我覺得微積分的難點是，在應用微積分解決問題時如何建立起微分的關係式。比如用微積分匯出圓面積的公式，就得先確定建立什麼樣的微積分的關係式，一旦合理的關係式確定，很快就能得出結果。

對於初學微積分的人來說，最難的就是開頭，俗話說得好，萬事開頭難！開頭就是極限、無窮小的抽象概念，難以理解。當初，連微積分的創始人牛頓和萊布尼茲都說不清楚，後經貝努裡家族，尤拉，柯西等人的努力才逐漸完善的。微積分是初等數學與高等數學的分水嶺。

那麼，微積分的發展遇到的最大困難和最大挑戰是什麼呢？答案是：高維非線性問題！

現代數學派系林立，分支繁多，但幾乎都是建立在微積分的基礎之上，並以函式和微積分的思想為主線而拓展的。牛頓的數理思想就是未來唯一確定論：由初始條件和邊界條件就可以推出事物發展的全部細節。這個思想由拉普拉斯直言不諱發揮到極致。牛頓的絕對時空觀雖然在物理方面率先由愛因斯坦的相對論和玻爾、薛定諤、海森堡、狄拉克等人的量子力學所打破，但在數學上，這個僵局還遲遲未打破。這個最大的困難就是高維非線性微分方程的求解！這不僅是微積分的最大困難，也是目前數學陷入的最大困境，人類智慧遇到的最大挑戰！非線性問題就像一堵牆擋在數學家前進的路上，從最古老的三體問題，到流體動力學N-S方程，再到愛因斯坦的廣義相對論方程，等等，只要是非線性的，人類都難以突破。就像曲線比直線更種類繁多一樣，非線性問題比線性問題要多的多！

其實，牛頓發明了微積分不久，就認識到三體問題的重要性，併為此耗費了畢生的精力卻勞而無功！使他陷入了求助上帝的絕望之中，一代巨匠啊，多麼痛苦多麼遺憾！希望之火熄滅了！後來，拉格朗日在尤拉限定平面的基礎上且有一顆星體質量很小時解出了五個平凡解，即五個拉格朗日點，人們又燃起了求解三體問題的希望。於是，又一位數學大師龐加萊知難而上，也為此耗費了畢生的精力，得出無解析解的悲觀結論，好在獲得了王室的一個安慰獎。希望之火再次熄滅。直到目前，利用計算機數值近似計算也只得到三體問題的十三組複雜的特解。

看來，人類要攻克非線性難關，任重而道遠。

微積分是個非常廣泛的概念，它最早由牛頓、萊布尼茲創立，但是初始階段的微積分邏輯基礎非常不嚴格，也因此受到很多人的責難。後來波爾查諾(Bolzano)、柯西(Cauchy)、黎曼(Riemann)、戴德金(Dedekind)、魏爾斯特拉斯(Weierstrass)等人的不斷髮展和完善，最終形成了一整套邏輯嚴密，且應用廣泛、威力無窮的數學理論和方法。

因此，微積分包含的內容龐雜，不同專業的學生所接觸到的微積分的層次也是不一樣的，按照目前國內大學的教學體系，總共可以分為四個層次：

1、經濟管理等偏文科的專業，學生所生的課程名字就叫做《微積分》，內容比較淺顯。

2、理工科非數學專業，學習的課程是《高等數學》，包含的內容比微積分要廣一些，但是仍然比較淺顯，主要以計算為主。

3、數學專業的學生，學習《數學分析》，內容和高等數學差不多，但是更偏重於原理的證明。

4、數學專業高層次的本科生或研究生，學習的課程叫《實分析》（國內一般從《實變函式》學起），這個是真正的微積分的原理，從最基礎的概念開始按照嚴格的邏輯建立微積分的理論，並且在此基礎上進行發展。

針對不同層次的學生，我來說一些我認為的最難的部分。

1、《微積分》，這是最為最簡單的微積分，並不要求對概念有深入的理解，甚至都不會學習極限、連續等概念的嚴格定義，學生只需要停留在利用公式進行計算的程度即可，那麼所有公式裡面最難的是哪個呢？我認為是泰勒公式，先不說它的意思，先看看它長什麼樣子：

