黃金分割率，一個神奇美麗的數字，多少人為之讚歎、充滿遐想啊！作為一名學習數學多年的在讀博士生，我也曾對黃金分割比充滿了好奇，並做了一些深入的瞭解，所以在問答上瀏覽到這個問題的時候，引發了我很大的興趣。當然，黃金分割比是多少，這個問題簡單一句話就回答完了，我其實還想與大家分享黃金分割比的由來以及人們對於它的應用，以此增加大家對它的身世和實際意義的瞭解！

公元前500年，古希臘學者發現了"黃金"長方形，即長方形的長和寬之比為1.618最佳(即看起來令人賞心悅目)，這個比叫做黃金分割比。1.618的倒數的近似值即為0.618，這個數被稱為黃金分割數，1.618這個比例值於1854年由德國的美學家蔡辛正式定為"黃金分割律"。

這個美妙的比例實質上是將一條單位長的線段分成兩段，使

，這就是眾所周知的分線段為中外比。

設大線段長為x，則小線段長為1-x，於是有1/x=x/(1-x);，解得了

，取其正值

中外比(黃金分割比)的作圖並不難，如上圖，只需取一個直角三角形，它的兩條直角邊分別為1與1/2，則斜邊為根號5除2，再將它減去的1/2直角邊長，得AD，然後在AC上取AE=AD，則點E分線段AC為中外比(黃金分割比)。

人類對"黃金分割比"(簡稱"黃金比")的應用，可上溯到4600年前埃及建成的最大的胡夫金字塔(圖2-2)，該塔高146米，底部正方形邊長為232米(經多年風蝕後，現在高137 米，邊長227米)，兩者之比為0.629≈5：8；在2400年前，古希臘在雅典城南部衛城山岡上修建的供奉庇護神雅典娜的巴特農神殿，其正立面的長與寬之比為黃金比；於1976年竣工的加拿大多倫多電視塔，塔高553.3米，而其七層的工作廳建於340米的半空，其比為340： 553≈0.615。

無獨有偶，這三座具有歷史意義的不同時期的建築，卻不約而同地用到了黃金比，這也許是由於黃金分割比具有非常悅目的美，能使建築物看來和諧、協調之故吧！

義大利數學家菲披斯曾注意到數學界不萬一顧的"冷門"——人體的黃金分割。他說一般人在人體肚臍上下的長度比值為0.618：1或者與此相近，這是人體上下結構的最優數字。此外，他發現人體結構還有三個黃金分割點，上肢的分割點在肘關節，肚臍以下部分的分割點在膝蓋，肚臍以上部分的分割點在咽候。如果一個人各部分的結構比都符合黃金分割律，便是最標準的體型，這一發現為評價體型優劣提供了科學依據。

在現代，黃金矩形的造型已深入到家家戶戶，如寫字檯的桌面，牆上的掛曆，信封，過濾嘴煙盒，單卡收錄機，圖書室的目錄卡……幾乎都是黃金矩形，這說明人們對黃金矩形的偏愛。

在自然界，樹的枝上各葉片按螺旋形上升的距離剛好按黃金比排列，因為這種排列葉片的受光效果最好。從而可啟發建築師設計出使房間接受Sunny最充足的新穎高樓大廈。據說有經驗的報幕員，不是站在舞臺的正中報幕，而是在舞臺左邊或右邊的三分之一處(接近黃金分割點)報幕，這樣可取得最佳劇場效果。

這"神奇的黃金分割律"為什麼能使得藝術家和數學家都對它"情有獨鍾"呢？其魅力究竟何在呢？古希臘哲學家、數學家柏拉圖說："美就是恰當。"法國哲學家、數學家笛卡兒說："美是種恰到好處的協調和適中。"先哲們的說法，也許就是恰當的解釋。

黃金分割，是初二數學比例線段中的一個重要內容，學好黃金分割對於學好相似形這一章很有必要。

提到黃金分割，大家最先想到可能就是0.618，其實0.618是個近似值。關於黃金分割的起源，大多數人認為來自畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派還有個重要發現，那就是畢達哥拉斯定理也就是勾股定理。

黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等於較小部分與較大部分的比值，其比值是個無理數，約等於0.618。以線段為例，請看下圖。

