自然常數由18世紀的大數學家尤拉推廣開來，所以這個數又被稱為尤拉數，用字母e表示。e在數學中非常重要，通常會用到以e為底的對數，所以這個數又被稱為自然底數。

自然常數e源自銀行對複利的計算。假如你有1元錢存在銀行裡，銀行的年利率為100%。那麼，在一年後，你的資產將變為(1+1)^1元=2元。如果銀行換一種利息計算方式，半年結算一次利息，並且半年利率為50%。那麼，在一年後，你的資產將變為(1+0.5)^2元=2.25元。如果是每個月結算一次利息，並且月利率為1/12。那麼，在一年後，你的資產將變為(1+1/12)^12元=2.61元。如果是每天結算一次利息，並且天利率為1/365。那麼，在一年後（不考慮閏年），你的資產將變為(1+1/365)^365元=2.71元。

可以看到，利息的結算週期越短，最終回報越多。觀察規律可得，這種利息的計算通式為(1+1/n)^n。既然利息結算週期越短收益越多，那麼，如果每時每刻都在結算利息，即n趨於無窮大，最終的收益會是多少？也會變得無窮大嗎？

事實上，當n趨於無窮大時，(1+1/n)^n等於一個常數，其大小為2.7182818284…。於是，人們就把這個常數定義為自然常數。數學家證明，自然常數是一個無理數，同時也是一個超越數（不能用整係數代數方程來表示的實數）。根據上述結果，e的表示式可寫成：

此外，e還可以用無窮級數表示：

項數取得越多，越接近e的真實數值。

雖然自然常數沒有圓周率廣為人知，但它實際也被應用於諸多問題，例如，生長或衰變速率、機率問題、質數分佈等等。很多自然變化規律都是遵循以自然常數為底的指數函式，正因為如此，這個數被冠之以“自然常數”。

要想了解自然對數的發現史，我們需要來到15世紀末，如果你還記得大型紀錄片《大國崛起》，應該記得第一集講的《海洋時代》西班牙和葡萄牙的崛起。

這時候，航海遇到一個非常大的難題，就是在海上如何確定所在經度（維度很容易測量，指南針指向和太陽昇起的夾角就能計算維度），英國也遇到了同樣的難題，還專門成立了格林尼治天文臺，來專門研究海上的精度確認問題，如今這是本初子午線的劃分地。

幾個海洋國家，歷經100多年的研究，都沒有很好的辦法在海上確認經度，以致無數Nautilus在大海中迷失方向，然後葬身海底。

最終，他們把希望寄託於天文學家，因為星空就是上帝創造的最佳路標，這使得天文學事業蓬勃發展，近代實驗科學奠基人——伽利略，也加入了其中，但天文學家都遇到了一個非常大的難題，天文學引出大量複雜計算，大多和指數相關，這耗盡了天文學家大量時間，有時候就為了一個結果，甚至會耗費幾個月的時間，以致伽利略說道："給我空間、時間和對數，我就能創造宇宙"。

這激起了數學家們，對指數演算法的研究，演算法學家意識到，指數的逆運算有著奇特的性質，即對數運算：

loga^b=bloga，log（a*b）=loga+logb；

複雜的指數運算，居然可以轉化為相應對數的乘法，甚至乘法也可以轉化為加減法運算，這能大大降低計算的複雜度，也將產生一個重要的計算工具——對數表。

我們只需要編制一個對數表，就可以簡化實際中遇到的任何複雜運算，，比如我們需要計算1.1234^1.6789的值……

我們只需要編制一個對數表，就可以簡化實際中遇到的任何複雜運算，比如我們需要計算1.1234^1.6789的值（當然，現在有計算器，我們無需去做這種無意義的存計算）；常規方法很難處理，如果我們有指數表的話，只需要查詢log1.1234=0.091491，計算log1.1234^1.6789=1.6789log1.1234=0.153604；

然後用對數表，反向查詢0.153604對應對數值，那麼1.4243就是我們需要的結果，即1.1234^1.6789=1.4243.

這樣就把十分複雜的指數運算，轉化成相對簡單的乘法運算，如果你還覺得複雜，你甚至可以進一步把乘法轉化成加法運算。

數學家進一步的研究，發現該對數表有兩個特點：

1、 我們運算的結果不依賴於對數表所取底數值，但是底數值的選取，決定了對數表的編制難度；

2、 任何指數和乘方運算，都可以轉化成0～1之間的對數運算，所以我們需要6位精度的運算，只需要編制0.000001～0.999999的對數表即可。

數學家首先想到的，當然就是10為底的對數，但這會遇到什麼問題呢？看下錶：

以10為底，在沒有計算器的年代編制對數表，計算的a值好像並不簡單，涉及10的非整數次方。

不過數學家有辦法解決，利用指數運算的性質，如果我們使用10^10000作為底數，就不會出現非整數次方了，如下表：

但另外的問題出現了，隨著對數值b的增大，我們得到a的值將以指數增加，相鄰值間的距離太大，比如b=0.2017時，a的值將達到10^2017，這是很糟糕的結果。

那有沒有處理辦法呢？

顯然對於底數為m^n，n取得越大，越利於後面的計算，要使得計算結果不要太大，就要減小m的取值，但m不能無限小，m要在1附近，這樣以（m^n）作為底數，才能使得對數值在合適範圍內，比如底數取0.999999或者1.000001。

