要說平均不等式，先說說基本的算術平均和幾何平均的概念：
算術平均是n個數加起來除以n。
幾何平均是n個正數乘起來開n次方。
平均不等式是說：n個正數的幾何平均數總不大於它們的算術平均數; 反過來說算術平均總不小於幾何平均。
這是個很有趣的結論，應用也比較廣泛。在n=2，也即有兩個數的時候，可以畫一個圖來解釋：
直角三角形ABC斜邊上的高在斜邊上的垂足E把斜邊分成了兩條線段BE, CE。那條高AE是這兩條線段BE, CE的比例中項，也就剛好是兩線段的幾何平均；而斜邊的一半也就是斜邊上的中線AD是這兩條線段的算術平均。那麼可以看到，斜邊上的高AE是不可能大於斜邊上的中線AD的，至多相等。
（AE是BE和CE的幾何平均，AD是算術平均，AE≤AD）
平均值不等式有時也稱為柯西不等式。柯西是法國數學家，在他的著作裡給出了證明方法，先用根式的方法證明了n是2的正整數冪時成立，然後推匯出一般情形下n>=2時成立。
後來人們又用了很多種方法證明了平均不等式，其中比較快捷的方法是對n=2時成立的基礎上（上圖），運用數學歸納法來證明。
然而答者在這裡介紹一種更為快捷的證明方法，簡單得不可思議，而且背後隱藏著數學的眾多秘密！我們先建立一定的基礎：
首先，幾何平均涉及到相乘和開方，利用對數運算它可以等價為n個數的對數的算術平均再反取相應的指數運算的值。這裡對數運算可以直接用自然對數g(x)=ln(x)，然後相應的指數函式（反函式）是e^(x)。於是我們把g暫時稱為幾何平均的“相關函式”（函式有時也稱為對映），也就是g代表了幾何平均。
同樣的思想，從算術平均也可以”提煉”出一個相關函式h(x)=x(x>0)。想想看是不是？算術平均是不是相應的n個數的h運算結果的算術平均值，然後反過來取h的反函式後的值？因為h運算和它的反運算都就是等於算數的本身嘛！上面的基礎很簡單，另外一個重要的基礎是2007年答者新發表的一條很有趣的定理（代稱：定理L），說：
對於上面的g和h，如果g，h，h’/g’(導數比值)3個函式都單調，且有奇數個函式（1個或3個）是單調增時，那麼g代表的平均（Mg）小於等於h代表的平均（Mh）；反之有奇數個函式是單調減時，Mg大於等於Mh！
好了，證明開始：g(x)=lnx和h(x)=x都是單調增的，h’/g’=x’/(lnx)’=1/(1/x)=x也是單調增的，有3個單調增了！於是根據定理得到：幾何平均不大於算術平均。證明結束！
是不是簡單得不可思議？？所以說這就是目前最好的平均不等式的證明方法！
那麼問題來了，上面的定理L怎麼來的？和平均不等式的本質有和聯絡？
先看看平均不等式和上面的定理L還有什麼潛力可挖。
首先，算術平均（AM），幾何平均（GM），還有未曾提到的調和平均（HM）在幾千年前就被畢達哥拉斯和追隨者研究了。只要讓上面的g(x)=1/x(x>0)就得到調和平均HM。三者統稱為畢達哥拉斯平均，滿足 HM≤GM≤AM。另外，把上面的g(x)換成冪不為0的冪函式x^a(a不為0)，則得到一個冪平均族。而且可以證明，冪平均在a趨向於0的極限情況下，值等於幾何平均，所以幾何平均也可廣義上被歸到冪平均（lnx的導數是1/x，比0次低一次，類似於冪函式的導數低一次，也暗合了這一點）。屬於冪平均的常見平均還有平方平均（a=2）。再廣義一點，把g擴充套件為任何單調連續有反函式的函式，則得到“類算術平均值”（quasi-arithmetic mean）或“廣義f平均”（generalised f-mean, Mf），f就這裡的g或h。
冪平均（帶上幾何平均，冪a=0），有很多共性：
（1）保值性：相等的n個數的冪平均還是這個數
（2）單調性：任一數遞增，則平均值遞增；反之亦然。
（3）平均性：平均值總介於最小和最大值之間。
（4）齊次性：所有n數同時倍乘k>0後所得的平均，是原平均的k倍。
（5）其它。
而廣義f平均滿足前三點；除冪平均特例外，不滿足齊次性。
