數學運算題幹中的資料之間往往都有著潛在的聯絡，最基礎的體現就是兩個數之間的整除關係。利用整除關係解題是常用的快速解題技巧。合理應用整除的關鍵是考生要對資料關係有著較強的分析、推理和判斷能力。透過對整除思想中截尾法的學習，考生要學會靈活運用數的整除特性，從而達到事半功倍的效果。

一、定義

一個數擷取末尾數字後，所得的數減去(加上)末尾數字的n倍所得的差(和)能否被除數整除來判斷整除的方法。

舉例說明：1938能否被19整除?

19×9=171,17是1的17倍，判斷193-8×17(複雜)，轉化為判斷193+8×2能否被19整除，顯然能整除。

二、適用環境

截尾法一般適用於四位數以下(含四位數)的數字。

三、應用

(1)7：把個位數字截去，在從餘下的數中，減去個位數的2倍，差是7的倍數，則元素能被7整除

原理解釋：先割去末尾數字，實際上是減去末尾數字本身的1倍，再從前位減去所割數字的2倍，實際上又減去了所割數字的20倍，加上已經減去的1倍，一共減去所割數字的21倍。因為21=7×3,21既是7的倍數，減得的結果是7或是7的倍數(包括0)，就證明原來這個數一定能被7整除，反之，則不能。

例：1624能否被7整除?

①截去末尾數字4變為162

②用162減去末尾數字的2倍：162-4×2=154

④結論：1624能被7整除

(2)11：去掉最後一個數字並減去末數字能被11整除。

原理解釋：先割去末尾數字，實際上是減去末尾數字本身的1倍，再從前位減去所割數字的1倍，實際上又減去了所割數字的10倍，加上已經減去的1倍，一共減去所割數字的11倍。因為11是11的倍數，減得的結果是11或是11的倍數(包括0)，都證明原來這個數一定能被11整除，反之，則不能。

例：2629能否被11整除?

①截掉末尾數字9變為262

②用262減去末尾數字9:262-9=253

④結論：2629能被11整除

(3)13：去掉最後一個數字並加上末尾數字的4倍能被13整除。

原理解釋：先割去末尾數字，實際上是減去末尾數字本身的1倍，在從前位加上所割數字的4倍，實際上又加了所割數字的40倍，加上已經減去的1倍，一共加上所割數字的39倍。因為39=13×3,39既是13的倍數，加得的結果是13或是13的倍數(包括0)。都證明原來這個數一定能被13整除，反之，則不能。

例：364能夠被13整除?

①截掉末尾數字變成36

②用36加上末尾數字的40倍：36+4×4=52

④結論：364能被13整除

四、真題演練

例1.某校二年級3個班的學生排隊，每排7人或11人，最後一排都只有2人，這個學校二年級可能有( )名學生。

A.1157 B.1159 C.1161 D.1163

【答案】A。解析：由文字描述可知，該校二年級總人數減去2之後同時為7和11的倍數.首先判斷A項：先減2得到1155，截去末尾數字變為115,115-5×2=105，由於105÷7=15，故該數能被7整除;115-5=110，明顯110能被11整除，故1155同時能被7和11整除，滿足條件，故選A。

例2.有若干本課外書，平均分給13名小朋友，正好分完;若平均分給其中的11名小朋友，也正好分完。共有多少本課外書?

A.1714 B.1716 C.1718 D.1720

【答案】B。解析：由題幹文字描述可知，課外書的數量同時為11和13的倍數。判斷B項，截掉末尾數字得到171，171-6=165,165÷11=15，故該數能被11整除;171+6×4=195,195÷13=15，故該數能被13整除，即1716同時為11和13的倍數，選B。

行測數量關係不會做？教你巧解工程問題

工程問題，是數量關係模組的常客。狹義上，通常把修橋、鋪路以及明顯涉及工程量的問題看成工程問題；但廣義上，我們通常把完成一件事情需要多長時間的問題統稱為工程問題，如大家耳熟能詳的 “水池注水”、“多人分配工作”等問題，都屬於工程問題。這一題型是近年來公考命題者非常青睞的題型，是大家備考數量關係模組必須攻克的一關。

工程問題的大部分題型都會用到賦值的方法，在之前的年份中，一般出現的是中規中矩的題型，題型資料特徵明顯，賦值法的應用也比較簡單，主要有兩類：①賦工作總量→題幹中只給定工作時間，賦值工作時間的最小公倍數為工作總量，進而得到工作效率，從而列等式計算。②賦工作效率→題幹中只給定時間和效率比(工作效率之間的比例或倍數關係)，根據比例關係進行效率賦值，從而列等式計算。

