複數包括實數和虛數，這些無盡的數字，它們看上去空洞無物，十分抽象；聽起來又虛無飄渺，神出鬼沒，讓人難以留下印象，可是它們又都十分重要，與我們的生活密切相關。因此我們必須想方設法，讓它們真實地呈現在我們的面前或腦海中。於是我們利用數軸上的點，拋物線上的點，雙曲線上的點，直角座標系中的點，平面向量圖，空間向量圖，各種函式"圖象，等"等來表示它們，使它們各有空間定位，各有圖象表示，就象我們看到北斗星座，獅子座，雙魚座、獵手座……讓這些數字(複數)各居各位，聽令調遣！也象中藥鋪裡的中藥，抽屜一拉，立即取出這位草藥，這就是複數的幾何意義。

一

表示

從自然數到整數，從整數到有理數，再到無理數，到實數都是數域的擴充套件。

數域的擴充套件是為了推廣我們對數的運算。比如減法需要我們引入負數，而開根需要我們引入無理數。

現在我們設想對-1做開根這個運算，我們假想（imagine）一個數i，這是一個純虛數（imaginary number），使得i的平方等於-1。

這樣我們的數域就由實數域擴充套件到了複數域（z），我們定義任意一個複數為：

這裡x和y都是實數，上式具有明顯的幾何意義，即我們可以把z表示為xy平面上的一點，或我們可以把z表示為一個二維的向量，這個向量就是一個復向量。

有了複數的定義後，我們很容易得到很多漂亮的數學形式，比如我們可以定義一個指數函式：

等式右側，我們對指數函式進行了級數展開，我們把這些級數展開的項分別整理為實數的部分和虛數的部分。

這就導致了一個重要的關係：

這意味著復向量有個明確的幾何含義，假設單位向量1，最初是在x軸上的，現在我們讓這個單位向量圍繞原點按逆時針旋轉角度θ，這樣的操作就可以表示為用e指數函式相乘。

兩個連續的e指數函式相乘，意味著連續的轉動，

如果我們分別在等式左右兩側展開的話，按照實部與實部相等，虛部與虛部相等的條件，我們將得到三角函式和差化積的公式。

引入虛數後，求解微分方程也更快捷了。

比如：

這樣的微分方程，它的解是：

通解是以上兩個解的線性疊加：

這在形式上比寫成三角函式要簡潔方便。

複數(Complex)作為實數的拓展歷史悠久, 一度曾被叫做子虛烏有的數(imaginary), 直到十八世紀初經過棣莫弗及尤拉大力推動, 才被數學家們漸漸接受.

確實理解複數確實需要一點時間, 不過它並不複雜, 而且利用它還能畫出非常美麗的變換和分形圖形, 這次讓我們用圖形視覺化的方式來擁抱這個概念.

先來看看在實數軸上兩個數的加減乘除這 4 種運算. 觀察到紅藍兩個點(數), 在不同的計算下, 其結果(綠點)的變化, 不管數怎樣變化, 都總還落在數軸上(除法分母為 0 時候, 當然沒有意義).

再來看下圖中, 任何實數乘以 -1 的結果都會落在關於原點對稱相應的位置上. 所以乘以 -1 的計算可以理解為該點(數)繞著原點旋轉了半圈.

數學家進一步思考, 既然乘以 -1 是轉動 180°, 那麼只轉動了 90° (比如整數 1 )落在哪裡? 有什麼意義呢?

這是19世紀數學史上非常重要的一步, 現在不在是在一維的實數軸上, 而是進入了二維的複平面.

考慮到轉動兩個 90° 會剛好到 -1. 所以認為 -1 的平方根是相應於 1 的一個 90度的旋轉(也就是 1*i*i=-1), 這樣在平面上與實數軸垂直的單位線段, 稱為是 1 個虛數單位 i . 於是有著性質:

這個沒在實數軸上奇怪的點實際上落在複數平面(complex plane, 或稱為阿爾岡平面)上了, 所有在複平面上的數都滿足 z=a+b i 這樣的結構, 稱之為複數. 其中a 稱為實部(real part), b 為虛部(imaginary part). 如下圖 1+2i 複數, 1 和 2 是實數, i 是虛數單位, 這樣的複平面幾何表示如下圖所示:

現在來看直角座標平面是二維的, 需要兩個數(x,y)來描述任意一點的位置, 但現在用一個複數就夠了, 可以用實陣列(a,b)代表這個複數, 並且可以在複平面上繪製出來. 不過請記住這裡應該將每個這樣的點看做一個複數, 而不是一對實數.

還有三個新概念需要知曉:

複數的模(modulus, 通常寫為 |z|) : 模就是它長度 r: 從原點到 z 點之間的距離

輻角(argument, 通常寫為 arg(z)): 輻角 φ 就是與實軸的夾角

複數的共軛(conjugate,通常寫為 ¯z): 共軛就是 a-b i 的形式

觀察下圖可以更好理解上述三個概念:

複數有如何運算, 比如可以兩兩相加, 也就是兩個複數實部和虛部分別對應相加, 可以看成是平移的操作.

複數也可以有數乘運算, 就是對模的放大或縮小了:

複數的乘法, 就如上面所述, 數乘以 i 相當於這個轉動 90°:

z1*z2 兩個複數相乘其實就是旋轉+伸縮兩種變換, 也就是兩個複數的模相乘(伸縮大小), 輻角相加(旋轉量).

如果對圖片中的每一點做複數運算的變換, 可以得到各種有趣的平面變換影象. 這裡為了紀念尤拉大神, 就以他老人家頭像為例, 比如做乘以 2 i 的函式變換 - 旋轉 90°, 同時放大了2 倍的變換; 另一個變換函式為三次方, 你也可以思考為什麼會變成這個形狀呢? :-)　

複平面內的點可以轉成極座標(不清楚可檢視這裡)的形式 (r,θ), 那麼該點所表示的複數是什麼呢？可用 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 來轉化到笛卡爾座標. 所以極座標 (r, θ) 表示複數

z = x + iy = r cos(θ) + i r sin(θ).

特別的, 如果 r = 1, 則 z = cos(θ) + i sin(θ).

形如 r e^(i θ) 的複數為極座標形式, 並且與之相對的 x+iy 為笛卡爾形式. 1743 年, 瑞士數學家尤拉給出了著名的尤拉公式, 對所有實數 θ 都成立:

特別當 θ=π 時，尤拉公式的特殊形式更是被評為數學上最美的公式:

這個簡潔公式包括了 5 個數學上最重要的常數: 0, 1(自然數的基本單位), e(描述變化率的自然指數), π 以及 i(虛數的基本單位).

我們可以很快用幾何的方法來證明該等式, 觀察下圖不同的 θ 值對應的極座標 e^θ, 請留意動畫停頓之處(特別是在複平面旋轉角度為 180°, 點落到等於 -1 的時刻), 相信就會理解上面的尤拉等式:

參考資料:

阿德里安·班納, 《普林斯頓微積分讀本》(修訂版)

https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/

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