無窮小量

是

數學分析

中的一個概念，用以嚴格定義諸如“最終會消失的量”、“

絕對值

比任何正數都要小的量”等非正式描述，即以數0為極限的變數，無限接近於0。確切地說，當自變數x無限接近x0（或x的絕對值無限減小）時，

函式值

f(x)與0無限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。例如f(x)=(x－1)^2是當x→1時的無窮小量，f(n)=1/n是當n→∞時的無窮小量，f(x)=sin(x)是當x→0時的無窮小量。1.無窮小量不是一個數，它是一個變數。

2.零可以作為無窮小量的唯一一個常量。

3.無窮小量與自變數的趨勢相關。

若函式在某的空心鄰域內有界，則稱g為當時的有界量。

例如，都是當時的無窮小量，是當時的無窮小量，而為時的有界量，是當時的有界量。特別的，任何無窮小量也必定是有界量。

由無窮小量的定義可以推出以下性質：

1、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。

2、有限個無窮小量之積仍是無窮小量。

3、

有界函式

與無窮小量之積為無窮小量。

4、特別地，常數和無窮小量的乘積也為無窮小量。

5、恆不為零的無窮小量的倒數為無窮大，無窮大的倒數為無窮小。

設函式f(x)在x 0的某一

去心鄰域

內有定義（或|x|大於某一 正數時有定義）。如果對於任意給定的正數M（無論它多麼大），總存在正數δ（或正數X），只要x適合 不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趨於無窮)，對應的

函式值

f(x)總滿足不等式|f(x)|>M，則稱函式f(x)為當x→x 0(或x→∞)時的無窮大。

在

自變數

的同一變化過程中，無窮大與無窮小具有倒數關係，即當x→a時f(x)為無窮大，則1/f(x)為無窮小；反之，f(x)為無窮小，且f(x)在a的某一去心鄰域內恆不為0時，1/f(x)才為無窮大