問題是數學的心臟，思維是數學的靈魂。數學教育家波利亞說：“類比就是一種相似。”類比是一種間接推理的思想方法，也是一種數學學習的基本方法。類比是利用兩物件的某些相似性，由此物件的某些性質或結論，猜測乃至證明另一物件的相應性或結論，由處理此物件的某些方法，利用相似性移植或稍加改動後移植於另一系統，用以處理另一物件的相似的性質或結論。把兩個數學物件比較，找出他們相似的地方，從而推出這兩個數學物件的其他屬性也有類似的地方，這在數學教學乃至學習中都是至關重要的一種思想。

康德說過:“每當理智缺乏可靠論證的思路時,類比這個方法往往能指引我們前進。”

在數學學習中，我們常常會有“似曾相識”的感覺，而且在不同分支、不同領域中會感到某種類似的成份。如果我們把這些類似進行比較，加以聯想的話可能出現許多意想不到的結果和方法，這種把類似進行比較、聯想，由一個數學物件已知特殊性質遷移到另一個數學物件上去，從而獲得另一個物件的性質的方法就是類比思想法。

類比是一種主觀的不充分的似真推理，具有假設、猜想特質。我們也要注意所類比的兩個事物在本質上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質不同的問題。比如用烏龜長壽和靜止兩個現象，推斷出人要長壽就要靜止，就是類比謬誤。

因此，要確認類比推理的正確性，必須經過嚴格的邏輯論證．

1、升(降)維類比

例如將三維空間的物件降到二維（或一維）空間中的物件，此種類比方法即為降維類比。

2、結構類比 某些待解決的問題沒有現成的類比物，但可透過觀察，憑藉結構上的相似性等尋找類比問題，然後可透過適當的代換，將原問題轉化為類比問題來解決。

初中學習的正比例函式、一次函式、反比例函式、二次函式在概念的得來、圖象性質的研究、及基本解題方法上都有著本質上的相似。採用類比的方法不但省時、省力，還有助於學生的理解和應用。是一種既經濟又實效的教學方法。

3、簡化類比 就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題，透過類比命題的解決思路和方法的啟發，尋求原命題的解決思路與方法。比如先將一般問題類比為特殊問題，多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題等。

一、數學概念的類比

1、同底數冪的乘法：6m×6n =6m+n

同底數冪的除法：6m÷6n =6m-n

乘法對應指數的加法；除法對應指數的減法，透過類比便於理解和記憶。當然還有積的乘方與冪的乘方等。

2、三角形全等的判定：

邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）

角邊角公理：有兩個角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）

角角邊定理：有兩個角和它們其中一個角的對邊對應相等兩個三角形全等（AAS）.這些公理（定理）有極大的相似性，只有透過類比，找出它們的不同於相同點，才更有利於學習和應用。

二、不同知識系統之間的類比

在數學的學習中，很多知識都有許多相似之處：圖形的全等：指的是圖形的形狀相同且大小相等；圖形的相似研究的是圖形的形狀相同，大小（可以）不等，；全等的判定有：SAS,SSS,AAS,HL而三角形相似的判定有：“SAS”,“SSS”,“AA”,“HL”等，這是何等的相似；

例如：合併同類項與合併同類二次格式類比；二次根式的和相乘與多項式乘法類比；透過與分數的類比來研究分式的概念、基本性質、通分、約分、運算等；由假分數化成帶分數繼而化為整數部分和分數部分的和，聯想到在分子的次數不低於分母次數的分式中可以用帶餘除法將分式轉化為整式部分和分式部分的和；透過與等式基本性質的類比來學習不等式的基本性質；學習一元一次不等式的解法，應將其與一元一次方程的解法進行類比；

當然還有很多如：相似與位似，平行線的幾個判定定理，平方根與立方根，方程與不等式等等。如果我們能夠恰當的利用類比的數學思想，會使學生在學習的過程中，對新的知識會有“似曾相識”感覺，有利於學生已有知識的正遷移，是學習有事半功倍的效果。

三、學習過程的類比

1、在小學學生學習了分數以及約分、通分，分數的乘除和分數的加減，而約分主要用於分數的乘除，通分主要用於分數的加減。到初中後，我們學習了分式，分式也有約分、通分，分式的乘除和分式的加減，而約分主要用於分式的乘除，通分主要用於分式的加減。這樣透過類比，學生學習新知識，不就輕車熟路了嗎？

2、學生在第一次學習函式是，學的是正比例函式：我們的學習過程是，先列表，然後描點，在畫圖，分析影象找到函式的性質，最後應用；我們在學習一次函式也是先列表，然後描點，在畫圖，分析影象找到函式的性質，最後應用。那麼，透過類比，我們想，我們再學習反比例函式和二次函式時，不就有了方法嗎？這樣學生的學習才會駕輸就輕；當然，在學習了一元一次方程解法後，我們就可以類比學習二元一次方程的解法等等。也就是說我們教會學生的不僅僅是知識，更重要的是方法，使他們懂得了學習方法和學習的技巧，極大地提高了學生的素質，這恐怕才是教育的靈魂吧。

四、解題思路的類比

面對數學中的大題，很多學生都望而卻步，如：

如圖（1），在△ABC中，AE⊥BC於E，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，BD和AC相等嗎？並說明理由。

在這個問題中，BD和AC顯然相等。因為△BED≌△AEC,條件是：AE=BE，DE=CE，∠BED=∠CED.