冪平均，滿足對於任何a<b, 則x^a代表的冪平均不大於x^b代表的冪平均，這稱為冪平均定理，問題中說的平均不等式是其一部分。冪平均也可以用上面的定理L證明，而且非常簡單；對於一般的廣義f平均也完全可以用此定理證明，也就是說該定理是通用化的平均值比較解決方案！（反過來說，可以用上述定理來比較的平均值，是一類比較“純正”的平均值！）
再例如g(x)=1/x(x>0)代表HM，h(x)=lnx(x>0)代表GM： 則h’/g’=(1/x)/(-x^2) = -x單調減，g單調減，h單調增，總共有1個函式單調增，故HM≤GM。把g, h對調，則得到奇數個單調減，運用定理後半部分，結果也等價！冪平均定理的一般情況，留給感興趣的讀者去做證明。非常簡單！
定理L發表在《高等數學研究》2007年7月第10卷第4期85頁，作為論文《論雙變數同構凸函式》裡的定理2推論1出現。
(該圖第二行四個連等處，中間那個等號排版錯誤，應去除)
在該論文所論述的《雙變數同構凸函式》理論中，由任意兩單調函式g, h的排列，形成一種所謂的（g，h）雙變數同構凸性，任何定義域相符合的非常數函式f在（g，h）的影響下可能整體或區域性呈現為“同構凸”或“同構凹”，由一個不等式的方向來表徵。當g，h都為y=x時，則“同構凸性”就是數學分析上的凸性，是一個最簡特例！
因為（g，h）的出現，導致和凸性有一個敏銳的區別是：當g, h不同時，（g, h）對於f(x)=x的同構凸性是有呈現的！而f(x)=x在普通數學分析中是一條直線沒有凸性呈現！
（g,h）對於f(x)=x的同構凸性的呈現是什麼？就是定理L！！而且這種呈現有總共2^3=8種不同的可能情形！（因g，h，h’/g’各有2種變化），四種為凸，四種為凹。於是用《雙變數同構凸函式》的理論來解釋平均不等式的本質，它就是g，h兩種相關對映對於直線f(x)=x的雙變數同構凸性的呈現！
試著把g，h同時換成對映y=x，則g，h，h’/g’三個函式中有偶數個單調增，剩下一個不單增也不單減，法則失去意義，為什麼？因為上面說的f(x)=x在普通數學分析中沒有凸性呈現，這時對應的是“AM=AM”。那麼當g，h同時換成對映lnx時，法則也無意義，對應的是“GM=GM”。
而當f(x)不為f(x)=x，也不為常數時，則h’/g’要退回另一種複雜點的形式h’(f)/g’，定理L也退回“（g，h）雙變數同構凸性”的微分判定定理，也有8種情形；尤其當g，h同時為y=x時，h’(f)/g’為f的導數f’，我們熟悉的透過導數增減判別曲線凹凸的方法（微分判定定理）出來了！它就是“（g，h）雙變數同構凸性”的微分判定定理2”的子形式，也就是定理L的“表姊妹”形式！
另外，從形式上說定理L是詹森不等式的推論，平均不等式、廣義f平均的比較不等式都可以透過詹森不等式本身來進行推導，只不過步驟複雜很多，暗中包括了定理L的母定理的推導過程。（數學不都是這樣嗎，比如：你透過勾股定理證明了一個定理，但你也可以不知道勾股定理，只把它的證明過程包含進來；同樣後面人可以進一步借用你的定理，省略勾股定理）不過，定理L和它的母定理以比較高層、簡單、對稱、針對的凝練形式體現出來了。這也是為什麼借用這個定理的證法被答者稱為當前最好的證法的原因。
最後答者給一個有趣的提示。定理L的三個因素：g，h，h’/g’的單調性有8種可能變化，它和邏輯代數中的三值異或運算(xor)是相通的。假定已知初始態A XOR B XOR C = 1，則A,B,C三個運算數中有任意一個數倒反（1到0，或0到1），則計算結果倒反，繼續相同操作也如此。也有8種變化，而定理L的8種變化也剛好有這種倒反性！
和這個倒反性吻合的還有立體座標系中的8個卦限，每相鄰兩個卦限有兩個公用半軸方向相同，另一對半軸方向相反！
和這個倒反性吻合的還有傳統文化中的八卦，三橫陽爻為乾為陽，每倒反一爻，陰陽倒反！
關於最後一點，它不是數學的研究範疇，數學也不依賴於它，權當巧合!
