整數以及正整數負整數的概念相信大部分人是容易理解的，就不贅述了。這裡談談有理數與無理數。有理數是從西方翻譯而來，故理解起來有點困難。從翻譯來看，有理數其實就是“可比數”，可以表示為兩個互質整數之比的數為rational number，（若不互質則可約分）。反之則為無理數。

下面給出有理數學習中常見的一個問題。如何把無線迴圈小數表示成分數形式。

嚴格來講，無限迴圈小數涉及到極限的概念。不過這裡我們採用初中的設未知數概念幫助理解。如0.1（從1開始迴圈），設其為x，兩邊同乘10，則10x=1.1迴圈=1+x，所以x=1/9。表示完畢。其他無限迴圈小數可類似轉化為分數。

下面給出第一個無理數根號2的證明以幫助理解。

用反證法。設根號2為有理數，則根號2=p/q，p,q為互質正整數，兩邊同時平方，2=p平方/q平方，p平方=2*q平方，所以p為偶數，設p=2*m（m為整數），則（2m）平方=2q平方，所以q平方=2*m平方，所以q為偶數，至此，p，q均為偶數，與互質矛盾，所以根號2為無理數。

當我們人類伸出手指指向某個物體比如說“一個蘋果”的時候，數字1就誕生了。

一個蘋果，一個蘋果，一個蘋果……

這個動作就是數數（counting），我們可以用不同的語音來命名這些動作：

1、2、3

起初在某些部落人們甚至沒有給3以上的數字命名。他們數數的時候就是這樣：

1、2、3、很多、太多了、怎麼這麼多……

這裡我們需要的其實是一個好的“計數法”，比如10進位制，我們可以有：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、……21、22……101、102……

現在我們就得到了正整數，或者叫自然數。

對正整數，我們可以定義加法“+”，

隨便兩個正整數相加我們得到的還是正整數。

相當於我們把兩堆蘋果劃拉到一塊兒。

我們還可以定義加法的逆運算，減法“-”，

我有一些蘋果，比如m個，我從中間拿走n個，剩下m-n個蘋果，這就是減法。

但對減法而言，m和n的取值現在是有限制的，m必須大於n。

這是蘋果施加給我們的限制，假如我們把這個問題形式化，遊戲化，我們可以設想m和n都是任意正整數，

如果這樣的話，我們發現運算將不封閉了。

此時我們必須引入數字0，以及負整數。

0，正整數和負整數整體構成了整數。

我們可以把整數放在數軸上表示，原點表示0，往右移動一個單位是1，再移動一個是2……，從0出發往左移動一個單位是-1，再往左移動一個是-2……

我們發現整數在數軸上是分立的。

設想我們重複地做加法，比如2+2+2，加了三次，我們把這個操作定義為乘法，對乘法而言，任何兩個整數相乘還是整數。這很好，不需要對數的定義進行擴充。

我們現在來設想乘法的逆運算，把一個數m分成n份，每一份是m/n，這裡首先n不能是0，其次對任意的m和n，m/n不一定是整數。最簡單的把1分成2份，1/2就不落在數軸的整數的點上。

m/n也叫比，我們可以把m/n稱為合乎比例的數（rational number），這就是有理數，所謂有理數就是合乎比例的數。

現在在數軸上我們覺得就密密麻麻的了。那麼數軸上所有的點都對應一個有理數嗎？

我們在直覺上很可能會認為是，但從數學上我們很容易構造出一個特例。假設一個邊長為1的正方形，它對角線的長度就無法表示為兩個整數的比的形式。

這就是無理數（這個證明的思路是反證法，你可以假設可以，然後推出矛盾）。

我們現在就有了有理數和無理數，有理數和無理數統稱為實數，實數對應的就是數軸上的每一個點。

數的定義還可以繼續擴充，比如-1的開方可以定義為純虛數i。

你說的這些數，部分是包含關係，部分有著不同的分類，他們名字不同，根本原因在於他們有著不同的性質！這些數的發展，其實和歷史有很大關係的，就讓我來給你逐一講解。

正整數：整數的概念，是人們在生活中產生的，在原始人猿時期就學會了簡單的計數。

當人類進入文明時期後，整數的概念被擴充套件，但也僅僅限於正整數（不包括零）。

有理數：可以表示成兩個數之比的數。

當整數被擴充套件後，人們會發現整數不夠用了，比如把2個蘋果，分給3個人，就會出現非整數，這對人們來說，很容易理解也很容易處理，然後有理數出現人們的生活中。

零：最早人類是沒有零這個概念的，最早的阿拉伯數字也是沒有零的，把零正式加入運算的是印度人，中國使用零是在十三～十四世紀。

負數：比零小的數叫做負數。

負數的使用更晚些，直到17世紀，歐洲的數學家也認為負數是不合法的，而我們中華文明使用負數卻要早很多，《九章算術》裡面就有關於負數的計算，但並未得到推廣，民間基本沒有負數的使用。直到十八世紀，負數才逐步被加入計數當中。

