莫道浮雲終蔽日，嚴冬過盡綻春蕾。新型冠狀病毒感染的肺炎疫情，突如其來，打亂了正常的教學秩序。面對延遲開學，線上授課，畢業年級的學生和家長難免焦慮，作為數學老師的我也心急如焚。在家如何高效複習數學，迎接中考。等待“疫情”結束，春暖花開，迴歸校園，做人群中最耀眼的那一個！

尤其很多同學說在解答有些難題，尤其壓軸題的時候，會感到壓力很大，想不到解題思路惑想不到怎樣去做。不同型別的難題或壓軸題所對應的解題思想也存在很大的差異。

今天老師就來給同學們詳細講講如何破譯中考數學難題或壓軸題，幫助大家在考場中從容應對各種型別的壓軸題，爭取拿到關鍵的分數！

學數學沒有捷徑可走，保證做題的數量和質量是學好數學的必經之路。

（1）如何保證數量？

① 選準一本與教材同步的輔導書或練習冊。

② 做完一節的全部練習後，對照答案進行批改。

④ 每天保證1小時左右的練習時間。

（2）如何保證質量？

① 題不在多，而在於精。充分理解題意，注意對整個問題的轉譯，深化對題中某個條件的認識；看看與哪些數學基礎知識相聯絡，有沒有出現一些新的功能或用途？

② 落實：不僅要落實思維過程，而且要落實解答過程。

解題是一種有邏輯有計劃的理性活動，正如蓋房之前要設計圖紙，解題之前要先分析、判斷、選擇、規劃，然後再具體實施。

例1．（2019•濟南中考）小圓同學對圖形旋轉前後的線段之間、角之間的關係進行了拓展探究．

（一）猜測探究

在△ABC中，AB＝AC，M是平面內任意一點，將線段AM繞點A按順時針方向旋轉與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連線NB．

（1）如圖1，若M是線段BC上的任意一點，請直接寫出∠NAB與∠MAC的數量關係是　 　，NB與MC的數量關係是　 　；

（2）如圖2，點E是AB延長線上點，若M是∠CBE內部射線BD上任意一點，連線MC，（1）中結論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．

（二）拓展應用

如圖3，在△A₁B₁C₁中，A₁B₁＝8，∠A₁B₁C₁＝60°，∠B₁A₁C₁＝75°，P是B₁C₁上的任意點，連線A₁P，將A₁P繞點A₁按順時針方向旋轉75°，得到線段A₁Q，連線B₁Q．求線段B₁Q長度的最小值．

【解析】本題屬於幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，解直角三角形，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會新增常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用垂線段最短解決最值問題，屬於中考壓軸題．

（一）①結論：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．根據SAS證明△NAB≌△MAC即可．

②①中結論仍然成立．證明方法類似．

（二）如圖3中，在A₁C₁上擷取A₁N＝A₁B₁，連線PN，作NH⊥B₁C₁於H，作A₁M⊥B₁C₁於M．理由全等三角形的性質證明B₁Q＝PN，推出當PN的值最小時，QB₁的值最小，求出HN的值即可解決問題．

解題固然需要嘗試摸索，但不能隨機地盲目地進行，而應在系統思維策略方法的指引下有邏輯有計劃地開展。

據觀察，相當多的學生解題活動是一種隨機事件，他們做題前的思考是膚淺無序的，大多是先搜尋記憶，模仿印象中現成經驗，若無現成經驗，則憑感覺盲目嘗試，理性程度較低。

筆者認為，除了知識學習應該系統化、結構化，以便於理解、記憶、檢索，問題解決也應該形成一套自洽的完整系統，以能夠隨機應變地破解形式各異難度不同的問題，使解題從隨機事件變成必然事件。只要有了科學合理的系統化思維方法，問題的解決只是時間問題，不至於遇到陌生問題一籌莫展止步不前。