n個正數的算術平均數≥這n個正數的幾何平均數。
證法巨多：（按難度以下排序）
①第一數學歸納法；
②第二數學歸納法；
④拉法。
要說平均不等式，先說說基本的算術平均和幾何平均的概念：
算術平均是n個數加起來除以n。
幾何平均是n個正數乘起來開n次方。
平均不等式是說：n個正數的幾何平均數總不大於它們的算術平均數; 反過來說算術平均總不小於幾何平均。
這是個很有趣的結論，應用也比較廣泛。在n=2，也即有兩個數的時候，可以畫一個圖來解釋：
直角三角形ABC斜邊上的高在斜邊上的垂足E把斜邊分成了兩條線段BE, CE。那條高AE是這兩條線段BE, CE的比例中項，也就剛好是兩線段的幾何平均；而斜邊的一半也就是斜邊上的中線AD是這兩條線段的算術平均。那麼可以看到，斜邊上的高AE是不可能大於斜邊上的中線AD的，至多相等。
（AE是BE和CE的幾何平均，AD是算術平均，AE≤AD）
平均值不等式有時也稱為柯西不等式。柯西是法國數學家，在他的著作裡給出了證明方法，先用根式的方法證明了n是2的正整數冪時成立，然後推匯出一般情形下n>=2時成立。
後來人們又用了很多種方法證明了平均不等式，其中比較快捷的方法是對n=2時成立的基礎上（上圖），運用數學歸納法來證明。
然而答者在這裡介紹一種更為快捷的證明方法，簡單得不可思議，而且背後隱藏著數學的眾多秘密！我們先建立一定的基礎：
首先，幾何平均涉及到相乘和開方，利用對數運算它可以等價為n個數的對數的算術平均再反取相應的指數運算的值。這裡對數運算可以直接用自然對數g(x)=ln(x)，然後相應的指數函式（反函式）是e^(x)。於是我們把g暫時稱為幾何平均的“相關函式”（函式有時也稱為對映），也就是g代表了幾何平均。
同樣的思想，從算術平均也可以”提煉”出一個相關函式h(x)=x(x>0)。想想看是不是？算術平均是不是相應的n個數的h運算結果的算術平均值，然後反過來取h的反函式後的值？因為h運算和它的反運算都就是等於算數的本身嘛！上面的基礎很簡單，另外一個重要的基礎是2007年答者新發表的一條很有趣的定理（代稱：定理L），說：
對於上面的g和h，如果g，h，h’/g’(導數比值)3個函式都單調，且有奇數個函式（1個或3個）是單調增時，那麼g代表的平均（Mg）小於等於h代表的平均（Mh）；反之有奇數個函式是單調減時，Mg大於等於Mh！
好了，證明開始：g(x)=lnx和h(x)=x都是單調增的，h’/g’=x’/(lnx)’=1/(1/x)=x也是單調增的，有3個單調增了！於是根據定理得到：幾何平均不大於算術平均。證明結束！
是不是簡單得不可思議？？所以說這就是目前最好的平均不等式的證明方法！
那麼問題來了，上面的定理L怎麼來的？和平均不等式的本質有和聯絡？
先看看平均不等式和上面的定理L還有什麼潛力可挖。
首先，算術平均（AM），幾何平均（GM），還有未曾提到的調和平均（HM）在幾千年前就被畢達哥拉斯和追隨者研究了。只要讓上面的g(x)=1/x(x>0)就得到調和平均HM。三者統稱為畢達哥拉斯平均，滿足 HM≤GM≤AM。另外，把上面的g(x)換成冪不為0的冪函式x^a(a不為0)，則得到一個冪平均族。而且可以證明，冪平均在a趨向於0的極限情況下，值等於幾何平均，所以幾何平均也可廣義上被歸到冪平均（lnx的導數是1/x，比0次低一次，類似於冪函式的導數低一次，也暗合了這一點）。屬於冪平均的常見平均還有平方平均（a=2）。再廣義一點，把g擴充套件為任何單調連續有反函式的函式，則得到“類算術平均值”（quasi-arithmetic mean）或“廣義f平均”（generalised f-mean, Mf），f就這裡的g或h。
冪平均（帶上幾何平均，冪a=0），有很多共性：
（1）保值性：相等的n個數的冪平均還是這個數
（2）單調性：任一數遞增，則平均值遞增；反之亦然。
（3）平均性：平均值總介於最小和最大值之間。
（4）齊次性：所有n數同時倍乘k>0後所得的平均，是原平均的k倍。
（5）其它。
