自古希臘始，數學作為理性科學的核心逐漸被人們重視。經歷3000年理性的發展之後，得益於一些重大基礎數學問題的突破，人類探索和發明的數學知識漸漸轉化為生產力，終將自身帶入了資訊文明的時代。
儘管如此，一些懸而未決的數學問題歷經千年仍頑固地為自身保守著秘密。每一個問題的解決，也許就意味著找到一座隱匿著未知真理的巨大寶藏。
比如數學中最古老的未解之謎——孿生素數猜想，就是由古希臘著名數學家歐幾里得（Euclid）提出，距今已近2300年。關於該問題最重大的突破由華人數學家張益唐於2013年獨自完成。
1900年，作為當時世界數學領域的領袖人物，德國大數學家希爾伯特（Hilbert）提出了雄心勃勃的23個數學問題，其高瞻遠矚的目光在很大程度上為整個20世紀的數學發展繪製了宏偉的藍圖。下面筆者收集整理一下有關歷史上還有數學題現在還沒有解開，有待於智慧者不斷去征服。
幾千年以來，人類在研究數學的過程中，提出並解決了很多難題。有些數學難題不僅玩壞了很多研究者，其解決的過程或結果也讓人覺得十分坑爹。
第五名 古西臘三大幾何難題
這是三個尺規作圖題，即只使用圓規和沒有刻度的直尺作出下面的東西：
1、 倍立方體：求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍
2、 化圓為方：作一正方形，使其與一給定的圓面積相等
3、 三等分角：分一個給定的任意角為三個相等的部分
解決：
問題提出大約在公元前400年，直到1830年開始，這三個問題才陸續“解決”，歷經兩千多年。化圓為方問題在林德曼證明π是超越數後“解決”。其他兩個則是要利用伽羅華的抽象代數理論“解決”，而這個理論在剛出爐時，柏松大牛的評語是：“完全不能理解”。而最後的解決方式，也就是結論，則是“沒有結果的結果”——沒有任何尺規作圖辦法完成上面三個中的任何一個，它們都是作圖不能問題。
第四名 五次方程求根公式
我們從初中開始就開始學習二次方程ax²+bx+c=0的求根公式。先求判別式Δ，然後對Δ進行討論，得到方程的根，於是二次方式的求根公式就得到了。其實數學也經過了長期的研究，得到了三次及四次方程的求根公式。而對於五次方程ax^5+bx^4+cx³+dx²+ex+f=0，卻一直沒找到求根公式。
一個叫阿貝爾的數學家在他21歲那年發現，五次方程求根公式是不存在的（又是坑爹的不存在）。他把他的結果印成了小冊子進行了分發。據說高斯和柯西兩位大數學家都得到了過這個小冊子，高斯沒認真看，因他覺得阿貝爾不可能解決作為“數學王子”的他都沒辦法解決的問題，而柯西連看都沒看就把小冊子當廢紙扔了。後來，因為一直沒得到認可，貧病交加的阿貝爾27歲時在絕望中死去。這位有如此重大發現的數學家，生前最大的理想是成為一所大學的講師，而這個願望到死也沒能實現。
第三名 四色定理
四色定理的通俗版本是：“任意一個無飛地的地圖都可以用四種顏色染色，使得沒有兩個相鄰國家染的顏色相同。”這最初是由法蘭西斯·古德里在1852年提出的猜想。當然，作為一個數學定理，四色定理有著更為嚴謹的數學敘述，是關於拓撲或者圖論，這裡就不細述了。
四色猜想剛提出時，並不被數學家們重視，比如哈密頓就說“不會嘗試解決這個四色問題”。後來在德·摩根的不斷推動下，才開始進入數學家們的視野。歷史上，曾有一個叫肯普的倫敦律師聲名證明了這個猜想，他的證明幾乎已經得到了學界的承認，甚至已經得到《自然》雜誌的確認。對於一個非專業人士解決的問題，人們開始認為他不難。那個時候，有一所大學給學生留下的習題是“證明四色猜想，且不得超過一頁紙的文字，30行算式以及一頁紙的圖”。而劇情的反轉在這個證明公開的11年後，有人發現了肯普證明無法修補的錯誤，而使四色猜想重新成為公開問題。1975年，經過IBM360電腦夜以繼日近兩個月，1200小時的驗證，四色猜想被證明，成為四色定理。回想一下那個30行的要求，哆嗒數學網的小編只想說，寫作業的學生們，你們還好嗎？
