蝴蝶定理（Butterfly theorem）
如圖（來自維基百科），設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。
這是平面幾何著名的結果之一，最早是蘇格蘭數學家William Wallace 在 Gentlemen"s Mathematical Companion (1803)上提出。關於它的證明和推廣有很多，可以把中點的條件替換為弦上任意一點，得出成比例的結論（坎迪定理）；可以將圓變成任一圓錐曲線：橢圓，雙曲線，拋物線等，都具有類似的性質。
還是給出一個簡單的證明吧：
如上圖，O為圓心。作OU⊥AD,OV⊥BC，已知M為弦PQ的中點，則OM⊥PQ.
因為∠OUX=∠OMX=∠OMY=∠OVY=90°，根據四點共圓的條件，可知OUXM和OVYM分別在一個圓裡。則根據同一弦的對角相等，得到
∠AUM=∠XOM, ∠MVC=∠MOY
注意到△AMD∽△CMB，而U,V是AD和BC的中點，則△AMU∽△CMV，得到∠AUM= ∠MVC
進而推得∠XOM=∠MOY
所以MX=MY。
其他方法的證明，像解析幾何的，函式的等，可以自行百度一堆。除此之外，群論裡還有個“蝴蝶引理”（butterfly lemma）,以後再說。
蝴蝶定理（Butterfly theorem）
如圖（來自維基百科），設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。
這是平面幾何著名的結果之一，最早是蘇格蘭數學家William Wallace 在 Gentlemen"s Mathematical Companion (1803)上提出。關於它的證明和推廣有很多，可以把中點的條件替換為弦上任意一點，得出成比例的結論（坎迪定理）；可以將圓變成任一圓錐曲線：橢圓，雙曲線，拋物線等，都具有類似的性質。
還是給出一個簡單的證明吧：
如上圖，O為圓心。作OU⊥AD,OV⊥BC，已知M為弦PQ的中點，則OM⊥PQ.
因為∠OUX=∠OMX=∠OMY=∠OVY=90°，根據四點共圓的條件，可知OUXM和OVYM分別在一個圓裡。則根據同一弦的對角相等，得到
∠AUM=∠XOM, ∠MVC=∠MOY
注意到△AMD∽△CMB，而U,V是AD和BC的中點，則△AMU∽△CMV，得到∠AUM= ∠MVC
進而推得∠XOM=∠MOY
所以MX=MY。
其他方法的證明，像解析幾何的，函式的等，可以自行百度一堆。除此之外，群論裡還有個“蝴蝶引理”（butterfly lemma）,以後再說。