費馬問題的介紹

大約在1637年前後，法國數學家費馬在丟番圖的《算術》(譯本)的第二卷關於畢達哥拉斯三元組的頁邊上，寫下了他認定的一段結論:“不可能將一個立方數寫成兩個立方數的和;或者將一個4次冪寫成兩個4次冪之和:或者，一般地說，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同次冪的和.”接著他又俏皮地寫下一個附加的評註:“我對此命題有一個十分美妙的證明,這裡空白太小，寫不下。”這就是說，費馬認為他證明了下面的結論:當n≥3時，不定方程

xⁿ+yⁿ=zⁿ (1)

沒有正整數解.上述的評註是在費馬死後五年的1670年發表的.事實上，人們遍尋費馬的手跡,並沒有發現這一“美妙的證明”，而只看到他對於n=4的情形，即下面定理1的證明，費馬對這一證明頗為得意,命名為“無窮下降”法，或許費馬認為用這種方法可以證明任意n≥3的情形.但事實遠不是那樣簡單.因此只能認為上述結論是費馬的一個猜想，後來很多數學家努力尋求這一結論的證明，以至除了它以外，費馬提出的所有猜想早已得到解決,所以人們常常稱它為FLT.這個困惑了世間智者358年的謎,終於在1994年，由-一個英國出生、在普林斯頓大學數學系工作的數學家安德魯.懷爾斯( Andrew Wiles)所證明，我們先看n是4的倍數的情形，

當4│n時,(1)可以把n拆成4×n/4

所以,若能證明n=4時,(1)式沒有正整數解，則對於能被4整除的任何正整數來說，(1)式沒有正整數解。

這種情況用反證法可以證明。

後來，尤拉使用代數整數環證明了3|n的情況，其中有一個漏洞由勒讓德(Legendre)補充。

1825和1828年，n是5和7的倍數的情況被分別證明。

後來又出現了許多特殊情況的證明，不過都沒有實質性的進步。

1983年德國年青數學家法廷斯(Faltings)結合使用了蘇聯和美國哈佛兩個代數幾何學派的工作，證明了莫代爾猜想:如果有理係數的多項式方程Q(x,y) =0定義的曲線的虧格≥2,則此方程只有有限多個有理數解，法廷斯在證明上述結論時，使用了20世紀50年代以來發展的現代代數幾何工具.由於當n≥4時,(1)的虧格≥2,上述結論很容易推出:對於每一n≥4,(1)只有有限個整數解.這個結論與費馬大定理的要求還有很大的距離.但是人們感覺畢竟是從另外的角度向費馬大定理靠近,而且有希望從代數幾何方面獲得解決費馬大定理的有力工具.

現在我們進人故事的最有興趣的部分，其中有很多值得我們體會和學習的東西.在德國黑森林州中部的名叫Oberwalfach的小鎮,多年來，這裡成為世界各地數學家的“旅遊區”，每年舉行幾十個由頂尖高手主持的、研討熱門數學問題的高階研討會,交流數學成果和思想.這裡沒有卡拉OK,私人房間裡沒有電視機,有的是黑板、圖書、計算機房間和供數學家交談的咖啡室.1984年秋,一群優秀的數論學家聚會,討論關於橢圓曲線的各種突破性工作.德國的數論學家弗雷(G. Frey)作講演:如果方程(1)(n=p的情形)有一組整數解(x,y,z) =(a,b,c),abc≠0,然後他在黑板上寫下一條橢圓曲線的方程

y²=x(x-c^p)(x+b^p)

後來這條方程被稱為弗雷曲線，並推出如果這條曲線不滿足谷山-志村-韋依猜想（簡稱TSW），即如果費馬大定理不成立，那麼TSW也不成立，那麼反過來，就可以用TSW猜想來推出費馬大定理。

1988年，報紙聲稱東京大學38歲的宮岡洋證出了費馬大定理。不過也像過去一樣，被發現巨大邏輯漏洞。

1990年，懷爾斯開始試圖透過研究巖澤理論來尋找突破口，只過了一年，他就放棄了。後來，有個老師告訴他一個名叫弗萊切的學生運用科利瓦金的方法研究橢圓曲線，懷爾斯感覺勝利在望，懷爾斯甚至為研究生開了一個課程（苦了那群研究生），幾個星期後，這個課程因為太繁瑣難懂，研究生一個個地離開了，同事凱茲成了唯一聽眾，不過這正是他的目的-保密。1993年，他確信這種方法是可行的。並在6月安排了演講，演講中他隻字不提費馬大定理，而是在最後說“這樣我就證明了TSW猜想”，在場的所有人都知道證明了TSW，就證明了費馬大定理。歡呼過後，開始了嚴格的審查。然而在8月份，凱茲發現了一個錯誤，並且無法補救，12月，他只好發電子郵件說“發現了問題”。

然而就在會後不就，他突然冒出一個想法，將放棄的巖澤理論與科利瓦金方法結合起來，證明到最後就歸納成一個純代數問題：關於Hecke環的完全交性質。最後的關口是他和泰勒一起完成。

1995年，他們發表了兩篇文章《模橢圓曲線和費馬大定理》以及《某些Hecke代數的環論性質》，費馬大定理正式獲得證明，1996年，懷爾斯，朗蘭茲共同獲得菲爾茲數學獎，在費馬大定理獲得證明的4年後，TSW猜想獲得證明。

回顧費馬大定理獲得證明的歷程,除了解決這一著名的猜想以外，至少有以下幾點值得關注:(1)一個難題的解決常常需要創造新的方法，而這就推動了數學的發展，甚至後者比解決難題本身更重要.(2)數學具有統一性，表面上看來不同的物件，有時蘊含著深刻的聯絡,因此學科之間的交叉是重要的,而且值得重視.(3)在獨自深人鑽研的基礎上的學術交流是至關重要的,常常是創新思想的產生或解決難點的催產素.為此創造良好的交流環境同樣是十分重要的.