本題，涉及的背景大致如下。自從（大約1915年起）有了廣義相對論，數學從物理學的奴僕解脫出來，分道揚鑣，自立門戶。

應運而生：閔氏空間（閔可夫斯基的四維時空，最典型）、泛函空間（希爾波特的高維空間）、黎曼流形、微分幾何等，引發了一場劃時代的數學革命。與此同時，物理學的若干術語，也因為經常不說人話（避免人性干擾），也變得撲朔迷離。

高維空間，是四維空間與超四維空間的統稱。我覺得，首先搞清幾個重要的基本術語，尤其是它們的物理意義，而後再回到本題，可以順理成章。

考慮到，儘量多說“人間人話”，少說“數學神話”，我的不少“民科”俗語，教科書裡沒有，不必大驚小怪，只要好懂，愛信不信。

一，深度理解幾個基本概念。

1）質點，代表一個“系統”，或研究物件，不考慮系統的大小與變態，與所在“環境”相對應。有機會，讀點系統論原理。

2）原點，代表一個“環境”，不考慮環境的大小與變態，作為質點位置的“參照系”，也代表一個幾何體旋轉所圍繞的“定點”。

3）維度，是座標系裡的“座標軸”。座標軸可以是標量軸（不帶箭頭），也可是向量軸（帶箭頭）。用來標定一個質點在空間的點位/相位。

4）空間，是一個質點所在的“環境”，也是質點運動的廣義“載體”，如太空、真空、平流層、電離層、電磁場。有時是空間結構分佈、空間座標系的簡稱，如電子空間，三維空間。

空間，常指真空、準真空、深太空，被看作“慣性參照系”。但是，例如，航空器所在的空間，是地球大氣層範疇，是“非慣性參照系”，其空氣，作為航空器的載體，湍流層的氣流多變危險，平流層的氣流少變安全，總的是加速度不為零，因此需要考慮“流變學”問題。

5）內空間，是難以想象的“小微空間”，與容易想象的“外空間”相對應。內空間，有時可忽略，有時不能忽略。例如一根髮絲，可以忽略其三維體、二維面，看上去或投影，很像一維的線體。一個電子，相對於軌道空間，的自旋空間。地球，相對於公轉空間，的自轉空間。弦理論的內空間是，六維+時間=7維空間。

6）外空間，是人類可以感知或想象的空間。例如，經典力學的三維絕對空間，相對論的四維空間，弦理論的十一維空間（內7外4）。

二，高維空間的基本意思與重要意義。

1）高維空間，包括4D, 5D, 6D, 7D, ...10D, 11D ...26D...，是專為複雜系統軌跡定位的“n多軸座標系”，可以類比“磁力線”工具來想象。

2）高維空間，只適用於“非慣性參照系”。高維座標系，要麼座標原點不是定點不變的，要麼空間性質不是零加速度的，要麼座標軸是旋轉的。高維座標系的理解，是不容易想象的，甚至是反人類常規思維的。

3）高維空間，只適合複雜系統即若干子系統的綜合/“系綜”運動軌跡的精準定位，如果內空間涉及的小微系統，對系綜全域性沒大影響，就可以果斷忽略，而只考慮外空間座標系，即只考慮最低的四維時空座標系。

四，高維座標系的構建

原則上，只要沒有“冗餘維度”就行，有多種途徑，沒有權威的固定模式。我隨意舉例。

①內空系（1~7D）+外空系（3D+1D）：地球系+太陽系，水星系+太陽系，電子系+質子系。

②內空系（1~nD）+中空系（1~7D）+外空系（3D+1D）：地球系+太陽系+銀河系。

物質的根本形式，無外乎“有和無”兩種。宇宙中一切可以描述的物質形式都是“有”的具體表現。而每一個必須單獨描述的“有”的形式都是一個所謂維度。一種物質當要描述它的某一方面性質所必須用到的全部條件，也就是它的空間維度。

比如當要描述一個物質的靜止位置時，我們一般是說它在東經多少度，北緯多少度。這就是二維空間。如果還要知道它的海拔。那就是三維空間。如果還要知道它的運動速度，那就是四維空間。這裡自然就是時間。而物理學的宏觀運動規律都可以用這四個性質描述，所以通常這個空間被叫做四維時空。

