量子力學描述物質世界的基本方式是這樣的，發生在空間中的任何一個事件或過程都有一個機率與其對應。這個機率P可由一個複數ψ給出，ψ是一個希爾伯特空間中的向量，叫作機率幅，它的具體數學函式就是波函式。這幾個概念的關係總結如下：
1、P代表機率，ψ代表機率幅，幾何上它是一個向量，代數上它是一個關於時空的函式，並且是一個複數，即波函式。
2、P=│ψ│²。
3、當一個事件由幾個可能的並列分支構成時，這一事件的機率幅就是這些分支的機率幅的總和。即ψ=ψ1+ψ2+...，P=│ψ1+ψ2+...│²。
4、當一個事件由若干相繼的步驟構成時，這一事件的機率幅就是這些步驟的機率幅的乘積。
5、當一個多分支事件發生時，如果能夠確切地知道經歷了哪一個分支，該事件的機率就是這幾個分支機率的和。即P=P1+P2+...。
機率幅的代數表示就是物質波的波函式，這個波不是我們熟悉的機械波或電磁波，甚至可能根本就不是什麼波，而僅僅是對其行為的數學描述與波的數學相同而已。波函式本身並不重要，其價值在於，它的模平方代表事件的機率。
再看幾個量子力學的重要概念：
1、物理量，如果某物件的狀態可以用一類屬性相同的數值來標誌，那麼這個標誌就是描述該物件相應於這個狀態的物理量。例如，從電子槍發射的電子落到膠片上會形成一個小黑點，這相當於對電子進行了測量，透過大量觀察，總有一些電子對應的黑點出現在相同的位置上，我們說這些電子具有相同的狀態，該狀態由黑點的位置標誌，那麼位置就是量子力學中的物理量。量子力學還有其它的物理量，比如，能量，動量，角動量等。值得注意的是，量子力學中的一組物理量，遠非能夠同時具有確定的數值。典型的，位置和動量就不能同時具有確定的數值。
2、本徵態和本徵值，描述物件的狀態有兩類，佔絕大多數的一類狀態的特徵是，如果物件處於該狀態，那麼對物件的每一次測量得到的結果可能是不同的，這種不同並非由測量技術和條件所導致，即使你做了最精心的安排和細緻的觀測，你都無法保證得到相同的結果。因為這種差別來自於物件自身的屬性。另一類狀態則相反，物件一旦處於該狀態，每一次對物件的測量都會得到相同的數值，那麼這個狀態就叫作物件相應於某物理量的本徵態，所得的測量值叫作這個本徵態的本徵值。本徵態的數量雖然較少，但在量子力學中卻具有極其重要的地位。
3、態的疊加原理，某個物理量的所有本徵態構成了一個完全集，即希爾伯特空間的一組法正交基，物件的任何狀態都可以表示成這些本徵態的線性組合。從幾何上理解就是，任意態都對應一個向量，該向量可以分解為若干個基本正交向量的和。每一次測量就相當於將向量向某個基矢做了一次投影，所獲的測量值只能是所有本徵值之一。實際上在量子力學中某一個單次測量的結果意義並不重要，多次測量的平均結果才更能反映物件的行為特徵。
瞭解了這些觀念，再看看量子力學如何描述運動。對運動的描述離不開速度，在量子力學中沒有瞬時速度概念，其速度的含義是，把一段時間中物件的位置平均值記為<x1>，另一段時間內的位置平均值記為<x2>，這兩段時間的間隔為Δt，那麼速度就是(<x2>－<x1>)/Δt。實際上相當於平均速度。當我們考察問題的精細程度越低，這個速度就越接近於經典意義上的速度。相反精細程度越高，這個速度就越喪失了意義。
經典力學允許同時使用位置和速度刻畫物件的運動特性，而量子力學則不能。所以量子力學對運動的刻畫就不如經典力學詳盡。經典力學原則上可以根據當前所掌握的資料精確地預測物件未來的運動狀態，而量子力學做不到這一點。這個意思是說，某物件在t0時刻的狀態是ψ0，在下一時刻，物件的狀態可能發展成ψ1，也可能是ψ2，ψ3...中的任何一個。我們僅憑所掌握的ψ0這個初始資訊不足以預料出物件在下一時刻究竟會發展成具體哪一個狀態，而只能預測出物件可能發展成某一狀態的機率，僅此而已。這就是量子力學和經典力學在認識世界觀念上的根本差別。