縱觀全國各地的中考數學試卷，數學綜合題關鍵是第22題和23題，我們不妨把它分為函式型綜合題和幾何型綜合題。這是學生們往往想不到或不知怎麼想熟悉問題關鍵所在。

（一）函式型綜合題

是先給定直角座標系和幾何圖形，求（已知）函式的解析式（即在求解前已知函式的型別），然後進行圖形的研究，求點的座標或研究圖形的某些性質。

初中已知函式有：

①一次函式（包括正比例函式）和常值函式，它們所對應的影象是直線；

②反比例函式，它所對應的影象是雙曲線；

（二）幾何型綜合題

先給定幾何圖形，根據已知條件進行計算，然後有動點（或動線段）運動，對應產生線段、面積等的變化，求對應的（未知）函式的解析式(即在沒有求出之前不知道函式解析式的形式是什麼)和求函式的定義域，最後根據所求的函式關係進行探索研究，一般有：

在什麼條件下圖形是等腰三角形、直角三角形、四邊形是菱形、梯形等或探索兩個三角形滿足什麼條件相似等或探究線段之間的位置關係等或探索麵積之間滿足一定關係求x的值等和直線（圓）與圓的相切時求自變數的值等。

求未知函式解析式的關鍵是列出包含自變數和因變數之間的等量關係（即列出含有x、y的方程），變形寫成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和複合法（列出含有x和y和第三個變數的方程，然後求出第三個變數和x之間的函式關係式，代入消去第三個變數，得到y＝f（x）的形式），當然還有引數法，這個已超出初中數學教學要求。

找等量關係的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等方法。求定義域主要是尋找圖形的特殊位置（極限位置）和根據解析式求解。而最後的探索問題千變萬化，但少不了對圖形的分析和研究，用幾何和代數的方法求出x的值。

例2．（2019•興安盟中考題）如圖，在▱OABC中，A、C兩點的座標分別為（4，0）、（﹣2，3），拋物線W經過O、A、C三點，點D是拋物線W的頂點．

（1）求拋物線W的函式解析式及頂點D的座標；

（2）將拋物線W和▱OABC同時先向右平移4個單位長度，再向下平移m（0＜m＜3）個單位長度，得到拋物線W1和□O1A1B1C1，在向下平移過程中，O1C1與x軸交於點H，▱O1A1B1C1與▱OABC重疊部分的面積記為S，試探究：當m為何值時，S有最大值，並求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取最大值時，設此時拋物線W1的頂點為F，若點M是x軸上的動點，點N是拋物線W1上的動點，是否存在這樣的點M、N，使以D、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M的座標；若不存在，請說明理由．

【解析】主要考查了二次函式的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的座標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關係．

解答壓軸題策略應該瞭解一下

在心中一定要給壓軸題或幾個“難點”一個時間上的限制，如果超過你設定的上限，必須要停止，回頭認真檢查前面的題，儘量要保證選擇、填空萬無一失，前面的解答題儘可能的檢查一遍。

（二）解數學壓軸題做一問是一問

第一問對絕大多數同學來說，不是問題；如果第一小問不會解，切忌不可輕易放棄第二小問。過程會多少寫多少，因為數學解答題是按步驟給分的，字跡要工整，佈局要合理；儘量多用幾何知識，少用代數計算，儘量用三角函式，少在直角三角形中使用相似三角形的性質。

英國著名思想家培根說過：數學是思維的體操，問題是數學的心臟。教育心理學也認為：思維是認知的核心成分，思維的發展水平決定著整個知識系統的結構和功能。因此，提高數學思維品質，培養數學思維靈活性，對學好高中數學具有十分重大的意義。

每個會學習的學生都會有。最好再加個“好題本”。發現許多同學沒有錯題本，或者是隻做不用。這樣學習效果都不好。正確認識網路課程和課外書籍，是副食，是幫助吸收的良藥，絕對不是課堂學習的替代品。