第二名 連續統假設
康托爾創立集合論的同時，也發明了一種比較無窮集合元素個數多少的方法。他把無窮集合中的元素個數叫做基數。他研究了很多無窮集合的基數，發現自然數、整數、有理數、整係數方程等等，它們的基數都是一樣多的，而實數、無理數、複數、三維空間中的點，它們也是一樣多的，而且比自然數要多。他所發現的所有集合，它們的個數都不會在自然數的基數和實數基數之間。於是他猜想：沒有一個集合，它的基數在自然數基數和實數基數之間，這就是連續統假設。
康托爾為這個猜想幾乎耗費了一生，他幾次聲稱證明了連續統假設，但都發現自己的錯誤又將其宣告收回。康托爾後來產生精神問題不知道和這個猜想的證明的有沒有關係。問題在1963年終於有了個結論：連續統假設在數學家公認的ZFC公理系統下，即不能證明是真命題，也不能證明是假命題。而在康托爾那個年代，還沒有公理化集合論的概念，也就是說他的年代是無論如何也解決不了的。
第一名 費馬大定理
X^n+Y^n=Z^n這個方程，在n大於2的時候沒有正整數解！這就是費馬大定理。
費馬是在1637年閱讀一本書時，在書中寫註解時留下這個猜想的，同時，他還寫道：“對此定理，我有一個美妙的證明，但因書中空白太小寫不下。”這讓痴迷數學的研究者們，對於這個空白充滿了好奇和不甘。問題終於在300多年後的1995年被英國數學家懷爾斯證明。證明過程用到模型式等，在費馬年代根本沒有方法。懷爾斯證明的第一稿用了300多頁，在修改精簡後，縮至100多頁，發表於數學最頂級的雜誌《數學年刊》。有人感慨，那個空白的事，簡直就是費馬挖下的大坑啊。
在2000年，克萊數學研究所設立了千年獎，以鼓勵人們解決7個千年來未解決的數學問題，任何人只要能解決這問題中的任意一個即可獲得100萬美元（約660萬元人民幣）的獎金。其中，龐加萊猜想已經在2006年得到了解決，但其他6個問題仍未解決。
1.P對NP的問題
NP問題的典型問題是哈密爾頓路徑問題：給定N個城市訪問，如何在不訪問城市的情況下做到這一點？如果你能給出一個解決方案，可以很容易地檢查它是正確的。那麼你將會獲得100萬美元（約660萬元人民幣）獎金。
P與NP問題的本質是反向是否正確：如果我有一個有效的方法來檢查一個問題的解決方案，是否有一個有效的方法來找到這些解決方案？
大多數數學家和計算機科學家認為答案是否定的，對於一般人而言，感覺讀懂這個問題都是個事。
2.納維-斯托克斯方程
正如牛頓第二定律描述了物體在外力的作用下速度會發生變化一樣，納維-斯托克斯方程描述了流體流動的速度如何在壓力和粘性等外力以及重力等外力的作用下發生變化。
納維-斯托克斯方程是一個微分方程組，描述了一個特定的量在給定了一些初始的啟動條件後，如何隨著時間的推移而變化。
在Navier-Stokes方程的情況下，我們從一些初始的流體流動開始，微分方程描述了流體的演化過程。舉個簡單的例子，當你早晨在咖啡中攪拌奶油時，你能用數學方式解釋發生了什麼，就可以贏得100萬美元（約660萬元人民幣）。
3.楊 - 米爾斯理論和量子質量差距
數學和物理學一直有著互利的關係。數學的發展常常為物理理論開闢了新的途徑，物理學中的新發現激發了對其基本數學解釋的深入研究。
量子力學可以說是歷史上最成功的物理理論，20世紀的偉大成就之一就是對這種行為進行理論和實驗的理解。