我們可以用尺規作圖的方法來找出一條線段的黃金分割點，請讀者自行思考。

下面我們從數列的角度來認識黃金分割。

設一個數列，它的最前面兩個數是1、1，後面的每個數都是它前面兩數之和，這樣的數列叫菲波那契數列。例如1、1、2、3、5、8、13、21……透過計算，大家可以發現相鄰的兩個數的比值逐逐漸逼近黃金分割比。

黃金分割蘊藏著豐富的美學價值，被認為是建築和藝術中最理想的比例。建築師對數字0.618特別偏愛，古埃及的金字塔，巴黎聖母院，艾菲爾鐵塔，帕特農神廟都有黃金分割的足跡。

黃金分割還可以應用到優選法之中。優選法是以數學原理為指導，合理安排試驗，以儘可能少的實驗次數，儘快找到生產和科學實驗中最優方案的方法。優選法中就有一種方法就叫0.618法。

黃金分割，就是把一條線段分為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比；其比值為（√5－1）╱2 ，這就是黃金分割率；它是一個無理數，近似值為 0.618（取小數點前三位數字）。

黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值；現今很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均普遍應用黃金分割，展現其功能性與美觀性。那麼，如何求一條線段的黃金分割點 ？最佳方法是：用直尺和園規作圖。作圖的步驟如下：

①任意畫出一條線段 AB ，分別以 A、B 為園心，半經大於 1╱2 AB 作弧，相交於 D、E ，連線 DE 交 AB 於 M ，則 M 為線段 AB 的中點。（DE為線段AB的中垂線 )

② 以 A 為園心，以 AM 長為半經作園，與 BA 的延長線相交於 N 。

③ 分別以 M、N 為園心 ，半徑大於 1╱2 MN，線上段 AB 的同一側作弧，相交於 F ，連線 AF ，AF 或其延長線與 ⊙A 相交於 C ，連線 BC 。那麼，CA⊥AB，即△ABC 為 Rt△，並且 ∠CAB＝90℃ ，設線段長為單位＂1＂，即 AB＝1，則 AC＝1╱2 ，BC＝√5╱2 。

④ 以 C 為園心，以 CA 的長為半徑作弧，交 BC 於 G。那麼，BG＝（√5－1）╱2 。

⑤ 以 B 為園心，以 BG 的長為半徑作弧，交 AB 於 O ，那麼，O 點就是線段 AB 的黃金分割點。BO＝BG＝（√5－1）╱2 。

證明不再版述！

附：作圖求黃金分割點，用園規和直尺既規範又精確；倘若作圖用刻度尺、三角尺，或量角器，那麼，需要目測讀數……誤差難免增大！

黃金分割率又叫黃金分割比,把一條線段分成兩部分,使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比

把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等於較小部分與較大的比值，則這個比值即為黃金分割。其比值是（√5-1）：2，近似值為0.618，通常用希臘字母Ф表示這個值。

附：黃金分割數前面的32位為：0.6180339887 4989484820 458683436565

設一條線段AB的長度為a，C點在靠近B點的黃金分割點上，且AC為b，則a比b就是黃金數

黃金分割的發現與推廣:

在古希臘時期，有一天畢達哥拉斯走在街上，在經過鐵匠鋪前他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽，於是駐足傾聽。他發現鐵匠打鐵節奏很有規律，這個聲音的比例被畢達哥拉斯用數學的方式表達出來。

尺規作圖公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，關於黃金分割比例的起源大多認為來自畢達哥拉斯學派。

1、設已知線段為AB，過點B作BD⊥AB，且B

圖示

BD=AB/2

2、連結AD

3、 以D為圓心，DB為半徑作弧，交AD於E

4、以A為圓心，AE為半徑作弧，交AB於C，則點C即為黃金分割點

在一個黃金矩形中，以一個頂點為圓心，矩形的較短邊為半徑作一個四分之一圓，交較長邊於一點，過這個點，作一條直線垂直於較長邊，這時，生成的新矩形仍然是一個黃金矩形，這個操作可以無限重複，產生無數個的黃金矩形.