但是從2016年和2017年國、聯考以及各省份省考所考察的新題來看，現在出現的工程問題，相比之前的題型有所更新，難度稍大，但所考察的內容基本不變，只不過需要大家學會轉換思維，如下面的一些例題：

【例1】（江蘇2017-62）若將一項工程的1/6 、1/4、 1/3 和 1/4 依次分配給甲、乙、丙、丁四家工程隊，分別需要 15天、15天、30天和 9天完成，則他們合作完成該項工程需要的時間是（）

A. 12天 B. 15天

C. 18天 D. 20天

【圖圖點撥】由已知條件可知甲單獨完成需要90天、乙單獨完成需要60天、丙單獨完成需要90天、丁單獨完成需要36天。所以賦值工作總量為360，可得甲乙丙丁的效率分別為4、6、4、10，故四人合作所需要的時間為

天，正確答案為B選項。

【答案】B

【例2】(山東2016-54)甲、乙、丙三個工廠每天共可以生產防水布2萬平方米。現有一批救災物資要生產，如果將防水布生產任務交給甲乙聯合或乙丙聯合或甲丙聯合完成，分別需要24、30和40天。如果三個工廠聯合完成生產任務，且每個工廠每天的產能各增加1萬平方米，問可以比在不增加產能的情況下提前幾天完成?

A. 6 B. 8

C. 10 D. 12

【圖圖點撥】根據題目已知條件，設總量為120x，則可得甲乙丙的效率關係為

。可知甲=2x，乙=3x，丙=x，則2x+3x+x=2萬，總量為40萬，原時間需要20天，現在每個工廠每天的產能各增加1萬平方米，效率變為5萬，需要8天，故可提前12天，正確答案為D選項。

【答案】D

小結

例1和例2這兩個問題仍然屬於工程問題賦值法的第一種情況：題幹中給定工作時間，賦值工作時間的最小公倍數為工作總量的題型，只不過例1並沒有直接給出甲乙丙丁單獨完成工程所用的時間，需要大家根據題目中的已知條件進行分析得出，而例2則需要設工作總量為所給時間公倍數的份數，即120份，進而求出其中的一份是多少，從而更輕鬆地解題。

【例3】(北京2017-83)某檢修工作由李和王二人負責，兩人如一同工作4天，剩下工作量李需要6天，或王需要3天完成。現李和王共同工作了5天，則剩下的工作李單獨檢修還需幾天完成?

A.2 B.3

C.4 D.5

【圖圖點撥】題幹中敘述“兩人一同工作4天，剩下工作量李需要6天，或王需要3天完成…”說明李6天工作量和王3天工作量相同，可得李和王的效率比為1:2，賦值李的工作效率為1，王的工作效率為2，工作總量=4×(1+2)+6×1=18，兩人共同工作了5天，完成總量=5×(1+2)=15，剩下工作總量18-15=3，還需李工作3÷1=3天，因此，本題答案選擇B選項。

【答案】B

【例4】(廣東縣級-2016-41)一批零件如果全部都交由甲廠加工，正好在計劃時間完成，如果全部交由乙廠加工，要超過計劃時間5天才能完成，如果甲乙兩廠合作加工3天，再由乙廠單獨加工，正好也是在計劃時間完成，則加工完這批零件計劃時間是( )

A.5 B.7

C.7.5 D.8.5

【圖圖點撥】由條件，“乙需要超過計劃時間5天完成，兩廠合作加工3天后由乙廠加工也可在計劃時間完成”，則可推知乙5天完成的工作量等於甲3天完成的工作量，即3甲=5乙，甲：乙=5:3，賦值甲和乙的效率分別為5和3即可。設加工這批零件計劃時間是x天，根據工程總量相等可得5x=3(x+5)，解得x=7.5，因此，本題答案選擇C選項。

【答案】C

小結

例3和例4同樣屬於工程問題賦值法的第二種情況：題幹中只給定時間和效率比(工作效率之間的比例或倍數關係)，根據比例關係進行效率賦值，但這兩個例子均沒有直接給出兩個個體的效率比，需要我們透過題目的資訊分析出幾個個體的效率比，進而賦值效率去計算。

總之，工程問題雖然在近年的考題中呈現了不少新動態，難度也略有提升，但萬變不離其宗。小夥伴們只需要夯實基礎，學準方法，就能以不變應萬變，從容應考。