現代量子力學的主要基礎之一是楊 - 米爾斯理論，儘管取得了物理上的成功，但理論數學基礎仍然不清楚。
那麼，克萊數學研究所設立的獎金就是要獎勵能展示楊米爾斯理論的一般數學理論，並對質量差距有一個很好的數學解釋。
4.黎曼假說
到了19世紀，數學家發現了各種公式，給出了素數之間平均距離的近似概念。然而，還有一個未知數字是如何接近這個平均數的真實的素數分佈。也就是說，根據這些平均數公式。
黎曼假設透過建立離素數分佈的平均距離有多遠的限制來限制這種可能性。有很多證據表明黎曼假說是真實的，但是一個嚴格的證據仍然是難以捉摸的。
如果任何人能提供能證明黎曼假設的證據，那麼他就可以獲得100萬美元（約660萬元人民幣）的獎金。
5.Birch和Swinnerton-Dyer猜想
數學研究的最古老和最廣泛的物件之一是丟番圖方程，近年來，代數學家特別研究了橢圓曲線，它是由一個特定型別的丟番圖方程定義的。
這些曲線在數論和密碼學中有著重要的應用，尋找整數或合理的解決方案是一個重要的研究領域。Birch和Swinnerton-Dyer猜想提供了一套額外的分析工具來理解由橢圓曲線定義的方程的解。
如果有人能證明這個猜想，那麼可以獲得100萬美元（約660萬元人民幣）的獎勵。
6.霍奇猜想
20世紀，數學家發現了用將複雜圖形作為曲線、曲面和超曲面理解的方法，難以想象的形狀可以透過複雜的計算工具變得更容易處理。
霍奇猜想表明，某些型別的幾何結構具有特別有用的代數對應物，可用於更好地研究和分類這些形狀。如果有人能用數學方式證明霍奇猜想，同樣可以獲得100萬美元（約660萬元人民幣）的獎勵。
最新的研究則表明，霍奇猜想與廣義相對論、量子糾纏和龐加萊猜想在更深的層次上有可能融為一體。對它的深刻認知，有助於瞭解宇宙中最深邃奇妙的物質構成。
昔日，希爾伯特以一己之力提出23個問題，締造了20世紀數學的輝煌。我們也有理由相信，百年之後的七大難題，會再一次成為21世紀數學星空下的擎天七柱，幫助人類文明抵達深遠璀璨的未來。
任取一個正整數，如果是偶數，將其除以2。如果是奇數，將其乘以3再加1，然後重複這個過程，最後結果都是1。
這個問題就是著名的“克拉茨猜想”。它幾乎可以說是數學史上未解問題中表達形式最簡單的一個，也因此成為數學這棵參天大樹上最誘人的那顆果實。
克拉茨猜想據稱是上世紀30年代由德國數學家Lothar Collatz提出的。但其具體出處不詳，已知的，從西拉古斯大學大學傳到貝爾實驗室，再到芝加哥大學。因早期有眾多的傳播者，所以在傳播過程中，克拉茨猜想收穫了許多名字：3n+1猜想、奇偶歸一猜想、烏拉姆(Ulam)問題、角谷猜想等。
不少資深數學家警告稱，這個問題簡直有毒，堪稱魅惑十足的“海妖之歌”：你走進來就再也出不去，再也無力做出其他任何有意義的成果。密歇根大學數學家、克拉茨猜想問題專家Jeffrey Lagarias表示：“這是一個危險的問題，很多人為其如痴如醉，但目前看真的不可能解決。”
但不信邪的人總是有的。陶哲軒就是其中之一，他已經取得了迄今為止在克拉茨猜想問題上走的最遠的成果。
2019年9月8日，陶哲軒在個人部落格上貼出了一份證明，表明了至少對絕大部分自然數，克拉茨猜想都是正確的。儘管這份證明算不上是完整證明，但已經算是在這個堪稱“有毒”的問題上取得的重大進展。
參考文獻：佐佑，數學中的6個未解之謎，每個都價值100萬美元！
金字塔中發現一組神奇的數字，又稱走馬燈數，142857 這個數字無論乘以幾，得數都是142857的滾動迴圈，是至今未解的數學之謎