無理數：不能表示成兩個整數之比的數。

無理數的發現，要比零和負數早很多。公元前500左右，畢達哥拉斯的一個弟子希伯索斯，發現了根號2不能表示成兩個整數之比，為此，畢達哥拉斯學派陷入恐慌，最終把希伯索斯扔進了大海，而無理數的發現，造成了第一次數學危機，一直到十八世紀，歷經2000多年這個危機才得以化解，無理數才真正被承認。

虛數：虛數是垂直於實軸的另外一維數，並定義-1的正二次開方為虛數單位，用i表示。

虛數的歷史就更有趣的了，虛數來自於三次方程的求根公式——卡爾丹公式。

人們從這個公式中，發現了虛數的價值。

複數：實數和虛陣列成的二維數就是複數。

………………

值得一提的是，無理數里面還有普通無理數和超越數之分；在康托爾超窮理論中，還有超窮數；在數論中，還有合取數，完全數等等分類，但只限於那個領域；不過超越數值得一提。

超越數：無法滿足有限的整數代數式的數。比如圓周率π，自然對數e，就無法存在於有理數係數的代數解中。

另外，在整數數域，無理數數域，甚至實數數域都是不完整的數域，因為我們利用加減乘除開方對數等運算，得到的結果會跳出這個數域，比如整數數域開方就很容易得到無理數，比如對負數開根號就跳出了實數數域。

而複數是我們使用的完整數域，在這個數域中，無論你做何種運算，得到的數都在複數數域裡面。所以複數數域是完整數域，再往上就沒必要擴充套件了，不過還是有人在研究，比如還有四元數、八元數，但基本都用不到。

i這是一些基本的數學概念:

在初中階段，我們研究的數都是實數:

實數可分為有理數和無理數，

有理數包含整數和分數，

整數又包含正整數，0和負整數。

整數（integer）就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等這樣的數。

整數的全體構成整數集，整數集是一個數環。在整數系中，零和正整數統稱為自然數。-1、-2、-3、…、-n、…（n為非零自然數）為負整數。則正整數、零與負整數構成整數系。整數不包括小數、分數。

有理數是一個整數a和一個正整數b的比，例如3/8，通則為a/b。0也是有理數。

有理數是整數和分數的集合，整數也可看做是分母為1的分數。

注意，這裡所說的分數包含的範圍比我們小學時所學的範圍要大，因為所有的有限小數和無限迴圈小數都可以化為分數，所以在有理數的概念中，把有限小數和無限迴圈小數也看為分數，所以為了方便理解，可以這麼來理解，整數，分數，有限小數和無線迴圈小數都是有理數。

在初中階段，數學研究的主要是實數，實數中，不是有理數的實數就是無理數，即無理數的小數部分是無限不迴圈的數。

我們常用的無理數主要有以下幾種形式:

無限不迴圈小數，即使是小數位數字出現的很有規律的數，如1.212212221……，

開方開不盡的數，如根號5，9的三次方根;

一些三角函式值，如cos30°；sin60°，等等;

一些特殊含義的符號，圓周率pai,等

整數指分母為1的最簡分數,如7,-16,0

自然數指整數中不小於0的數,如0,17,8,

負數指小於0的數,如-1,-5,-7,-3/23

正數指大於0的數,如3,5,√21

有理數指能以整數比形式表示的數、能夠開盡方的數、能得出分數結果的三角函式和對數函式,如2,5/7,³√125,sin π,lg 1000,ln e

無理數指不能以整數比形式表示的數、開不盡方的數、不能得出分數結果的三角函式和對數函式,如π/3,√2,sin 5.5 lg 2,ln 3

小數指分母為10的整數次方的分數,如2.6,7.75,3.0

實數包括有理數和無理數,指在偶次根下被開方數為非負數的數、有理數、不能得出分數結果的三角函式和對數函式,如π/3,√2,sin 5.5 lg 2,ln 3,³√-125,√2125,e

虛數與實數相對,指在偶次根下被開方數為負數的數,如√-20,-√-1

整數不包含分數(小數)，但是正整數負整數都叫做整數。正整數就是1 2 3這種，負整數就是-1 -2 -3這種。有理數是就是整數和無限迴圈小數(整數除以整數，可以用分數表示且分子分母都是整數，比如三分之一)，無理數就是無線不迴圈小數(無法用整數表示分子和分母，比如著名的圓周率π)

整數是自然數(1、2、3……)對加減法的運算自封集。(包含比它低階的各級運算。有理數是整數對除法的運算(包含比它低階的和差各級運算)自封集。…………無理數是指不能用進位製表示的數。