一個公式要佔滿一整行，從小學到大學接觸的所有數學公式中，泰勒公式應該是絕無僅有了吧。首先從長度上這個公式就會把不少人嚇得瑟瑟發抖，而要理解它更是難上加難，很多人即使學完了整個微積分課程也不知道泰勒公式到底是個啥，以及為什麼會有這麼一個令人抓狂的式子出現。而從做題的角度來講，公式中x0的不確定性以及n的不確定性給學生解題帶來巨大的困難，泰勒公式配合另外一個神公式——拉格朗日中值定理，可以組合出無數道天馬行空的題目來。出題人隨手寫一個函式，利用上面兩個神公式推出一個恆等式，學生需要從這個稀奇古怪的恆等式出發反過來自己構造出原來那個函式，毫無章法可循，只能說能夠解出題目來完全要憑運氣而非智商。

2、《高等數學》，高等數學算是比較正式的微積分，從最開始的極限概念，逐漸講到以極限為基礎的微分和積分，以及由此發展出的級數和微分方程的理論，而恰恰極限的概念是最難以理解的內容。國內層次好的高中就會講到極限的概念，當你問一個高中生極限是什麼的時候，他或許也能縐上兩句，但是高中生並不能真正理解極限的概念是什麼。比如我們知道當x趨向正無窮時，1/x的極限是0，為什麼呢，高中生的解釋就是，x越來越大，那麼1/x就越來越小，越來越向0靠近，所以極限就是0。但是這種說法是非常不嚴格的，什麼叫1/x越來越向0靠近呢？既然是越來越小，那麼我要說1/x逐漸向0.00000001靠近，你又如何反駁我呢？因此，要弄清極限的概念，就必須有一個嚴格的數學定義，而高等數學就是以此作為出發點的。然而當你學習高等數學是卻會發現，即使是x趨向正無窮時1/x的極限是0這麼一個明顯的事情，如果用嚴格的數學語言敘述起來也會變得如此晦澀，數學上函式在一點的極限是這麼定義的：

這個公式可以說從根本上改變了數學學習者的三觀，ε明明是一個變化的量，但是在證明時又要把它看成是一個不變的量， δ又在隨著ε的變化而變化，而之後又要把 δ看成不變的而x在變化，光是區別證明過程中誰變誰不變就足以讓初學者焦頭爛額，還要用它來證明一些更復雜的題目，難怪學生會哭天搶地。事實上，數學家們自己也意識到這個概念過於艱深，一下子澆滅了學習者對數學的熱情。因此很多數學家試圖用更簡單的概念來代替這個定義。其中最有代表性的工作是中國的林群院士，出版有《微積分快餐》等著作，有興趣的讀者可以去細細研究。但總體來看，極限的定義是高等數學裡最困難的一個概念是沒有問題的，甚至因為他太過艱難，很多課程直接跳過這一部分內容。

3、《數學分析》，數學分析是真正的微積分的原理，他對高等數學中的所有概念和定理都進行了原理性的證明，因而更加抽象和難懂。上面提到的極限的定義，只是數學分析裡面最基礎的一個定義而已，而最難的一部分，大家公認的就是實數的完備性及其相互證明。先看一下實數的完備性的內容：

我們從小學數數開始就接觸實數，到中學後就有了實數的概念，我們認為實數的概念是那麼自然，但是誰能想到，我們習慣的實數竟然喊能搞出這麼多么蛾子來！上面每一條定理都在描述實數的性質，但是每一條都讓人看得雲裡霧裡，僅僅弄明白它說的是什麼意思以及為什麼要這樣說就需要花上數年的時間去體會。這七條定理都是等價的，也就是說可以互相證明，那麼理論上說就可以衍生出42種證明，其中每一種證明都足以讓學生花幾個小時去理解。甚至有不少人將完成這42個證明當成訓練自己大腦的一門功課。

4、《實分析》，實分析是不僅是微積分的基礎，甚至是數學的基礎，除去哲學上的討論，他從最根本的意義上回答了實數是什麼的問題。因此我認為，實數的構造理論是實分析裡面最難的內容。數學分析裡面讓人詰屈聱牙的完備性定理，實際上只是實數構造的衍生品而已。我們初中就知道根號2是個無理數，那麼到底什麼是無理數呢，他是一個無限不迴圈小數，那麼既然不迴圈了我們怎麼還能表示出他來呢。從古希臘希帕索斯發現根號2以來，無數才華卓越的數學家們奮鬥了兩千多年才認識到根號2的本質。實數的定義有很多種形式，其中最著名的就是戴德金分割：

初學者根本看不出來這都東西和我們熟悉的根號2、根號3或者1,2,3，1/2,1/3這些有什麼關係，但它實實在在就是實數的定義。當然，要理解這個定義還不是很困難，但是要以此定義為基礎建立對整個數學體系的認識則是需要多年的努力才行！