（2）若連結CD,使△CDE繞點E順時針旋轉一定的角度（2），請判斷BD和AC的大小關係是否發生變化？

類比剛才證明過程：條件是：AE=BE，DE=CE，∠BED=∠CED.。現在還能證明△BED≌△AEC嗎? AE=BE，DE=CE，仍然成立，∠BED=∠CEA嗎？顯然相等。所以：BD=AC.

若將△CDE繞點E逆時針旋轉一定的角度呢（3）？

（3）類比剛才證明過程：現在還能證明△BED≌△AEC嗎? AE=BE，DE=CE，仍然成立，∠BED=∠CEA嗎？顯然相等。所以：BD=AC.

透過本題發現：圖（2）、（3）是在（1）的基礎上的變式和延伸，這使本體的深度上有了新的突破，但是透過類比發現它們的證明思路都是相似的，無論是順時針還是逆時針，它們的證明思路沒有變：都是透過證明△BED≌△AEC，得到的，這不是巧合，這恰恰體現了數學類比思想的美！

在數學教學過程中,若能注意介紹類比的方法, 並引導學生應用, 不僅有利於學生對數學概念、原理和數學解題方法的深入理解,亦可促進學生在論證和解題中發現一些新的方法,有助於學生提高數學思維能力。

所謂數學變式訓練，即是對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特徵卻不變. “變”，可以是變形式、變數值、變解法、變設問、變位思考……在“變”中找到內在聯絡和共通點，做到方法歸納，題目歸類，能有效地克服思維的膚淺性、盲目性和狹隘性等，而且能開拓解題思路，培養探索意識，從而達到舉一反三、觸類旁通的效果.

數學思想是對數學事實與理論經過概括後產生的本質認識;基本數學思想則是體現或應該體現於基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特徵，並且是歷史地發展著的。

透過數學思想的培養，數學的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數學思想，就是掌握數學的精髓。

這要求我們在日常練習中多積累、多觀察，敢於思考，敢於聯想，敢於懷疑. 在解決問題以後，要善於反思：該題考查了哪些知識點、考查了什麼方法，以前有沒有做過類似的問題，有沒有更好的解決方法. 把考查相同知識點或相同思想方法的問題放到一起，觀察問題之間的聯絡，從題目文字背景、資料特點、設問方式等方面，發現總結它們之間的相同點與不同點，然後嘗試自己更改一下題目的資料或者設問方式再去解決問題，如此迴圈往復，我們就不難掌握解題的方法，並將所學的知識融會貫通，培養思維的靈活性與廣闊性.

人們在進行觀察和思考的過程中總是習慣把屬性相同或相似的兩類事物進行比較，並常常將在處理某些事物上獲得的成功經驗用到處理與這些事物相同或相似的另一些事物上，這種思考與處理問題的思維方式稱類比法。它是一種由特殊到特殊的推理方法，是中學數學教學的基本思想方法之一。

類比思想是一種重要的數學思想，更是一種重要的數學方法。在學生探究學習的過程中所起到的作用是不容忽視的。只有我們意識到類比思想在教學中的價值，並注重將其應用於數學教學中，透過這種教學方法去展示數學知識間的連通關係，才能讓學生在類比學習中體會探索新知識的樂趣，感悟數學思想和方法的內在聯絡，從而昇華思維，創造性的解決問題。

類比，就是由兩個物件的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式。

類比即是數學思想也是一種非常重要的數學方法。數學上表現為是從平面到立體的類比。也就是從低維度到高緯度類比。舉個例子平面上面積為底乘高，空間圖形體積是底（面積）乘高。

類比是一種數學思想，一般從初中數學開始滲透。

如果說小學數學是在一步步模仿的話，那麼初中數學就不再僅限於模仿，在學習初中數學時，類比思想將會體現出它更大的優越性。

下面以人教版數學為例，簡單談談類比思想的滲透。

1，代數模組類比舉例

七年級上學期，在學習完有理數的概念、分類，學習完數軸、相反數、絕對值相關知識後，接下來應該學習有理數的加減法以及有理數的乘除法，在這裡可以讓學生先說說，我們小學時學了自然數，小數，分數，都學習了它們的哪些運算？進而引出研究有理數的運算，告知學生：像小學學習運算那樣，我們也先從”四則運算”開始研究，這樣的一種思想就叫做類比。這裡確切的來說，四則運算這個詞已經不準確了，因為後邊還要學習乘方運算，不過在引入的時候可以先用著。

八年級下學期，在學習完二次根式的概念和性質後，就可以類比有理數的運算來研究二次根式的運算。

2，幾何模組類比舉例

七年級下學期，學習完相交線與平行線這一章之後，可以從平行線出發，簡單總結一下研究特殊的幾何圖形的一般過程，即：概念、性質、判定。從這三個方面進行研究。

八年級上學期研究全等三角形、等腰三角形、等邊三角形時，可以類比研究平行線的方向，從概念、性質、判定三個方面去研究。

八年級下學期研究平行四邊形、矩形、菱形、正方形時，也是從概念、性質、判定三個方面去研究。

九年級上學期研究圓的切線，九年級下學期研究相似三角形，都是沿用了一致的大方向。

類比思想在初中數學的學習過程中運用非常廣泛，教師在授課時應向學生不斷滲透，這樣學生學習起來也會有章可循。