大學物理專業有三門數學基礎課。

高等數學

數學物理方法

計算物理學入門

大學數學專業有

數學物理方法

我80年代上大學數學系時有一門《理論力學》，印象深刻。不知道現在還有沒有？

查查資料，清華大學的數學系物理系大一大二的課程是一樣的，名校還是厲害，從基礎課就比普通高校厲害。出來的學生基本功是比較紮實。

數學是物理學的重要輔助工具，為解決物理學問題提供計算手段。數學的服務物件不僅物理學，還有其他學科，都對應計算手段，但是數學具體某些手段和模型、理論必須在物理範疇上獲得意義才是可用於物理計算的，套錯模型，那是無效計算。

不少搞物理的認為數學是物理的工具，搞數學的認為物理是數學的應用，可能都不對，都站在自己圈子裡說話，還是傾聽下面一段楊振寧先生的語音，定會茅舍頓開。

數學是物理學習的基礎，不論是物理規律的簡潔表達、實驗的測量計算、問題的推演求解，都離不開數學的運用。

從傳統上講，數學家和物理學家自希臘時代就難以分割開。牛頓和他的同時代的人從不將數學和物理學進行明顯的區分，他們稱自己為自然哲學家，對數學、物理學和哲學世界都充滿了興趣。

在18世紀到19世紀，數學和物理學之間有著大量的交流，高斯、黎曼和龐加萊都認為，物理是新數學的重要源泉，而數學則是物理學的語言。

但在龐加萊和愛因斯坦之後，數學和物理學的發展出現了一個“急轉彎”。在過去的七八十年間，數學家和物理學家之間很少出現真正的溝通，即使有也非常非常少見。

常見的數學內容，比如基本函式、不等式、數列、三角函式、圓錐曲線、微積分初步等等，在物理學中均有體現。學生靈活運用數學知識，會將物理問題化繁為簡、化抽象為具體、化感性為理性，對物理知識的掌握達到質的飛躍。

根據愛因斯坦的狹義相對論，靜止質量為m0的電子以一定速度運動時，電子的總動能滿足W2=由此可以得到許多數學家認為電子具有負能量是不可理解的，但狄拉克堅信，負能量描述的是一種以不尋常狀態存在的真實粒子，並於1928年建立了著名的狄拉克方程。4年後，安德森從宇宙射線中發現了正電子，狄拉克的預言得到了證實。這說明數學以其高度抽象的思維提高了物理學家的預見能力，能深刻地揭示物質世界的內在聯絡。

電報之父莫爾斯曾說過：“數學是數學，物理是物理，但物理可以透過數學的抽象而受益，而數學則可透過物理的見識而受益。”由此可見，物理的發展離不開數學，許多物理現象的預言與解釋更離不開數學方法與物理思想的巧妙結合。

在高等教育中，高等數學和大學物理是理工類各專業本科生的必修基礎課程，但是很多學生在學習這兩門課程的過程中並不能夠做到知識的相互遷移、思想方法的相互滲透融合，從而使所學到的數學方法有所偏廢，物理思想過於僵化。

在數學中z=xy說明y與x成反比，y與z成正比；然而在物理學中F=qE的函式關係中，電場強度E是由電場本身的性質所決定的，與試探電荷q無關，所以不能認為E與q成反比、E與F成正比；又比如彈簧的彈力F和彈簧的形變數x成正比，即F=-kx，但k是彈簧的勁度係數，只由材料的性質所決定，不與x成反比；類似的還有物質的吸熱量Q與比熱容c之間的函式關係Q=cmΔT、導體兩端的電壓U與電阻R之間的關係U=IR，c與R均由物質本身的性質所決定，與其他變數無關。如果我們在等號左側加上括號和自變數，比如Q(m,ΔT)=cmΔT，那麼數學學習者也會認識到c與其他變數無關，但在物理表述中，我們並不需要這麼麻煩。

這些簡單的例項說明，數學方法在物理學的運用中通常被賦予了特定的物理意義，從而助益於物理的表述與計算。但這並不意味著物理學習者就一定能看到數學符號所隱含的物理意義，如上文提到的部分物理學專業的學生不清楚行列式與矩陣在物理學中有何應用。

如表1所示，我們可以認知到，勻變速直線運動中，相鄰的相等時間段的末速度成等差數列，其中加速度a對映到公差d，時間t與項數n的區別在於t∈[0, +∞)而n取正整數，t時間內的位移對應等差級數的部分和，且級數(即t→+∞時的位移S)發散。這就從具身體驗中建構了等差數列“語言”在物理學中的意義與應用，且益於增進學生對相關概念、公式和規律的邏輯記憶。

