樹型模型是個更廣泛的概念，Black－Scholes的二叉樹只是一個很好懂的模型。題主說的二叉樹，應該說的是 Cox, Ross and Rubinstein (1979)[5] 或者 Rendleman and Bartter (1979)[6] 開發的CRR tree 或者RB tree。它們都是為了模擬Geometric Brownian Motion 而開發的。直觀的理解就是，樹的每一小步（叉），都模擬了GBM的一小步。
之所以可以這麼幹，核心在於“中心極限定理”。即多個獨立同分布隨機變數收斂於正太分佈。很多隨機過程都能用樹型模型近似,因為他們都有一個Brownian Motion啊。例如 Hull－White interest rate tree[3,4]， CIR and CEV tree[2]。甚至還有將reduced－form model 結合進GBM 來考慮股票破產機率的模型, CEV tree with jump to default risk default risk[1]。
[1]A Jump to Default Extended CEV Model:An Application of Bessel Processes，Peter Carr and Linetskyá，（2007）
[2]Nawalkha, Sanjay K. and Beliaeva, Natalia, Efficient Trees for CIR and CEV Short Rate Models (February 2007). Available at SSRN: ssrn.com 的頁面or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.976819
[3]John Hull and Alan White, "Numerical procedures for implementing term structure models I," Journal of Derivatives, Fall 1994, pp 7–16
[4]John Hull and Alan White, "Numerical procedures for implementing term structure models II," Journal of Derivatives, Winter 1994, pp 37–48
[5] Cox, J. C. ; Ross, S. A. ; Rubinstein, M. (1979). "Option pricing: A simplified approach". Journal of Financial Economics 7 (3): 229. doi : 10.1016/0304-405X(79)90015-1 . edit
其實我和之前幾位答主都差不多，見下圖。
見到這種問題，只有一個想法
二叉樹是什麼？
二叉樹定價又是什麼？
是說要開始賣二叉樹了麼？多少錢？
好吧，還是正經一點好了。本著會要回答，不會也要回答的科學態度，我百度了一下，以下是網友李望的回答：
樹型模型是個更廣泛的概念，Black－Scholes的二叉樹只是一個很好懂的模型。題主說的二叉樹，應該說的是 Cox, Ross and Rubinstein (1979)[5] 或者 Rendleman and Bartter (1979)[6] 開發的CRR tree 或者RB tree。它們都是為了模擬Geometric Brownian Motion 而開發的。直觀的理解就是，樹的每一小步（叉），都模擬了GBM的一小步。
之所以可以這麼幹，核心在於“中心極限定理”。即多個獨立同分布隨機變數收斂於正太分佈。很多隨機過程都能用樹型模型近似,因為他們都有一個Brownian Motion啊。例如 Hull－White interest rate tree[3,4]， CIR and CEV tree[2]。甚至還有將reduced－form model 結合進GBM 來考慮股票破產機率的模型, CEV tree with jump to default risk default risk[1]。
我現在來詳細說對應Black－Scholes model的兩棵樹， CRR 和 RB。要構造一顆二叉樹，需要三個量：上升的機率，1-上升的機率（下降），上升的價格，下降的價格。
.
如果要讓他可以近似Geometric Brownian Motion，它就必須在下一個時間段裡和GBM同期望同方差。
帶入
你看，兩條式子，三個變數，解不出來啊！！！
所以 Cox, Ross and Rubinstein 說，不如我們引入一條條件
然後就解出來了
而 Rendleman and Bartter 說，還可以引入
所以又解了出來
故事還沒結束
－－－－－－－－－－－－－－第一次用分割線－－－－－－－－－－－－－
剛才發現，可能這樣還沒完整回答題主的問題。就是為什麼“CRR或RB樹對衍生品的定價收斂於Black－Scholes formula”。
衍生品的價格呀，說白了就是未來現金流對出現這個現金流的機率的積分，再discount一下。
,
where 是一個risk－free bond，是到期日股票價值為x是對應的衍生品現金流。
在你建立起一棵 CRR或者RB樹後，樹的最後一層對應著任何可能的股票價格 , 而當你用得到後，再根據機率和利率往回discount時，就相當於做上面的那個積分。
例如一棵10層的樹，最大的股票價格為
,近似上面積分中股票價格趨於無窮的情況。對應call option的payoff 為 , 往回discount 時，它對期權價值的貢獻就是，
二叉樹往回走的時候相當於計算一個積分的離散形式。
所以當樹的層數越來越大，模擬到期時的股票價格的分佈就越精確，積分也就越精確。
[1]A Jump to Default Extended CEV Model:An Application of Bessel Processes，Peter Carr and Linetskyá，（2007）
[2]Nawalkha, Sanjay K. and Beliaeva, Natalia, Efficient Trees for CIR and CEV Short Rate Models (February 2007). Available at SSRN: ssrn.com 的頁面or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.976819
[3]John Hull and Alan White, "Numerical procedures for implementing term structure models I," Journal of Derivatives, Fall 1994, pp 7–16
[4]John Hull and Alan White, "Numerical procedures for implementing term structure models II," Journal of Derivatives, Winter 1994, pp 37–48
[5] Cox, J. C. ; Ross, S. A. ; Rubinstein, M. (1979). "Option pricing: A simplified approach". Journal of Financial Economics 7 (3): 229. doi : 10.1016/0304-405X(79)90015-1 . edit
[6] 找不到