坦白講，數學在我們生活中真正用的比較多的還是很少。我們在初中學的函式，高中學的微積分，如果在畢業之後專業用得到的地方，可能還是少數的人。所謂高中我們學的數學的歸納法。相比較而言，還是有一定的用途。但是如果對於一些專業的數學科學家而言，那就簡直是皮毛了。

高中學的數學歸納法是終極完整版本。

高中以後的數學課程中，適用數學歸納法的證明問題都是和正整數有關的問題，思想都是鏈式推理，完全一樣，只是問題換了而已。

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以上部分文字為湊字數請無視。

高中學的數學歸納法的確只是一些很淺的皮毛。

第一，高中並沒有學習數學歸納法為什麼是正確的，只是告訴你按照這個步驟就可以把題證明出來。事實上，按照規定的三步走，最終就可以得出來命題對所有自然數n都成立，這是要有原理證明的，它的原理證明需要使用皮亞諾(Peano)公理，這個只有到大學之後才會學到。

第二，數學歸納法可以有很多變形，比如跳躍數學歸納法，反向數學歸納法，蹺蹺板數學歸納法等等很多形式。

第三，高中學習的數學歸納法只是在證明某個命題對所有自然數都成立。但是如果想證明某個命題對所有整數(包括負整數)都成立，甚至對所有實數都成立，那就得需要更高階的數學歸納法了。

第四，數學歸納法依賴於數字的排序，因此但凡可以進行排序的數學物件，都可以建立相應的數學歸納法。舉個最簡單的例子，子集的包含關係其實就可以看成是一種順序，比如｛1｝⊂｛1，2｝⊂｛1，2，3｝，就相當於把三個集合進行了排序，我就可以建立關於某些關於集合成立的命題的數學歸納法。而事實上，數學裡面有一門專門研究排序的學科叫序數理論，我們可以在良序集上建立更高階的數學歸納法，稱為超限歸納法，用它可以證明一些更為複雜的命題。

因此關於數學歸納法本身的內容就可以寫一本書，我下面只舉兩個最簡單的例子。

證明方法：

例題

證明方法：

例題

當然上面只是兩個最最簡單的例子，有興趣的話可以去了解一下良序集上的超限歸納法。