這其實是個名稱問題，函式和泛函並沒有什麼本質的不同。它們都是一種對映（mapping），區別是：函式一般代表的是定義域和值域為數域（常見的如 R^n）的對映，而泛函指的是定義域為某函式空間，值域為數域的對映。說白了，泛函就是函式的推廣，泛函的泛函還是泛函，沒有其他特別的稱呼，據我所知。

數學裡專門研究泛函的分支是泛函分析——概括整理經典分析和函式論的成果，把數學分析的一些研究方法運用到一般的抽象空間（比如Banach空間、Hilbert空間）進行更純粹的研究。目前，泛函分析的內容非常豐富，與其他學科也有著緊密的聯絡，已經成為了研究數學、物理等領域不可或缺的知識。

下面對數學裡線性泛函的相關概念作一簡單的介紹。

首先，線性泛函是特殊的線性運算元：舉個例子，線性代數里矩陣可以對應一個線性變換，就是一個線性運算元。再比如求導運算：

就是連續可微函式空間到連續函式空間的線性運算元。

取值於實數（複數）的線性運算元稱為實（復）線性泛函，比如積分運算：

f就是一個函式空間上的線性泛函。

簡明地，如果一個線性運算元T滿足

那麼稱T連續。如果對於線性運算元T，存在一個常數C>0滿足

那麼稱T 有界。當X和Y都是賦範空間時，連續性和有界性是等價的。有了這些概念，我們來介紹泛函分析中最重要的定理之一——Hahn-Banach延拓定理，在數學上具有廣泛的應用。

對於有限維空間上的線性泛函，它一定是連續的， 而且可以組成一個與基空間具有相同維數的線性空間，我們稱為對偶空間。自然會問：如果是無窮維線性空間，會有什麼結果？下面給出Hahn-Banach定理在賦範空間的一個特殊形式：

由這個可以得到判斷賦範空間零元的一種方法：

X*代表X上的對偶空間（包含X上所有的連續線性泛函）。

至於其他的一些重要概念，比如：弱收斂，譜，廣義函式，緊運算元等，下次有機會再說吧。