在量子力學中物理系統的運動狀態用態向量|α》表示，但|α》是個很抽象的表達，就好比我們說在笛卡爾空間中存在某個向量V，為了具體地把V表示出來，我們需要建立一個直角座標系，然後讓V向這個座標系的各個分量投影，我們實際上是用這些投影來表示向量的。

類似地，我們也需要找到個表達|α》的基矢，這個基矢必須是正交歸一完備的。我們可以考慮某個力學量A，A是個算符，它可以把一個態矢對映為另一個態矢，由此我們可以定義本徵值問題：A|a"》=a"|a"》，其中a"是本徵值，所有的本徵矢|a"》可以構成一個正交歸一完備的集合。

換句話說|α》可以表示為向各個|a"》的投影，然後再把它們加起來：

|α》=∑|a"》《a"|α》

這裡內積《a"|α》表示的就是態矢|α》在|a"》方向上的投影，這個內積一般而言是個複數，它就是平時所說的波函式。

根據量子力學的統計原理，波函式絕對值的平方對應機率，在這裡|《a"|α》|的平方對應的就是物理量A取a"的機率。

假設我們考慮的力學量是位置x，位置算符的本徵值問題x|x"》=x"|x"》也定義了一個正交歸一完備的基矢，只不過這個基矢的指標x"是連續的了。此時波函式是《x"|α》，就是我們經常寫的位置表象下的波函式ψ(x")。|ψ(x")|的平方就是粒子在位置x"附近時候的機率。

我們還可以考慮傳播子，傳播子K定義為粒子由x"t"傳播到xt的內積：《xt|x"t"》。

這個《xt|x"t"》其實就是波函式ψ(xt)，我們寫成上式的形式就可以發展出費曼路徑積分的表述了。

路徑積分的意思是最終的波函式《xt|x"t"》是粒子由x"t"傳播到xt所有可能路徑上的傳播子的一個相干迭加。

我們在t時刻x位置發現t"時刻由x"位置傳播來粒子的機率就是|《xt|x"t"》|的平方。