黃金分割的擴充套件:

1.設

為黃金比，便有

。然後有

，得

。對等式右邊分母中的

又以

代替，可得

；以此類推，可得無窮連分數。對等式進行類似的代替，可得無窮連根號。

2.昨天有分析過斐波那契數列,

經計算發現相鄰兩個斐波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸逼近黃金分割比。由於斐波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，而黃金分割是無理數，所以只是不斷逼近黃金分割。

3.黃金三角形:

所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其底與腰的長度比為黃金比值，正是因為其腰與邊的比為(√5-1)/2而被稱為黃金三角形。黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由五角形的頂角是36度可得出黃金分割的數值為2sin18度（即2*sin(π/10)）。

將一個正五邊形的所有對角線連線起來，在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關係都是符合黃金分割比的，所產生的五角星裡面的所有三角形都是黃金分割三角形。

黃金分割的應用:

黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，這一比值能夠引起人們的美感，被認為是建築和藝術中最理想的比例。此外在股市中黃金分割線的應用十分廣泛,有興趣的朋友可以研究研究,說不定可以發財致富哦.

畫家們發現，按0.618:1來設計的比例，畫出的畫最優美，在達·芬奇的作品《維特魯威人》、《蒙娜麗莎》、還有《最後的晚餐》中都運用了黃金分割。而現今的女性，腰身以下的長度平均只佔身高的0.58，因此古希臘的著名雕像斷臂維納斯及太陽神阿波羅都透過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618。建築師們對數字0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的聖母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，希臘雅典的巴特農神廟，都有黃金分割的足跡。

優選法中的應用:

0.618法（黃金分割法）

0.618法就是採用上面的思路來選取x1和x2的：

不失一般性，假定(a,b)區間是(0,1)，即f(x)在(0,1)區間上有單峰極值，選取得兩個點x1，x2分別記為x和1-x，即在x和1-x兩點進行實驗，不妨假定保留下來的是(0,x)區間。

繼而在(0,x)區間上兩個點x^2和(1-x)x處做實驗，如果x^2=1-x，那麼上次在1-x處的實驗就可以派上用場，節省一次實驗，而且捨去的區間是原來區間1-x的一部分。故有x^2+x-1=0，可以解得

第一次選擇0.382(b-a),0.618(b-a)，若保留了（0，0.618），由於0.618*0.618=0.382，因此下一輪只需要在0.618*0.382=0.216處做另一次實驗，0.382的實驗結果在上一輪中得出，減少了計算量，每次消去的區間還大。

這個其實在生活中用處是挺大的,例如要你猜一個數字,你不用一個一個猜,可以從給定數字範圍的0.618處開始.可以減少猜的次數哦,不信可以試試哦!

大家好，我是海底蛟龍4，今天向大家分享一下關於黃金分割裡面的故事，這還真是一個有趣的故事。

要說黃金分割，我們先來說一下達芬奇的沙畫，而達芬奇就是利用黃金分割的特點，使自己的沙畫顯得很美。

這張畫看起來很美，而達芬奇的這張畫就是利用了黃金分割來創作出來的，從這張畫的手到上方的臉，再到鼻子，能畫出一個黃金螺選曲線，當然，這個螺旋曲線一會兒再說，不過達芬奇的這張畫是他有意所為還是真的巧合呢?

要說黃金分割，我們再來說一下兔子數列，上小學的時候應該都聽過兔子數列，就是一隻兔子一年生一輪小兔子，越生越多，並且都不會死。

實際上這個兔子數列就是前兩個數之和等於後面的那個數，這個數列出來就是:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…… 這個數列你觀察發現，前面的一個數與後面那個數之比，總是趨近於某一個值，（1:2＝0.5，2:3＝0.667，3:5＝0.6，5:8＝0.625，8:13＝0.615……）這個值就是0.618，實際上，這個值應該是無理數，大概是0.618033……

後面我也記不太清了。 黃金分割這個數可以用線段進行表示，假設有一個線段a和線段b，線段b:線段a＝線段a:線段a＋線段b，也就是其中一段與另一段之比等於另一段與全長之比，列式為

經過化簡，可以得到x∧2＝1－x。

再化簡，可以得到根號5減一再除以二等於x。

黃金分割比還有這個應用，就是照相機，九宮格中的四個點也是運用了黃金分割，使拍出來的景物很美。

這張圖就是我一開始講得螺旋線，屬於黃金螺旋線，圖中的B1與A2的比就是黃金分割比。依次類推下去。。 還有就是，黃金分割比值的倒數就等於黃金分割比值+1，也就是1.618，因為1/0.618剛好等於1.618，還真是巧合、奇妙啊。