幾何，就是研究空間結構及性質的一門學科。它是數學中最基本的研究內容之一，與分析、代數等等具有同樣重要的地位，並且關係極為密切。幾何學發展歷史悠長，內容豐富。它和代數、分析、數論等等關係極其密切。幾何思想是數學中最重要的一類思想。暫時的數學各分支發展都有幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數學理論。常見定理有勾股定理，尤拉定理，斯圖爾特定理等

數學的內容可以粗略地分為代數與幾何兩大部門。代數是關於數量關係及數量形式的學問，而幾何是關於空間形式的學問，最初主要研究空間的度量、形體關係以至形式演繹。在數學教學中，幾何與代數具有同等重要的地位。

根據古希臘學者希羅多德的研究，幾何學起源於古埃及尼羅河氾濫後為整修土地而產生的測量法，它的外國語名稱geometry就是由geo（土地）與metry（測量）組成的。古埃及有專門人員負責測量事務，這些人被稱為“司繩”。後來拉丁語音譯為“geometria”，英文單詞為Geometry，英式發音[dʒiˈɒmətri]。已經學過英文發音的同學，可以嘗試發一下音，就會發現這個單詞的前兩個音節和“幾何”這兩個字的讀音很相像。也可以登入百度翻譯，輸入這個單詞，然後點選英式發音按鈕，聽聽這個單詞的標準發音。

中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。徐光啟在翻譯古希臘數學家歐幾里得的著作《幾何原本》時，將其音譯為"幾何"。像點、線、直線、平行線、曲線、角、直角、銳角、鈍角、三角形、四邊形等，這些在數學課本上耳熟能詳的術語，都是徐光啟在400年前翻譯時所定下來的譯名。這些譯名不但在中國沿用至今，而且還傳播到了北韓、日本等國。

徐光啟要求全部譯完《幾何原本》，但利瑪竇卻認為應當適可而止。由於利瑪竇的堅持，《幾何原本》的後7卷的翻譯推遲了200多年，才由清代數學家李善蘭和英華人偉烈亞力合作完成。李善蘭(1811～1882)，字壬叔，號秋紉，浙江海寧人，自幼喜歡數學。1852年到上海後，李善蘭與偉烈亞力相約，繼續完成徐光啟、利瑪竇未完成的事業，合作翻譯《幾何原本》後7卷，並於1856年完成此項工作。至此，歐幾里得的這一偉大著作第一次完整地引入中國，對中國近代數學的發展起到了重要的作用。

徐光啟在評論《幾何原本》時說過：“此書為益能令學理者祛其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發其巧思，故舉世無一人不當學。”其大意是：讀《幾何原本》的好處在於能去掉浮誇之氣，練就精思的習慣，會按一定的法則，培養巧妙的思考。所以全世界人人都要學習幾何。

在徐光啟看來，翻譯只是趕超世界水平的第一步，他說“欲求超勝，必須會通，會通之先，必須翻譯。”《幾何原本》翻譯出版之後，會通工作接踵而來。明末有孫元化的《幾何用法》(1608)、李篤培的《中西數學圖說》(1631)、陳藎謨的《度算解》(1640)、方中通的《數度衍》(1664)等，清初有王錫闡的《圓解》、梅文鼎的《幾何摘要》、《勾股舉隅》等一系列著作，這些著作都是在這種思想指導下產生的。

梁啟超在《中國近300年學術史))中說:“明末有一次大公案，為中國學術史上應大筆特寫者，日歐洲歷算學之輸入”。徐光啟與利瑪竇合譯的《幾何原本》，“字字精金美玉，為千古不朽之作”。

在徐光啟之前，中國古代的數學家對幾何方面也作出了卓越的貢獻(只是不叫這些知識為“幾何”)。比如魏晉時期(曹操及其後代建立的王朝)的山東人劉徽用“割圓術”科學地求出了圓周率π=3.1416。之後，在南北朝時期的南京人祖沖之計算出的圓周率的近似值在3.1415926和3.1415927之間。

幾何學是數學中最古老的一門分科。最初的幾何知識是從人們對形的直覺中萌發出來的。史前人大概首先是從自然界本身提取幾何形式，並且在器皿製作、建築設計及繪畫裝飾中加以再現。圖1-1所示圖片顯示了早期人類的幾何興趣，不止是對圓、三角形、正方形等一系列幾何形狀的認識，而且還有對全等、相似、對稱等幾何性質的運用。

古代印度幾何學的起源則與宗教實踐密切相關，公元前8世紀至5世紀形成的所謂“繩法經”，就是關於祭壇與寺廟建造中的幾何問題及求解法則的記載。

幾何之父——歐幾里得（Euclid，公元前325-公元前265 ）是古希臘數學家。歐幾里得在公元前300年編寫的《幾何原本》聞名於世，2000多年來都被看作學習幾何的標準課本，共13卷,這本著作是現代數學的基礎，在西方是僅次於《聖經》而流傳最廣的書籍，所以他被人們稱為幾何之父。沒有誰能夠像歐幾里得那樣，聲譽經久不衰。現在從小學至高中所學的幾何知識都屬於歐氏幾何(歐幾里得幾何)範疇。

歐幾里得在他留傳了幾千年的光輝著作《幾何原本》中，用公理化方法將古希臘豐富的幾何學知識整理在嚴密的邏輯系統之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。

