中問的π、e、黃金分割等無理數，都是這樣的，在任何進位制下都是無限不迴圈小數。
黃金分割
原因很簡單。有理數的定義，是可以表示成兩個整數相除，而整數在任何進位制中都是整數，所以這個定義是跟進位制無關的！
首先，基本的答案是：無理數在任何進位制下都是無理數。一個數是有理還是無理，是這個數本身的性質，不依賴於進位制。
其次，題目中的“那個值”有點模糊。如果說數的表示形式，當然會有變化。例如十進位制中的2，在二進位制中就是10（第一位的1乘以2，加上第二位的0乘以1，得到十進位制中的2）。十進位制中的0.5，在二進位制中就是0.1（小數點後第一位的1除以2，得到十進位制中的0.5）。十進位制中的0.25，在二進位制中就是0.01（小數點後第一位的0除以2，加上第二位的0除以2的平方，得到十進位制中的0.25）。
思考一下，二進位制中的無限迴圈小數0.1010101010...，在十進位制中是什麼呢？
這個表示式實際的意思，是1除以2，加上1除以2的三次方，加上1除以2的五次方，加上1除以2的七次方，如此等等無限下去，也就是1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + 1/2^7 + ...。這是一個等比數列的和，首項等於1/2，後項跟前項的比例q = 1/4。
學過高中數學的人知道，這個等比數列的前n項之和等於(1/2) * (1 - q^n) / (1 - q)。當n趨於無窮時，q^n = 1/4^n，而4的n次方趨於無窮，所以q^n趨於0。因此1 - q^n趨於1，整個等比數列之和就是(1/2) / (1 - 1/4) = (1/2) / (3/4) = (1/2) * (4/3) = 2/3，也就是十進位制小數0.666666...。這個數在二進位制和十進位制中都是無限迴圈小數，所以一眼就可以看出它是個有理數。
根據同樣的道理，你還可以證明十進位制中的0.1，在二進位制中是一個無限迴圈小數0.00011001100110011...。所以，在一個進位制中的有限小數，在另一個進位制中可能變成無限迴圈小數。
但無論如何，一個進位制中的有理數（有限小數或無限迴圈小數），在另一個進位制中不可能變成無理數（無限不迴圈小數）。反之亦然，一個進位制中的無理數，在另一個進位制中不可能變成有理數。題目中問的π、e、黃金分割等無理數，都是這樣的，在任何進位制下都是無限不迴圈小數。
黃金分割
原因很簡單。有理數的定義，是可以表示成兩個整數相除，而整數在任何進位制中都是整數，所以這個定義是跟進位制無關的！