對於數學學科來說，不練等於沒學。根據艾賓浩斯的遺忘曲線，即時鞏固很有必要。同學們可以把即時鞏固當成一次自測，以此檢測當堂課的學習效果。

一個專題學習結束，即使老師不要求，也要自己創造條件做一次限時測試，目的是要查詢一下階段性學習的弱點，並加以強化彌補。彌補弱點是想突破弱點。實踐證明，不瞭解自己學情的學生，即使很努力，成績往往也都不太理想。強化弱點的方法就是採用多輪次、大劑量、多角度的針對性強化練習，直至打通知識學習中的“梗阻”環節，以托住知識和能力的底兒。在彌補弱點的過程中要系統梳理、總結規律、提煉方法，為後續學習積累經驗。具有科思想和方法的指導，才站得高，才能看得遠。

今年的寒假太特殊，對畢業年級的同學們也是一個史無前例的挑戰，有人已經斷言，開學後，自覺性強、習慣好的學生會更優秀，自律性差的、離不開大人監管的學生會更讓人擔憂，這話不無道理。

現在我小孩上四年級，這他做題真是著急啊，但我也不會直接告訴他解法，反覆啟發，我相信自己做一道題，比別人教你100都有用。至少有三點吧，一是會做的題不會舉一反三。比如題目已知ab求c你會了，那麼換過來，bca呢，cba呢，要主動去想，去嘗試。二是基本功，基本功不僅在於你知道很多公式，還要知道公式是怎麼來的，哪些地方可以用，像搭積木一樣。還有就是方法論，這個要根據年齡和題目的量，怎麼把一個看似複雜的，大型的題目，拆解成一些簡單的，而又相互關聯的，自己熟悉的小題目，一步一步來解決。題目要多做，但要強調型別與變化，只更換數字的題就沒啥價值，不怕在一道題上花很多時間，哪怕幾小時，甚至幾天。我自己當初有道題，3人住旅館25塊，最後找不到2塊錢，前後花了一年多才想通。

這句話有道理，也沒道理。用一句俗話說就是會者不難難者不會。這個東西就和賺錢是一樣的，不會賺錢的累死累活一年賺幾萬塊，會賺錢的說先定個小目標一個億。

學習也是同樣的道理。這句話本身沒毛病，就拿高中數學來說，基本上可能就圓錐曲線題目的計算量比較大，這種叫做想出來不一定能做出來，其他題目所謂的簡單題和難題無非就是看多少個知識點揉在一起，簡單的知識點少一點，難一些的用的知識點多，一個沒想到就短路了。但是說這句話的人有點故弄玄虛了，為什麼？

這句話表面來看就好像你腦子笨所以想不到，我腦子聰明，所以想的很清楚。我和你說，這個是純扯淡。

我說一下我自己的經歷。我初中考高中是班級第一名考進去的。這時候我的學習方法很簡單，就是沒有學習方法，真的是上課聽聽課，做做老師佈置的作業就可以了。但是我進入高中之後高一的成績就變得很不好，是我腦子不好嗎。當然不是，是因為我在高中還是延續初中的學習習慣，這樣是不行的。為什麼？因為高中考試延伸性更強，綜合性更強。後來我也是痛定思痛，高二開始正式進入高中學習模式，高二半年下來成績就有了質的飛躍，尤其數學，後面高二高三基本都在140左右。那麼問題來了，人還是這個人，為什麼之前想不到後面就隨便想了呢，是學習方法和學習態度的轉變。

我簡單總結下我的學習方法，不一定每個人適用，但對於大部分人適用。首先，學數學重要培養三個能力。

第一，整理知識框架，在腦子裡形成知識框架圖。這個怎麼做呢？可以整理知識點，對應題型，對應解題方法，解題方法越多越好。怎麼整理呢，一會上圖。

第二，培養邏輯思維能力。這個聽起來有點玄乎了？什麼叫培養邏輯思維能力。就是多思考。思考什麼呢？不是去背，是思考為什麼。久而久之，你會發現遲鈍的大腦開竅了，學起來也輕鬆了。