　歐幾里得雖然算不上傑出的數學家，但確實是一位有才華的組織者。他把當時希臘人研究幾何的許多證明用更簡明、邏輯的語言加以闡述，並把許多有用的知識收集到他的《幾何原本》一書，該書把許多世代的幾何發明和創造經過加工熔為一爐，是一本具有獨特風格的名著。《幾何原本》寫得生動而又有條理，對前人的許多研究成果作了認真的分析，並給了出色的證明，富於權威性。甚至今天中學裡學習的幾何課本仍是從《幾何原本》改寫而成的，它為人類的精神文明起了很好的作用，為數學的發展奠定了基礎。

　　歐幾里得是一位很講究證明方法的學者。有些數學證明題比較複雜，一時難於解決，但如果精心選擇證法，往往可以使難化簡，作到事半功倍，甚至有些長期解決不了的難題也能一針見血地得到證明。

　　歐幾里得天才的、完美的創造物是《幾何原本》。古希臘繼承了埃及和巴比倫在實驗幾何學上的知識，運用邏輯推理的方法把幾何學的研究推到高度系統化、理論化的境界，而歐幾里得正是這樣一位大師。《幾何原本》是整個人類文明發展史上的里程碑，是全人類文明遺產中妙用無窮的瑰寶。

《幾何原本》從五個公設和五個公理入手，用邏輯推理的方法，演繹出內容極為豐富的幾何知識。它敘述並證明了幾千年來人類有關點、線、圓和一些簡單的立體幾何知識，全書共13卷。第1卷，給出了歐幾里得幾何學的基本概念、定義、公理、公設等；第2卷，面積和變換；第3卷，圓及其有關圖形；第4卷，多邊形及圓與正多邊形的作圖；第5、6卷，比例與相似形；第7卷，數論；第8卷，連比例；第9卷，數論；第10卷，不可通約量的理論；第11卷，立體幾何；第12卷，利用“窮竭法”證明圓面積的比等於半徑平方的比；球體積的比等於半徑立方的比，等等；第13卷，正多面體。

《幾何原本》一書從很少的幾個定義、公設、公理出發，推匯出大量結果，最重要的是它給出的公理體系標誌著演繹數學的成熟，主導了其後數學發展的主要方向，使公理化成為現代數學的根本特徵之一。

古希臘數學家泰勒斯曾經利用兩三角形的等同性質，做了間接的測量工作；畢達哥拉斯學派則以勾股定理等著名。在埃及產生的幾何學傳到希臘，然後逐步發展起來而變為理論的數學。哲學家柏拉圖（公元前429～前348）對幾何學做了深奧的探討，確立起今天幾何學中的定義、公設、公理、定理等概念，而且樹立了哲學與數學中的分析法與綜合法的概念。此外，梅內克繆斯（約公元前340）已經有了圓錐曲線的概念。

歐幾里得是一位數學教育家。對不肯刻苦鑽研、有投機取巧想法的人，他是持批判態度的。據記載，托勒密王曾經問歐幾里得，除了他的《幾何原本》之外，還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾里得回答說：“在幾何裡，沒有專為國王鋪設的大道。”這句話後來成為千古傳誦的學習箴言。

在19世紀末，德國數學家希爾伯特發表了著名的《幾何基礎》，希爾伯特在這本書中將幾何進一步的公理化，把點、直線和平面統稱為“幾何元素”，而它們之間要滿足五類公理（關聯公理、次序公理、全合公理、平行公理、連續公理）要求，稱這些幾何元素的集合為“幾何空間”，從而有邏輯地得到了歐幾里得幾何的所有定理，使得歐幾里得幾何成為了一個嚴謹，同時邏輯結構完善的幾何體系。

幾何學的歷史非常悠久，其應用也十分廣泛。遠到古代的弓箭和戰車的製造、耕地的丈量，近到房屋的製造和裝修；小到杯子的製造，大到炮彈彈道的計算、戰鬥機的設計，乃至天體間距離的測量；都需要用到幾何學的知識。

19世紀以來，人們對於關於三角形和圓的初等綜合幾何，又進行了深入的研究。至今這一研究領域仍然沒有到頭，不少資料已引申到四面體及伴隨的點、線、面、球。

射影幾何學是一門討論在把點射影到直線或平面上的時候，圖形的不變性質的一門幾何學。在19世紀晚期和20世紀初期，對射影幾何學作了多種公設處理，並且有限射影幾何也被發現。事實證明，逐漸地增添和改變公設，就能從射影幾何過渡到歐幾里得幾何，其間經歷了許多其它重要的幾何學。

解析幾何在近代的發展，產生了無窮維解析幾何和代數幾何等一些分支。普通解析幾何只不過是代數幾何的一部分，而代數幾何的發展同抽象代數有著密切的聯絡。1637年，笛卡兒發表了《方法論》及其三個附錄，他對解析幾何的貢獻，就在第三個附錄《幾何學》中，他提出了幾種由機械運動生成的新曲線。在《平面和立體軌跡導論》中，費爾馬解析地定義了許多新的曲線。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開始，然後求它的方程；費爾馬則從方程出發，然後來研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面，“解析幾何”的名稱是以後才定下來的。

736年，尤拉發表論文，討論哥尼斯堡七橋問題。他還提出球面三角形剖分圖形頂點、邊、面之間關係的尤拉公式，這可以說是拓撲學的開端。龐加萊於1895～1904年建立了拓撲學，採用代數組合的方法研究拓撲性質。拓撲學開始是幾何學的一個分支，在二十世紀它得到了極大的推廣。