自古希臘始，數學作為理性科學的核心逐漸被人們重視。經歷3000年理性的發展之後，得益於一些重大基礎數學問題的突破，人類探索和發明的數學知識漸漸轉化為生產力，終將自身帶入了資訊文明的時代。
儘管如此，一些懸而未決的數學問題歷經千年仍頑固地為自身保守著秘密。每一個問題的解決，也許就意味著找到一座隱匿著未知真理的巨大寶藏。
比如數學中最古老的未解之謎——孿生素數猜想，就是由古希臘著名數學家歐幾里得（Euclid）提出，距今已近2300年。關於該問題最重大的突破由華人數學家張益唐於2013年獨自完成。
1900年，作為當時世界數學領域的領袖人物，德國大數學家希爾伯特（Hilbert）提出了雄心勃勃的23個數學問題，其高瞻遠矚的目光在很大程度上為整個20世紀的數學發展繪製了宏偉的藍圖。下面筆者收集整理一下有關歷史上還有數學題現在還沒有解開，有待於智慧者不斷去征服。
曾經“坑爹”到無以復加數學難題幾千年以來，人類在研究數學的過程中，提出並解決了很多難題。有些數學難題不僅玩壞了很多研究者，其解決的過程或結果也讓人覺得十分坑爹。
第五名 古西臘三大幾何難題
這是三個尺規作圖題，即只使用圓規和沒有刻度的直尺作出下面的東西：
1、 倍立方體：求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍
2、 化圓為方：作一正方形，使其與一給定的圓面積相等
3、 三等分角：分一個給定的任意角為三個相等的部分
解決：
問題提出大約在公元前400年，直到1830年開始，這三個問題才陸續“解決”，歷經兩千多年。化圓為方問題在林德曼證明π是超越數後“解決”。其他兩個則是要利用伽羅華的抽象代數理論“解決”，而這個理論在剛出爐時，柏松大牛的評語是：“完全不能理解”。而最後的解決方式，也就是結論，則是“沒有結果的結果”——沒有任何尺規作圖辦法完成上面三個中的任何一個，它們都是作圖不能問題。
第四名 五次方程求根公式
我們從初中開始就開始學習二次方程ax²+bx+c=0的求根公式。先求判別式Δ，然後對Δ進行討論，得到方程的根，於是二次方式的求根公式就得到了。其實數學也經過了長期的研究，得到了三次及四次方程的求根公式。而對於五次方程ax^5+bx^4+cx³+dx²+ex+f=0，卻一直沒找到求根公式。
解決：
一個叫阿貝爾的數學家在他21歲那年發現，五次方程求根公式是不存在的（又是坑爹的不存在）。他把他的結果印成了小冊子進行了分發。據說高斯和柯西兩位大數學家都得到了過這個小冊子，高斯沒認真看，因他覺得阿貝爾不可能解決作為“數學王子”的他都沒辦法解決的問題，而柯西連看都沒看就把小冊子當廢紙扔了。後來，因為一直沒得到認可，貧病交加的阿貝爾27歲時在絕望中死去。這位有如此重大發現的數學家，生前最大的理想是成為一所大學的講師，而這個願望到死也沒能實現。
第三名 四色定理
四色定理的通俗版本是：“任意一個無飛地的地圖都可以用四種顏色染色，使得沒有兩個相鄰國家染的顏色相同。”這最初是由法蘭西斯·古德里在1852年提出的猜想。當然，作為一個數學定理，四色定理有著更為嚴謹的數學敘述，是關於拓撲或者圖論，這裡就不細述了。
解決：
四色猜想剛提出時，並不被數學家們重視，比如哈密頓就說“不會嘗試解決這個四色問題”。後來在德·摩根的不斷推動下，才開始進入數學家們的視野。歷史上，曾有一個叫肯普的倫敦律師聲名證明了這個猜想，他的證明幾乎已經得到了學界的承認，甚至已經得到《自然》雜誌的確認。對於一個非專業人士解決的問題，人們開始認為他不難。那個時候，有一所大學給學生留下的習題是“證明四色猜想，且不得超過一頁紙的文字，30行算式以及一頁紙的圖”。而劇情的反轉在這個證明公開的11年後，有人發現了肯普證明無法修補的錯誤，而使四色猜想重新成為公開問題。1975年，經過IBM360電腦夜以繼日近兩個月，1200小時的驗證，四色猜想被證明，成為四色定理。回想一下那個30行的要求，哆嗒數學網的小編只想說，寫作業的學生們，你們還好嗎？
