存在。不僅存在，而且還可以是有界的閉圖形（以下簡稱緊圖形）。

無界圖形的答案感覺差強人意，這隻能說是讓圖形失去外表面，而不是讓圖形真正的擁有有限表面積。

的確在三維空間裡固定體積的緊圖形中球體的表面積最小，在四維空間裡固定超體積的緊圖形應該也是超球的體積最小（證明據說複雜無比）。因此，當一個圖形表面積確定時，它的體積總無法超過相同表面積的球體，因此是有界的。但是注意到這裡其實有一個前提條件：限定圖形的維度與空間的維度相同。一旦解除這個限定條件，球體的表面積就不再是“三維緊圖形”中最小的了。

人類能想象到的最大空間是三維，所以首先從三維空間裡找靈感。這時，考慮三維空間內的曲面，並分析它的面積與周長之間的關係。很容易想到，當放一個圓盤在三維空間中，再把它像吹泡泡一樣吹大時（或者簡單地說，考慮三維橢球面的上半球），圓盤的周長是不變的，但是表面積想要多大有多大：

這個方法可以沿用到任意維度，比如固定一個圖形的表面積時，只需要考慮四維中的橢球面 的上半部分（即 部分）即可。此時我們可以發現它的邊界只發生在 即 時，因此表面積就是 ，但是它的體積等於 ，與 成正比。

有一點需要說明的是，如果不把橢球面截為兩半，那麼看起來這個球面就不存在邊界了，因此它體積為正數但是周長為0.但問題在於，這樣的橢球面不同胚於真正的二維平面，因此可能有人覺得無法將這樣的圖形視為曲面。

剛才說明了在高維空間中，表面積相同的所有圖形中不存在體積最大的一個，接下來具體地構造一個表面積有限體積無限的圖形。依然是透過低維尋找靈感。考慮閉區間上的曲線，此時，曲線 在閉區間 內連續且長度無限。原因其實很簡單，只需要把各個震盪區間的頂點用折線連起來，對摺線長度求和即可。頂點列滿足 ，折線段長度為 ，因此總長度是發散的。

透過這一事實，可以預期如下的三維曲面有固定周長但面積無限：

理由是類似的，因為在靠近中間部位的時候 總是大於某一個常數，因此總可以用一個邊長固定的方塊從內部逼近從而給出曲面表面積的下界，之後問題歸結於一維的情況，並因此得出曲面表面積無限。

最後使用同樣的方法，可以得到表面積固定但體積無窮的圖形。

這個圖形是三維的，但是僅存在於四維空間（例如克萊因瓶，也是不存在於三維空間的圖形，但它區域性只是二維曲面）

最重要的一點，這些圖形都是緊的，因此它們都可以看作是實際存在的。比如說，現實世界中存在周長有限而表面積無限的物體。

至於如何確定圖形的哪些部位是“邊界”哪些部位是“內部”，只需要看它是否區域性與開球或是半球（即將開球截為兩半時得到的，半開半閉的半球）同胚即可。因此是定義良好的。