個人以為，既然三角函式是從圓周運動這個地方生髮出來的，那麼，就應該可以用圓周的數形結合，硬推！

圓類問題，核心輔助線就是作垂直，角度的疊加可以看作是一根半徑在已經旋轉α角度以後，繼續旋轉β角度，那麼，做垂直理論上是可以表示α+β角的。

三角函式的和差公式，是高考的重點內容，出題靈活。我記得，我在高中時候，對三角函式的這些公式就很膽怯，原因就是太長，太多。今天看到這個問題，我就來給大家開闊一下思路。如果不用向量推導，有沒有其他方法推出公式呢，答案是有的，而且比較簡單，就是利用尤拉公式。上面就是著名的尤拉公式，當θ＝90°時候，就是著名的公式：e＝1+iπ。再來看看三角函式的和差公式，我們以正弦為例：如何透過上面的尤拉公式來推導三角函式的和差公式，推導過程如下：

步驟很多，其實很簡單，希望大家喜歡。

（應邀）

推導三角函式的和差角公式的方法很多，我們先不妨回顧一下用向量推導三角函式和差角公式：

用向量推導

令：

a = (cos α, sin α), b = (cos β, sin β)

則，

|a|= |b| = 1

∠ab = α - β

根據，向量內積公式：

有：

cos α cos β + sin α sin β = a⋅b = |a||b|cos ∠ab = 1⋅1⋅cos(α - β) = cos(α - β)

即，

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

令，β = - β 帶入上式，並利用誘導公式：

cos(-x) = cos x

sin(-x) = sin x

得到：

cos(α + β) = cos α cos(-β) + sin α sin(-β) = cos α cos β - sin α sin β

即，

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

令，β = π/2 - β 帶入上式，並利用誘導公式：

cos(π/2 ± x) = ∓ sin x

sin(π/2 ± x) = cos x

得到：

- sin(α - β) = cos(π/2 + α - β) = cos(α + π/2 - β) = cos α cos(π/2 - β) - sin α sin(π/2 - β) = cos α sin β - sin α cos β

即，

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

令，β = - β 帶入上式，得到：

sin(α + β) = sin α cos(-β) - cos α sin(-β) = sin α cos β + cos α sin β

即，

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

這個推導過程中，只有餘弦差角公式： cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 是利用 向量推匯出來的，剩下的 三個和差角公式，是基於這個公式，利用誘導公式推導得到的。後續三個公式的推導 是可逆的，這說明：只需要推匯出 四個和差角公式的一個就很容易推匯出其他和差角公式。

接著，我們來看看除了用向量以外的其它推導方法：

用矩形圖推導

繪製如下矩形圖：

由矩形左右對邊長度相當得到：

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

由矩形上下對邊長度相當得到：

cos α cos β = cos(α + β) + sin α sin β

即，

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

當然，也可以繪製如下矩形圖：

得到聯立方程：

sin α = sin(α - β) cos β + cos(α - β) sin β ①

cos(α - β) cos β = cos α + sin(α - β) sin β ②

①式兩邊 乘以 cos β ， ②式兩邊 乘以 sin β，然後結果相加，有：

sin α cos β + cos(α - β) cos β sin β = sin(α - β) cos² β + cos(α - β) sin β cos β + cos α sin β + sin(α - β) sin² β

sin α cos β = sin(α - β) (cos² β + sin² β) + cos α sin β

sin α cos β = sin(α - β) + cos α sin β

即，

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

類似的，①式兩邊 乘以 sin β ， ②式兩邊 乘以 cos β，然後結果相減，化簡後，可以得到：

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

也可以，直接 令 α = α + β ，代入 ① 和 ② 分別有：

sin(α + β) = sin(α + β - β) cos β + cos (α + β - β) sin β = sin α cos β + cos α sin β

cos α cos β = cos(α + β - β) cos β = cos(α + β) + sin(α + β - β) sin β = cos(α + β) + sin α sin β

即，得到：

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

用尤拉公式推導

根據，尤拉公式：

可以，設：

將上面等式相乘，有：

而：

於是，有：

比較等式兩邊，實部=實部，虛部=虛部，於是得到：

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

當然，也可以 令，x = -x 帶入 尤拉公式得到：然後將 尤拉公式 與 上式 相加，化簡得到：令，x = α + β，帶入上式，有：

類似的，令，x = α - β，帶入等式 (2)，化簡，可以得到：

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

另外， 將 尤拉公式 與 式(1) 相減，可得到：

然後，用上面的方法，可以得到剩下的兩個 和差角公式。

用行列式性質推導

設， 邊長為 1 平行四邊形 AOBC，如下圖：

其中，A = (cos α, sin α), B = (cos β, sin β)，根據線性代數的知識，我們知道行列式：就是 平行四邊形 AOBC 的面積，即，另外，由 平行四邊形 面積公式，有：故，得到：

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

用半圓圖推導

繪製如下半圓圖：

有：

即，

sin(α + β) sin β = cos α - cos(α + β) cos β

令，α = α - β 帶入上式 得到：

sin(α - β + β) sin β = cos(α - β) - cos(α - β + β) cos β

sin α sin β = cos(α - β) - cos α cos β

即，

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

類似的，利用 |BD| = |BE| + |DE|，也可得到同樣的結果。

用平面幾何知識推導

過原點的，任意兩條射線 OA 和 OB，夾角 ∠AOB = β，OB 於 OX 軸的 夾角 ∠BOX = α，OA 與單位圓 相交於 A 點，過 A 點 分別 做 OX 和 OB 的垂線 OC 與 KD，過 D點 左 OX 的垂線 DE，過 A 點 作 DE 的垂線 AF，繪製圖形如下：

首先， ABCD 顯然為矩形，於是有 |AF| = |EC| 並且 AF // EC。

然後，由 ∠ OAD = π/2 - β， ∠ OAC = π/2 - ∠ AOC = π/2 - (α - β)，得到：

∠ CAK = π - (∠ OAD + ∠ OAC) = π - (π/2 - β + π/2 - (α - β)) = α

故，

∠ OKA = π/2 - α

再 由 AF // EC，知：

∠ DAF = ∠ OKA = π/2 - α

接著，有：

|OC| = |OE| + |EC| = |OE| + |AF|

其中，

|OC| = cos(α - β)；

|OE| = |OF|cos α = cos β cos α = cos α cos β

|AF| = |AD| cos(π/2 - α) = sin β sin α = sin α sin β

於是，得到：

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

（利用 平面幾何知識推導 差角公式的方法 不止這一種，還有很多很多！）