目前剛好在研究材料屬性，正好可以回答這個問題。

探究這個問題，使用最基本的原理就是能量守恆定律。碰撞過程中那一種材料損失的能量少，反彈就是最高的。

我們不考慮球下落反彈過程中空氣摩擦導致的能量損失，那麼可能損失能量的地方就是和地板碰撞的時候。這裡地板兩個最關鍵的兩個屬性決定了碰撞時能量損失的比例，即材料的彈性和塑性。

彈性：

在物理學和機械學上，彈性理論是描述一個物體在外力的作用下如何運動或發生形變。在物理學上，彈性是指物體在外力作用下發生形變，當外力撤消後能恢復原來大小和形狀的性質。在固體力學中彈性是指： 當應力被移除後，材料恢復到變形前的狀態。線性彈性材料的形變與外加的載荷成正比，此關係可以用線性彈性方程，例如胡克定律，表示出來。

塑性:

是指在外力作用下，材料能穩定地發生永久變形而不破壞其完整性的能力。對大多數的工程材料,當其應力低於比例極限（彈性極限）時,應力一應變關係是線性的，表現為彈性行為，也就是說，當移走載荷時，其應變也完全消失。而應力超過彈性極限後，發生的變形包括彈性變形和塑性變形兩部分，塑性變形不可逆。

彈性不會導致能量損失，而塑性會導致碰撞能量損失。因此，地板彈性越好，反彈越高，如天然橡膠地板反彈最高。

小球的反彈高度與直徑無關，與兩者的材料有關。小球從高處落下，勢能轉化為動能和小球和地板的彈效能。小球的反彈高度，就與小球和地板分到的彈效能有關，這個彈效能與材料常數——彈性模量有關。彈性模量越高，獲得的彈效能就越小，反彈的也就越高。下面我簡單計算一下。

取小球半徑0.1m，地6*6*2m。為了縮短計算時間，模型均採用1/4對稱模型。在小球與地面的撞擊過程中，勢能轉化為小球和地面儲存的應變能。對於小球來講，應變能仍然屬於自己的能量，沒有丟失。真正丟失的能量是傳遞給地面的應變能，也正是這個原因，每次撞擊，小球反彈的高度都會降低。因此，小球模型採用剛體模型，即忽略小球的應變能，這樣可以加快計算過程。小球密度7800kg/m3，是鋼材。

地面採用的是鋼材料，密度7800kg/m3，彈性模量200GPa，泊松比0.3，忽略塑性變形。儘管忽略了材料的塑性，但是地面的彈性恢復能無法及時全部傳遞給小球，因此小球丟失了一部分能量。

自由落體反彈的過程，總體上可分為：1）下降階段，2）撞擊階段，3）反彈階段。然後再不斷地重複上述三個過程，直至能量耗盡。

1）下降階段

假設小球從高度1m開始自由落體，在這個高度下，空氣阻力可以忽略。那麼落地速度和時間可根據能量守恆計算：落地時間約0.452s，落地速度約4.427m/s，g取9.8m/s2。這兩個引數跟小球自身的重量沒有任何關係。

2）撞擊階段

撞擊階段的過程略顯複雜，想要獲得撞擊過程中，小球的準確位置非常困難，必須藉助於有限元軟體的計算。撞擊的初始狀態，小球的撞擊速度為4.47m/s，勢能完全轉化為動能，約10MJ，M為小球的質量。撞擊的過程中，小球和地面都會發生變形，以應變能的形式儲存了一部分的能量，分掉了小球的動能。地面獲得的應變能向下傳遞，無法及時地在撞擊的過程中再傳回小球。小球的速度從4.427m/s急劇下降至零，然後從零開始反彈，獲得反彈的初速度。下圖，0.45s的時候即將開始撞擊，與理論計算時間基本一致。

3）反彈階段

小球從離開地面，獲得一個初速度，然後再次根據能量守恆，獲得小球反彈的最高高度。這個過程也與小球質量無關。

我計算了2次，一次地面採用鋼材(彈性模量為200GPa)，另一次地面採用"剛體"（彈性模量20000GPa)。計算時長1s，按估算1s內至少可以反彈一次。地面為鋼的結果如下，0.45s速度約4.403m/s，0.46s的速度為4.219m/s。由於輸出時間間隔的原因，未能準確捕捉到撞擊的時間點。

撞擊過程如下：

對於"剛體"模型，0.45s的速度同樣為4.344m/s，0.46s的速度為4.131m/s。表面上看，彈性模量大的速度要小於彈性模量小的速度。但是，由於軟體結果輸出時間間隔的原因，沒有準確捕捉到撞擊的始末狀態。由於彈性模量大的物體相互作用時間更短，所以0.46s並不能作為離地的時刻。實際上彈性模量越大，材料的響應速度越快，離地速度也越大，從而反彈高度也越接近初始高度。彈性模量變大後，計算時間呈指數式上升。從0.45s的速度可以看出，彈性模量大的計算誤差較大。

撞擊過程如下：

對比兩個的撞擊動圖，顯然彈性模量大的物體響應更快，應力可以迅速地擴散出去，反彈也更快。對於絕對剛體，地面是不會有任何變形的，動能不會有任何的丟失。

透過計算可知，剛體模型，小球的反彈速度與撞擊速度幾乎無差，而採用鋼材地面模型的小球反彈速度會有損失。即：彈性模量才是影響反彈高度的決定因素，彈性模量越大，反彈高度越接近初始值。

由於計算時間太久，算了一晚上，大概6-7個小時。所以更加精確的模型，我就不算了。有興趣的同學，可以以理論計算的撞擊速度，看一下反彈後的離地速度，這樣子更有說服力了。