那麼對底數的選取，就轉化成（1+m）^n，進一步研究還能發現，如果m和n互為倒數，可以進一步簡化計算，那麼對底數的選取，就成了這種形式：

其中n取得越大越，對數表的精度越高，比如計算底數為（1+0.00001）^10000值為0.2017的對數，就成了計算1.00001^2017的值，如果你記得指數運算的一個技巧的話，你可以很快知道，這個值大約為1+0.0001*2017=1.2017,實際上這個值是1.2235,兩者相對誤差是2%，我們僅憑心算就得到了如此高的精度。

而對於演算法學家來說，每增加一個誤差項就可以進一步提高精度，直到滿足自己需求為止，看來我們的路是走對了。

看到這裡，大家是不是看出了自然對數的影子！

如果有人覺得，這時候提出自然對數應該是理所當然的，那麼他肯定是把中學生的"理所當然"和嬰兒的"理所當然"弄混淆了。

1614年，英格蘭數學家納皮爾（John Napier,1550～1617）出版了《奇妙的對數定律說明書》，書中他首次提出對數概念，並編制了史上第一張對數表，他使用的底數就是（1+1/10^7）^10^7。

過了2年（1616），倫敦的另外一位數學家布里格斯（Briggs Henry，1561-1630），特意來拜訪納皮爾，給他的對數表改進提了建議，可惜的是納皮爾第二年（1617）就去世了，不過布里格斯繼承了納皮爾的工作，他把納皮爾對數表的底數改成了10，並製作了精度達14位的對數表，這也耗費了他8年的時間。

到了這裡，其實我們離自然對數的提出，還差100多年呢！期間雖然有其他數學家看到了自然對數的影子，但沒有誰能抓住那影子。

比如牛頓在1665年對1/（1+x）的二項式展開中，首先得到了自然對數的級數；萊布尼茲在1690年給惠更斯的信中，也提到了這個常數，萊布尼茲用b表示；但他們對這個數的認識還不夠深。

直到17世紀，瑞士數學家尤拉，才看穿這個常數的秘密，1730年，尤拉正式定義了自然對數，指出指數運算和對數運算互為逆運算，並用e來表示自然對數，推廣了e的使用，所以自然對數也叫做"尤拉常數"。

至此，自然對數登上數學大舞臺！人們隨後才發現什麼複利計算，什麼自然增長……居然和這個常數密切相關，其地位也和圓周率不分上下。

好了，我的答案就到這裡，內容取自我之前的兩篇文章《自然對數的發現史！e何稱尤拉常數？原來它的發現歷經200多年！》和《自然對數的發現史！伽利略：給我空間、時間和對數，我能創造宇宙》。

假設有一個數列，它的通項公式是（1+1/n）＾n ，當n趨近整無窮大時，這時它的項就是e了。也可以寫成極限的形式，高等數學都可以查到。

五百年前，還沒有指數和對數的概念。人們發現兩個整數相乘時，乘數和積都可以在一個等比數列中找到相應的“原數”。比如16*128=2048在等比數列中：

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048

的“原數關係”是4+7=11。也就是2^4+2^7=2^11。這個方法被用來簡化大數的乘法運算。後來，有數學家沿著這個思路，制定了整數次冪跟整數底數的速查表，這就是最早的對數表了。有趣的是當時還沒有指數的概念，人們也完全不清楚，分數指數該怎麼處理。

第一次提到自然對數的人是萊布尼茨（就是那個跟牛頓爭微積分發明權的大神）。後來，數學大神尤拉用e給自然對數命名，此後，也有人把自然對數叫尤拉數的。不過，尤拉的數學成就太多了，有很多其他常數也被叫做尤拉數。

那麼自然對數有什麼幾何意義呢？它是倒數函式（y=1/x）曲線跟兩個座標軸圍出的那一小片區域的面積。

e的最神奇之處在於對e^x求導還是它本身，其次就是尤拉發現的e^ix=cosx+isinx，解決了指數函式化和函式的問題，把訊號處理由時域向頻域的轉變。

（1＋1／n）＊＊n的極限就是e啊，也就是複利計算啊。這是高中課程裡的東西啊。你上了高中就自然知道了啊～所以叫自然對數的底啊（呵呵）。

你快去上高中啊。（呵呵呵）

e怎麼來的？與數學家思維有關，但是否是尤拉發明，還真說不清。當n為正自然數時，按現有認知，e＜3，且n→無窮大時，趨近2＜e＜3，又因為e為無理數，具有波動性，根據極限定義，把e＝limn→∞（1＋1／n）＾n，應是不嚴謹的說法。如果非要認定其極限，也是2，況且，當n等於正分數時，如n＝1／2，e＝3^1／2＝√3，1＜√3＜2，若n＝1／8，e＝3^1／4＾=1.3160，此時，1＜e＜2。實際上，n越小，e趨近於1，此時，e接近常數1，可為極限1。因此，n為正數時，e的極限也可為2。