問題：

質量為M的物體在水平方向上與勁度係數為k的彈簧組成振子，以M的自然平衡位置O為座標軸原點，若物體M在水平方向由原點移動至x位置處，如何求彈力對M做的功W？

A同學：彈力F=kx，F對形變數x的平均值為位移為x，所以

B同學：首先需要外力對這個系統做功，物體的機械能不變，外力做的功轉化為彈簧的彈性勢能，外力拉物體，對物體做功，彈簧又對物體做負功，彈簧對物體做的功的負值就等於外力做的功，外力做的功的值等於彈簧的彈性勢能，等於1/2kx2。

C同學：彈力F=kx，那麼W=Fx= kx2。但是M初始狀態是在平衡位置，要想移動至x位置應該還得有拉力，看題意摩擦力應該是被忽略的，這樣解好像有點簡單了，所以我不太敢確定。(停頓)Ma=kx，W=1/2Mv2這樣解出來是總的功，老師我覺得我還得再想想，或者老師能不能給些提示？(老師：考慮力和力的方向上的位移，拉力與解題無關，想一下高等數學裡的積分。)F=kx，W=力對位移的積分=1/2kx2。

D同學： W=Fs，因為彈力F=kx是變力，所以需要積分，所以老師，是這樣嗎？(老師：彈力是-kx，微位移是dx，所以積分公式裡是不是多了些什麼？)負號？(老師：那是公式裡缺少的，多了什麼？)x？顯然，我對積分還不太理解。

E同學：可不可以直接用F-x影象，求面積就是做的功呀？(停頓)結果是1/2kx2？(老師：這麼不自信？怎麼求的？)(學生給出了下面的示意圖，並問到：“我感覺這樣也太容易就算出來了呀，所以，我對了嗎？”)(老師：少了一個符號。)啥符號？(老師：負號。)對呦，負功。

從該案例中我們可以看出，A同學和B同學用到了高中物理中學到的彈性勢能的計算方法，特別是B同學的回答，我們可以看到一種動態思維過程：透過假設問題之外的一種物理過程，將“拉力”“機械能”“功轉化”等多種知識概念組織到一起推論到最終結果；C同學開始並沒有注意到F是變力，透過聯想“拉力”“摩擦力”“牛頓第二定律(Ma=kx)”“動能(W=1/2Mv2)”等零散的物理過程，甚至可能懷疑老師問的問題是不是題意不明？！D同學想到將M的位移劃分為無限多個微路程，透過積分進行求解，但顯然，D同學的積分知識學得並不紮實，認為對函式f(x)積分的演算法是E同學用到了定積分的思想：函式F(x)在區間[0,x]中的曲線所包圍的面積就是定積分，即F對M做的功。但5位同學都沒有注意到數學中的負號在物理學中意義的建構：彈力對物體做負功！學生們多樣的思維模式以及對不同知識概念的融合、不同知識體系的運用體現了數學“語言”在物理學中應用的百科性。

數學和物理學的關係, 應該是十分密切的。在數學系以外的課程中, 物理系開設的數學課最多最深。物理學公理化, 數學化, 曾是一個時期許多大學問家追逐的目標。不過, 擅長使用數學於物理的楊振寧教授卻認二者間的差別很大, 他有一個生動的"雙葉"比喻, 來說明數學和物理學之間的關係, 如下圖。

他認為數學和物理學像一對"對生"的樹葉, 他們只在基部有很小的公共部分, 多數部分則是相互分離的。楊振寧先生解釋說: 「它們有各自不同的目標和價值判斷準則, 也有不同的傳統。在它們的基礎概念部分, 令人吃驚地分享著若干共同的概念, 即使如此, 每個學科仍舊按著自身的脈絡在發展。

如何學習物理學中的數學呢？有專家認為，物理理論不是推匯出來的，而是實踐、歸納、試錯出來的。對於物理學中的數學，做到現學現用即可。學物理需要的數學最小集合為：微積分基礎、線性代數、留數定理、微分方程、解析幾何等。學數學需要的物理最小集合為：經典力學。微積分與力學融會貫通，看書的時候要把前後章節知識融會貫通。

參考文獻賈光一 劉玉環 等，從認知語義學的視角看數學方法在物理學中的應用