雖然我是一個數學在讀博士，但是看到這個問題的時候，一下子也感覺有點不好回答了。因為數學上的難題很多很多，有很多數學難題幾百年都沒有得到解決。而數學家們也在不斷探索和衝鋒，以求解決這些問題。問題的提出是富有意義的，問題的探索和解決過程也是極富意義的。下面列了幾個猜想，歡迎大家一起交流和討論。

等級：五顆星，數學王冠上的鑽石；

內容：哥德巴赫1742年給尤拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，於是就寫信請教赫赫有名的大數學家尤拉幫忙證明，但是一直到死，尤拉也無法證明。

進展：1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是一個素數和一個半素數的和"。1956年，王元證明了“3+4”；同年，原蘇聯數學家阿·維諾格拉朵夫證明了“3+3”；1957年，王元又證明了“2+3”；潘承洞於1962年證明了“1+5”；1963年，潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1+4”；1966年，陳景潤在對篩法作了新的重要改進後，證明了“1+2”。

等級：五顆星，巍峨山峰，屹立不倒；

內容：黎曼函式的所有的非平凡零點，實部都是1/2。1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通訊院士，之後他向柏林科學院提交了一篇題為“論小於給定數值的素數個數”的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

進展：黎曼猜想自 “誕生”以來，已過了160個春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數數學家前去攀登，卻誰也沒能登頂。有人統計過，在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。

等級：五顆星，困惑了世間智者358年的迷；

內容：1637年，法國業餘數學家費馬在研讀丟番圖的《算術》時，在書上寫了短短的幾行，大意為：除平方之外，任何次冪都不能拆分為兩個同次冪之和。我已經找到了一個絕妙的證明，但書邊空白過窄，寫不下。

進展：這個惡作劇式的問題就是著名的費馬大定理，這個謎題困惑了數學界整整358年之久，在這期間大名鼎鼎的數學家尤拉、高斯、柯西、勒貝格等人都有過不同的嘗試，但均未成功。直到1994年，由英國數學家安德魯-懷爾斯解決。

等級：五顆星，數論史上的經典難題，171歲“高齡”了；

內容：在1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了一般的猜想：對所有自然數k，存在無窮多個素數對（p, p + 2k）。k = 1的情況就是孿生素數猜想。孿生素數就是指相差2的素數對，例如3和5，5和7，11和13…。這個猜想正式由希爾伯特在1900年國際數學家大會的報告上第8個問題中提出，可以這樣描述：存在無窮多個素數p，使得p + 2是素數。素數對（p, p + 2）稱為孿生素數。

進展：2013年4月17日，數學家張益唐將論文投給世界數學界最負聲譽的《數學年刊》（Annals of Mathematics），在張益唐的論文中，他給出的結果是，存在無數對相鄰素數，它們的差相差不過7000萬。但這只是一個估計，並非張益唐的方法能得到的最好結果。在論文出爐後，一些數學家吃透了新方法，開始試著改進這個常數，進一步拉近了與最終解決孿生素數猜想的距離。在2014年2月，張益唐的七千萬已經被縮小到246。

等級：五顆星；

內容：1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發現其中的錯誤，修改為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。”後來這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

通俗易懂的語言描述這個問題就是：上圖中的小球，我們用一根繩子套住，繩子的兩端在黃點位置相遇，如果在黃點用力向左右兩端拉繩子，會發現繩子套的圈在慢慢縮小，最後可以縮小到一個點，將繩子收回。

進展：大於等於五維的龐加萊猜想被斯蒂芬·斯梅爾證明；四維的龐加萊猜想被邁克爾·弗裡德曼證明；三維的龐加萊猜想被俄羅斯數學家佩雷爾曼於2002-2003年證明。他們分別獲得1966年，1986年和2006年菲爾茲獎。2006年8月，有著數學界諾貝爾獎之稱的“菲爾茲獎”，授予了佩雷爾曼，以表彰他在幾何學上的貢獻。一枚印有阿基米德浮雕頭像的獎章和約1.35萬美元的獎金，同樣被拒之門外。對此，他給出的理由是“沒有路費來領獎”。