但是物質的性質還不止有空間和時間。比如我們要描述一個帶電的運動，那麼除了四維時空以外還要說明電量。這就出現了第五個維度，也可以叫五維空間。

同理如果要描述光“電磁場”那麼就還要有磁場強度。這就是六維空間了。一般物質的外部性質也就是怎麼多了。

但是如果還要描述物質的引力性質，那問題就複雜了。那就要用到一個叫質量的維度“能量”，並且質量“能量”同時又改變其它空間維度的性質。那一個獨立的物質就需要八維空間來描述它的存在。

如果宇宙中至少有兩個物質，那麼就需要十六個獨立的維度才能描述引力。

所以引力波方程是十六維的。

回到三維，四維和五維，就是描述物質性質必須有三個分量，四個分量和五個分量。

這是個很好的科普話題。其實在數學上，四維甚至更高維空間並不是什麼神秘的東西，也不難理解。我們之所以覺得四維空間很難理解，是指我們很難像三維空間那樣，用直觀感受體驗它，而不是說我們不能定義它或理解它。

實際上我們有不少替代方法去體驗四維空間。這就好比我們曾經用平面向量去體驗複數的幾何意義。我們放在後面再介紹。

事實上，任何維度的空間在數學上都可以精確定義，而且我們可以輕鬆地舉出例子。

下面我來舉個例子，讓你“親眼看”到一個n維空間。我們考慮一個由n個數字組成的陣列(a1,a2,...,an)這裡a1,...,an都是實數。現在把所有這種n元陣列放在一起，構成一個集合。這個集合就是n維空間。

數學中的n維空間歸根結底都是我們上面定義的這種空間。為了方便，我們把零維空間定義為由單獨的數字0構成的集合。

你肯定會覺得這很抽象。實際上，這種抽象定義和低維度的幾何空間完全是一致的。你可以看到:

零維空間就是一個點(你把0當成一個實心點)

一維空間就是直線。因為這時候，它是由一個數字(a1)形成的集合（這時候的陣列外面的括號有沒有都一樣），也就是實數集合。我們知道，實數集合和直線（也就是實數軸）是一回事。

二維空間當然是平面，此時空間的元素就是二元陣列(a1,a2)。你回憶一下，這不就平面座標，對吧。

同理，三維空間就是我們平時說的那種東東。它的每個點座標就是(a1,a2,a3)，也就是三元陣列。

因此，現在我們可以去理解四維空間，它的每個點的座標其實就是一個四元陣列(a1,a2,a3,a4)。

不過別灰心。我們可以用其他方式去替代地體驗四維。這裡舉幾個例子。

方法一（3D相簿/動畫）：此方法來自牛頓的絕對時空觀。我們把時間軸也看成一個維度。這樣的時空正好是四維的(這裡我們只考慮維度，忽略其他因素)。

具體怎麼體驗它呢?很簡單，在時間軸的每個時刻點上，都對應了那個時刻的三維宏觀世界。這就好比我們給每個時刻的三維世界拍了一張3D照片。這些照片沿著時間線疊在一起，構成的3D相簿，即四維時空。

想象一下，當你手上拿著一本相簿，從前往後迅速翻動它。你會看到連續變化的世界影像，對不對？這就和我們平時看動畫一樣，動畫不過是二維相簿在迅速地翻動。因此從這個角度看，四維空間，就是一個3D動畫.

方法二（ps照片庫）。我們拿一張照片來， 把它姑且當成平面吧。 透過旋轉平面、放縮平面(原點不動)、翻轉平面、 把平面塌縮成一條直線或原點，以及它們的各種可能的組合，可以把原始照片ps成另一張照片（也可能運氣不好，塌縮成一根直線或點）。我們把所有的這種方式ps出來的照片放在一起，構成一個ps照片庫，它就是一個四維空間（這裡不再討論數學上的證明了）。

方法三（引數空間）這裡我們談論更一般的維度空間的體驗方法。假設你要研究一個物件，這個物件是由n個獨立的物理量（或者其他形式的參量）來確定的。那麼所有這類物件的全體就構成了一個n維空間（或其一部分）。

打個粗糙的比方，一個彩色點是由三原色的三個引數(r,y,b)以及亮度c確定。那麼彩色點實際上就等價於一個四維空間的座標(r,y,b,c).換言之，不同的彩色點全體構成四維空間的一部分（因為這些引數通常限制在一個範圍內）。

用通俗的講話，五維空間的人到三維空間能移山填海，海闊天空任你騰挪，並點石成金，撒豆成兵，袖裡乾坤，壺中日月，不老萬千。

四維空間的人到三維空間能御劍飛行，飛葉傷人，呼風喚雨，能知前後。驅鬼縛魔，壽命百千。