量子力學描述物質世界的基本方式是這樣的，發生在空間中的任何一個事件或過程都有一個機率與其對應。這個機率P可由一個複數ψ給出，ψ是一個希爾伯特空間中的向量，叫作機率幅，它的具體數學函式就是波函式。這幾個概念的關係總結如下：
1、P代表機率，ψ代表機率幅，幾何上它是一個向量，代數上它是一個關於時空的函式，並且是一個複數，即波函式。
2、P=│ψ│²。
3、當一個事件由幾個可能的並列分支構成時，這一事件的機率幅就是這些分支的機率幅的總和。即ψ=ψ1+ψ2+...，P=│ψ1+ψ2+...│²。
4、當一個事件由若干相繼的步驟構成時，這一事件的機率幅就是這些步驟的機率幅的乘積。
5、當一個多分支事件發生時，如果能夠確切地知道經歷了哪一個分支，該事件的機率就是這幾個分支機率的和。即P=P1+P2+...。
機率幅的代數表示就是物質波的波函式，這個波不是我們熟悉的機械波或電磁波，甚至可能根本就不是什麼波，而僅僅是對其行為的數學描述與波的數學相同而已。波函式本身並不重要，其價值在於，它的模平方代表事件的機率。
再看幾個量子力學的重要概念：
1、物理量，如果某物件的狀態可以用一類屬性相同的數值來標誌，那麼這個標誌就是描述該物件相應於這個狀態的物理量。例如，從電子槍發射的電子落到膠片上會形成一個小黑點，這相當於對電子進行了測量，透過大量觀察，總有一些電子對應的黑點出現在相同的位置上，我們說這些電子具有相同的狀態，該狀態由黑點的位置標誌，那麼位置就是量子力學中的物理量。量子力學還有其它的物理量，比如，能量，動量，角動量等。值得注意的是，量子力學中的一組物理量，遠非能夠同時具有確定的數值。典型的，位置和動量就不能同時具有確定的數值。
2、本徵態和本徵值，描述物件的狀態有兩類，佔絕大多數的一類狀態的特徵是，如果物件處於該狀態，那麼對物件的每一次測量得到的結果可能是不同的，這種不同並非由測量技術和條件所導致，即使你做了最精心的安排和細緻的觀測，你都無法保證得到相同的結果。因為這種差別來自於物件自身的屬性。另一類狀態則相反，物件一旦處於該狀態，每一次對物件的測量都會得到相同的數值，那麼這個狀態就叫作物件相應於某物理量的本徵態，所得的測量值叫作這個本徵態的本徵值。本徵態的數量雖然較少，但在量子力學中卻具有極其重要的地位。
3、態的疊加原理，某個物理量的所有本徵態構成了一個完全集，即希爾伯特空間的一組法正交基，物件的任何狀態都可以表示成這些本徵態的線性組合。從幾何上理解就是，任意態都對應一個向量，該向量可以分解為若干個基本正交向量的和。每一次測量就相當於將向量向某個基矢做了一次投影，所獲的測量值只能是所有本徵值之一。實際上在量子力學中某一個單次測量的結果意義並不重要，多次測量的平均結果才更能反映物件的行為特徵。
瞭解了這些觀念，再看看量子力學如何描述運動。對運動的描述離不開速度，在量子力學中沒有瞬時速度概念，其速度的含義是，把一段時間中物件的位置平均值記為<x1>，另一段時間內的位置平均值記為<x2>，這兩段時間的間隔為Δt，那麼速度就是(<x2>－<x1>)/Δt。實際上相當於平均速度。當我們考察問題的精細程度越低，這個速度就越接近於經典意義上的速度。相反精細程度越高，這個速度就越喪失了意義。
經典力學允許同時使用位置和速度刻畫物件的運動特性，而量子力學則不能。所以量子力學對運動的刻畫就不如經典力學詳盡。經典力學原則上可以根據當前所掌握的資料精確地預測物件未來的運動狀態，而量子力學做不到這一點。這個意思是說，某物件在t0時刻的狀態是ψ0，在下一時刻，物件的狀態可能發展成ψ1，也可能是ψ2，ψ3...中的任何一個。我們僅憑所掌握的ψ0這個初始資訊不足以預料出物件在下一時刻究竟會發展成具體哪一個狀態，而只能預測出物件可能發展成某一狀態的機率，僅此而已。這就是量子力學和經典力學在認識世界觀念上的根本差別。