第二名 連續統假設
康托爾創立集合論的同時，也發明了一種比較無窮集合元素個數多少的方法。他把無窮集合中的元素個數叫做基數。他研究了很多無窮集合的基數，發現自然數、整數、有理數、整係數方程等等，它們的基數都是一樣多的，而實數、無理數、複數、三維空間中的點，它們也是一樣多的，而且比自然數要多。他所發現的所有集合，它們的個數都不會在自然數的基數和實數基數之間。於是他猜想：沒有一個集合，它的基數在自然數基數和實數基數之間，這就是連續統假設。
解決：
康托爾為這個猜想幾乎耗費了一生，他幾次聲稱證明了連續統假設，但都發現自己的錯誤又將其宣告收回。康托爾後來產生精神問題不知道和這個猜想的證明的有沒有關係。問題在1963年終於有了個結論：連續統假設在數學家公認的ZFC公理系統下，即不能證明是真命題，也不能證明是假命題。而在康托爾那個年代，還沒有公理化集合論的概念，也就是說他的年代是無論如何也解決不了的。
第一名 費馬大定理
X^n+Y^n=Z^n這個方程，在n大於2的時候沒有正整數解！這就是費馬大定理。
解決：
費馬是在1637年閱讀一本書時，在書中寫註解時留下這個猜想的，同時，他還寫道：“對此定理，我有一個美妙的證明，但因書中空白太小寫不下。”這讓痴迷數學的研究者們，對於這個空白充滿了好奇和不甘。問題終於在300多年後的1995年被英國數學家懷爾斯證明。證明過程用到模型式等，在費馬年代根本沒有方法。懷爾斯證明的第一稿用了300多頁，在修改精簡後，縮至100多頁，發表於數學最頂級的雜誌《數學年刊》。有人感慨，那個空白的事，簡直就是費馬挖下的大坑啊。
千禧年大獎難題,21世紀數學星空下的擎天七柱在2000年，克萊數學研究所設立了千年獎，以鼓勵人們解決7個千年來未解決的數學問題，任何人只要能解決這問題中的任意一個即可獲得100萬美元（約660萬元人民幣）的獎金。其中，龐加萊猜想已經在2006年得到了解決，但其他6個問題仍未解決。
1.P對NP的問題
NP問題的典型問題是哈密爾頓路徑問題：給定N個城市訪問，如何在不訪問城市的情況下做到這一點？如果你能給出一個解決方案，可以很容易地檢查它是正確的。那麼你將會獲得100萬美元（約660萬元人民幣）獎金。
P與NP問題的本質是反向是否正確：如果我有一個有效的方法來檢查一個問題的解決方案，是否有一個有效的方法來找到這些解決方案？
大多數數學家和計算機科學家認為答案是否定的，對於一般人而言，感覺讀懂這個問題都是個事。
2.納維-斯托克斯方程
正如牛頓第二定律描述了物體在外力的作用下速度會發生變化一樣，納維-斯托克斯方程描述了流體流動的速度如何在壓力和粘性等外力以及重力等外力的作用下發生變化。
納維-斯托克斯方程是一個微分方程組，描述了一個特定的量在給定了一些初始的啟動條件後，如何隨著時間的推移而變化。
在Navier-Stokes方程的情況下，我們從一些初始的流體流動開始，微分方程描述了流體的演化過程。舉個簡單的例子，當你早晨在咖啡中攪拌奶油時，你能用數學方式解釋發生了什麼，就可以贏得100萬美元（約660萬元人民幣）。
3.楊 - 米爾斯理論和量子質量差距
數學和物理學一直有著互利的關係。數學的發展常常為物理理論開闢了新的途徑，物理學中的新發現激發了對其基本數學解釋的深入研究。