而廣義f平均滿足前三點；除冪平均特例外，不滿足齊次性。
冪平均，滿足對於任何a<b, 則x^a代表的冪平均不大於x^b代表的冪平均，這稱為冪平均定理，問題中說的平均不等式是其一部分。冪平均也可以用上面的定理L證明，而且非常簡單；對於一般的廣義f平均也完全可以用此定理證明，也就是說該定理是通用化的平均值比較解決方案！（反過來說，可以用上述定理來比較的平均值，是一類比較“純正”的平均值！）
再例如g(x)=1/x(x>0)代表HM，h(x)=lnx(x>0)代表GM： 則h’/g’=(1/x)/(-x^2) = -x單調減，g單調減，h單調增，總共有1個函式單調增，故HM≤GM。把g, h對調，則得到奇數個單調減，運用定理後半部分，結果也等價！冪平均定理的一般情況，留給感興趣的讀者去做證明。非常簡單！
定理L發表在《高等數學研究》2007年7月第10卷第4期85頁，作為論文《論雙變數同構凸函式》裡的定理2推論1出現。
(該圖第二行四個連等處，中間那個等號排版錯誤，應去除)
在該論文所論述的《雙變數同構凸函式》理論中，由任意兩單調函式g, h的排列，形成一種所謂的（g，h）雙變數同構凸性，任何定義域相符合的非常數函式f在（g，h）的影響下可能整體或區域性呈現為“同構凸”或“同構凹”，由一個不等式的方向來表徵。當g，h都為y=x時，則“同構凸性”就是數學分析上的凸性，是一個最簡特例！
因為（g，h）的出現，導致和凸性有一個敏銳的區別是：當g, h不同時，（g, h）對於f(x)=x的同構凸性是有呈現的！而f(x)=x在普通數學分析中是一條直線沒有凸性呈現！
（g,h）對於f(x)=x的同構凸性的呈現是什麼？就是定理L！！而且這種呈現有總共2^3=8種不同的可能情形！（因g，h，h’/g’各有2種變化），四種為凸，四種為凹。於是用《雙變數同構凸函式》的理論來解釋平均不等式的本質，它就是g，h兩種相關對映對於直線f(x)=x的雙變數同構凸性的呈現！
試著把g，h同時換成對映y=x，則g，h，h’/g’三個函式中有偶數個單調增，剩下一個不單增也不單減，法則失去意義，為什麼？因為上面說的f(x)=x在普通數學分析中沒有凸性呈現，這時對應的是“AM=AM”。那麼當g，h同時換成對映lnx時，法則也無意義，對應的是“GM=GM”。
而當f(x)不為f(x)=x，也不為常數時，則h’/g’要退回另一種複雜點的形式h’(f)/g’，定理L也退回“（g，h）雙變數同構凸性”的微分判定定理，也有8種情形；尤其當g，h同時為y=x時，h’(f)/g’為f的導數f’，我們熟悉的透過導數增減判別曲線凹凸的方法（微分判定定理）出來了！它就是“（g，h）雙變數同構凸性”的微分判定定理2”的子形式，也就是定理L的“表姊妹”形式！
另外，從形式上說定理L是詹森不等式的推論，平均不等式、廣義f平均的比較不等式都可以透過詹森不等式本身來進行推導，只不過步驟複雜很多，暗中包括了定理L的母定理的推導過程。（數學不都是這樣嗎，比如：你透過勾股定理證明了一個定理，但你也可以不知道勾股定理，只把它的證明過程包含進來；同樣後面人可以進一步借用你的定理，省略勾股定理）不過，定理L和它的母定理以比較高層、簡單、對稱、針對的凝練形式體現出來了。這也是為什麼借用這個定理的證法被答者稱為當前最好的證法的原因。
最後答者給一個有趣的提示。定理L的三個因素：g，h，h’/g’的單調性有8種可能變化，它和邏輯代數中的三值異或運算(xor)是相通的。假定已知初始態A XOR B XOR C = 1，則A,B,C三個運算數中有任意一個數倒反（1到0，或0到1），則計算結果倒反，繼續相同操作也如此。也有8種變化，而定理L的8種變化也剛好有這種倒反性！
和這個倒反性吻合的還有立體座標系中的8個卦限，每相鄰兩個卦限有兩個公用半軸方向相同，另一對半軸方向相反！
和這個倒反性吻合的還有傳統文化中的八卦，三橫陽爻為乾為陽，每倒反一爻，陰陽倒反！
關於最後一點，它不是數學的研究範疇，數學也不依賴於它，權當巧合!