第三，就是計算能力。計算能力對高中數學非常重要，為什麼？高中數學計算量大啊。尤其是圓錐曲線，做完退掉一層皮。怎麼提高呢，多做題。

第四，空間想象能力不好的要多培養一下，因為有立體幾何啊，而且分值還不低。

做好以上幾點，數學學不好找我來說理。

看到這個問題的時候就想，難道不是所有的課程都這樣嗎？只是數學這門考試更為突出，一般的數學題，學習成績好的，一看就知道解題思路，思路有了，然後接下來就只剩下計算過程了。而數學成績不好的學生，碰到一道題，有時候腦袋抓破也想不到應該用什麼方法來解題，真是應了那句話”會者不難，難者不會“。

為什麼會出現這種情況？

一般來說，考試過程中不會解題，或者想不到解題方法，都是平時的知識儲備不足，典型的書到用時方恨少。現在的中學數學，單純地考一個知識的題目少了，稍微難一點的題目，都會將好幾個知識點夾雜在一起來考查，這樣既能考查學生對所有知識點的掌握，又能考查學生對知識點的靈活運用以及各知識點之間關係的理解。

很顯然，這種題目要能夠順利搞定，至少一點就是要掌握所有的知識點，以及知識點之間的融會貫通。稍微有一知識點出現卡殼，可能就丟分了。

高中數學中，綜合性最強的題型莫過於圓錐曲線了，相信很多學生最怕的就是這種題，而且最容易出現在壓軸題上，就是因為它考查的知識點比較多，綜合性非常強，而且計算量還非常大。圓錐曲線包括橢圓、雙曲線、拋物線等，不同的曲線的概念、性質等完全不同，它們的標準方程、準線方程也各不一樣。如果兩條曲線放在一起考，很多學生就徹底暈菜了，非常容易出錯，哪怕是會做，也容易在某個環節中丟分。

數學學習是一門非常有意思的課程，非常靈活，同一個知識點，不同的老師完全可以變著法來考，一千個老師有一千個哈姆雷特。很多學生要是對知識點理解不透徹，只是單純記憶的話，顯然是無法應付所有的老師出題，靠刷題已經無法應對。於是，考試中經常會出現，很多考生一看題目非常熟悉，而且以前可能還做過，但就是答不上來，乾著急。

那麼，數學考試中應該如何抓住重點呢？我們來舉例說明，就是數學應用題，最普通的行程問題來舉例。

行程問題，大家應該都不陌生，可能還非常熟悉，這種問題從小學開始就有了，只是難易程度不同。行程問題裡有相遇問題、追及問題以及相背運動，不同的型別肯定是不同的解題方法。我們就說相遇問題吧，最簡單的相遇問題，當然是兩人分別從兩個不同的點出發，然後在中途相遇，不管求什麼，都能搞定，因為行程問題公式就擺在那：S=V*T。

很顯然，這種題目在中學考試中已經永遠不可能再出現了，那麼稍微變一下，可能有的同學就開始暈了，比如，還是兩人從不同的點相向而行，還沒相遇時，其中一個人有東西忘在家裡，要返回去拿，於是折回家拿東西，再向另外一個人走去。這個問題，很多人應該也見得太多了，應該也不難。

那麼如果這個問題再稍微變一下，這個行程問題可能就變複雜了。比如：

甲乙兩人同時從不同的點，勻速相向而行，出發一小時後，甲發現有東西落在家裡，於是折回家取東西，取到東西后再向乙的方向前進。取到東西后，剛從家出來5分鐘，他發現時間可能來不及了，從步行改為騎腳踏車，提高了速度。騎了10分後，他發現可能還是來不及，途中打了個電話告訴乙，請乙也從步行改為騎腳踏車，最後兩人終於相遇了。

這個行程問題顯然就非常複雜了，至少這裡面的過程就非常曲折，很多學生基本上一看，繞兩圈就頭暈了，因為題目的增加了很多變數。那麼這種問題，不管老師怎麼變著法來設定題目的過程，再怎麼增加變數，有一個是不變的，那就是行程問題的核心是不變的，那就是S=V*T是死的，抓住這個核心就行了。只不過過程變曲折了，要根據問題的需要，可以將不同的階段分開計算。