量子力學可以說是歷史上最成功的物理理論，20世紀的偉大成就之一就是對這種行為進行理論和實驗的理解。
現代量子力學的主要基礎之一是楊 - 米爾斯理論，儘管取得了物理上的成功，但理論數學基礎仍然不清楚。
那麼，克萊數學研究所設立的獎金就是要獎勵能展示楊米爾斯理論的一般數學理論，並對質量差距有一個很好的數學解釋。
4.黎曼假說
到了19世紀，數學家發現了各種公式，給出了素數之間平均距離的近似概念。然而，還有一個未知數字是如何接近這個平均數的真實的素數分佈。也就是說，根據這些平均數公式。
黎曼假設透過建立離素數分佈的平均距離有多遠的限制來限制這種可能性。有很多證據表明黎曼假說是真實的，但是一個嚴格的證據仍然是難以捉摸的。
如果任何人能提供能證明黎曼假設的證據，那麼他就可以獲得100萬美元（約660萬元人民幣）的獎金。
5.Birch和Swinnerton-Dyer猜想
數學研究的最古老和最廣泛的物件之一是丟番圖方程，近年來，代數學家特別研究了橢圓曲線，它是由一個特定型別的丟番圖方程定義的。
這些曲線在數論和密碼學中有著重要的應用，尋找整數或合理的解決方案是一個重要的研究領域。Birch和Swinnerton-Dyer猜想提供了一套額外的分析工具來理解由橢圓曲線定義的方程的解。
如果有人能證明這個猜想，那麼可以獲得100萬美元（約660萬元人民幣）的獎勵。
6.霍奇猜想
20世紀，數學家發現了用將複雜圖形作為曲線、曲面和超曲面理解的方法，難以想象的形狀可以透過複雜的計算工具變得更容易處理。
霍奇猜想表明，某些型別的幾何結構具有特別有用的代數對應物，可用於更好地研究和分類這些形狀。如果有人能用數學方式證明霍奇猜想，同樣可以獲得100萬美元（約660萬元人民幣）的獎勵。
最新的研究則表明，霍奇猜想與廣義相對論、量子糾纏和龐加萊猜想在更深的層次上有可能融為一體。對它的深刻認知，有助於瞭解宇宙中最深邃奇妙的物質構成。
昔日，希爾伯特以一己之力提出23個問題，締造了20世紀數學的輝煌。我們也有理由相信，百年之後的七大難題，會再一次成為21世紀數學星空下的擎天七柱，幫助人類文明抵達深遠璀璨的未來。
面對數學史上最簡單的未解之謎，華裔陶哲軒給出了幾十年來最重要的證明！任取一個正整數，如果是偶數，將其除以2。如果是奇數，將其乘以3再加1，然後重複這個過程，最後結果都是1。
這個問題就是著名的“克拉茨猜想”。它幾乎可以說是數學史上未解問題中表達形式最簡單的一個，也因此成為數學這棵參天大樹上最誘人的那顆果實。
克拉茨猜想據稱是上世紀30年代由德國數學家Lothar Collatz提出的。但其具體出處不詳，已知的，從西拉古斯大學大學傳到貝爾實驗室，再到芝加哥大學。因早期有眾多的傳播者，所以在傳播過程中，克拉茨猜想收穫了許多名字：3n+1猜想、奇偶歸一猜想、烏拉姆(Ulam)問題、角谷猜想等。
不少資深數學家警告稱，這個問題簡直有毒，堪稱魅惑十足的“海妖之歌”：你走進來就再也出不去，再也無力做出其他任何有意義的成果。密歇根大學數學家、克拉茨猜想問題專家Jeffrey Lagarias表示：“這是一個危險的問題，很多人為其如痴如醉，但目前看真的不可能解決。”
但不信邪的人總是有的。陶哲軒就是其中之一，他已經取得了迄今為止在克拉茨猜想問題上走的最遠的成果。
2019年9月8日，陶哲軒在個人部落格上貼出了一份證明，表明了至少對絕大部分自然數，克拉茨猜想都是正確的。儘管這份證明算不上是完整證明，但已經算是在這個堪稱“有毒”的問題上取得的重大進展。
參考文獻：佐佑，數學中的6個未解之謎，每個都價值100萬美元！