萬變不離其宗，越複雜的問題，其實原理越簡單，很多條件可能僅僅是老師設定用來迷惑學生的，抓住重點非常重要。

學數學，想要考高分，不能簡單套公式，背解題套路，套路千萬條，最後只有死路一條。很多學生都有過一個困惑，那就是平時老師經常會佈置那麼多作業，考那麼多試卷，最後中考也好，高考也罷，又不可能考到一個原題，那麼平時做那麼多有什麼意義呢？這個問題，相信很多老師在課堂上已經講過了，不再重複。

對於一箇中學生來說，參加高考之前，估計做過無數道數學題了，為什麼有的題仍然不會做或者想不到怎麼做？一個重要的理由，就是缺乏聯想能力。很多老師講解試卷的時候，經常說的一句話”這個題，我們之前是不是做過類似的？“”這個知識點，我們之前是不是做過很多練習了？“老師說得一點都沒錯，之前做過很多類似的題，但到考試時還不會，就是在考場上，碰到熟悉的知識點時，只是換了個樣子，就聯想不到曾經熟悉的樣子。

因此，要想在考試中，碰到生面孔依然可以做到應對自如，那就需要平時在練習中，經常做到”一題多解“，積極培養自己的發散思維，不要死板硬套。把數學學活才是學好數學的真諦。

數學題是典型的考察邏輯思維的載體，很多時候不是提取知識，而是透過你的數學思想去運用知識或者方法，很多時候你缺乏自己的解題策略，或者解題策略不夠靈活！其實數學題是思考解構的過程，面對問題，思考問題，最終解決問題，正式體現了孩子數學的真正實力，知識點靠理解記憶，方法靠反覆練習，而思想靠領悟，這也是數學思維水平高低的體現。從宏觀角度看，多思路合情推理找方向，嚴謹推理定結論，二者缺一不可。

舉個實際例子，王老師分享了很多趣味數學思維啟智題，很多粉絲家長第一反應先要解析，答案。這樣我覺得是一種思維偷懶行為，不去嘗試，不經歷思考過程，是無法昇華你的思維，更無法體會到數學解題的樂趣。

沒有學習興趣，無法產生獲得感，頓悟感，數學學起來會有些累。

以小學應用題舉例來講吧！即使你知道這麼做，我還是建議我的學員想想還有沒有其他方法可以解決問題。至於為什麼想不到這麼做，原因還是很多的。

① 點線圖表是有效的解題思維工具

合情推理找方向，方向不對，就從另一個角度出發，這就要求思維要靈活，再拿應用題來講，我教學生應用題解題策略從不記憶數量關係公式，而是給他思考的工具，有了思考的工具就會去嘗試，其實也是解構的一種模型。也就是有了嘗試的方向。

比如我用方塊圖來表示應用題的各種數量，透過直觀圖示輔助去理解題意，這樣其實是把抽象的問題具象化，利用點線圖表這些工具來解題比死記硬背解題套路公式更靈活。更容易接近這道題想要告訴你的數量關係本質。下面列舉例項應用，選自我的趣味數學專欄。

② 歸納轉化的思想

數學題不像記憶一首語文古詩，反覆朗誦就能記住。數學題的魅力就在於題型千變萬化，你永遠做不完數學題目型別。所以這就要求我們多總結已學知識，多總結巧妙地解題策略，多思路，多角度去思考，透過化繁為簡，透過新舊轉化去關聯，類比，歸納，假設，遷移。任何知識不都是這樣地學習過程嗎？數學提升不是你看答案會做了多少題目，而是你透過一類題目成功破解另一類新題型，也就是終極地“舉一反三”。

數學是透過掌握基本的概念，法則，結論和方法，運用數學分類，歸納，關聯，化歸，逆向，極端原理，對稱原理，最最佳化思想，數學建模等等的思想去解決實際問題，本身是思考，分析，檢驗，反思，接受，到昇華的複雜過程。然而思考是必須的，不能掠過。

學習更多好玩有趣的數學學習方法。