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1、e的x次方在x0=0的泰勒展開公式是1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x），求解過程如下：
把e^x在x=0處展開得：
f（x）=e^x
= f（0）+ f′（0）x+ f″（0）x ²/ 2!+...+ fⁿ（0）x^n/n!+Rn(x）
=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）
其中 f（0）= f′（0）=...= fⁿ（0）=e^0=1。
如果f（x）在點x=x0具有任意階導數，則冪級數
稱為f（x）在點x0處的泰勒級數。（圖解如下）
2、拓展資料：
一、泰勒公式：
數學中，泰勒公式是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠平滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。
二、泰勒公式的重要性:
冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函式相對比較容易。
一個解析函式可被延伸為一個定義在複平面上的一個開片上的解析函式，並使得複分析這種手法可行。
泰勒級數可以用來近似計算函式的值，並估計誤差。
證明不等式。
求待定式的極限。
三、公式應用
實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函式的有限項的泰勒級數叫做泰勒展開式。泰勒公式的餘項可以用於估算這種近似的誤差
e的x次方在x0=0的泰勒展開式是：
1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）
求解過程如下：
把e^x在x=0處展開得：
f（x）=e^x= f（0）+ f′（0）x+ f″（0）x ²/ 2!+...+ fⁿ（0）x^n/n!+Rn(x）=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）
其中 f（0）= f′（0）=...= fⁿ（0）=e^0=1。
如果f（x）在點x=x0具有任意階導數，則冪級數稱為f（x）在點x0處的泰勒級數。
小知識：
泰勒公式泰勒公式，應用於數學、物理領域，是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠平滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。
泰勒公式得名於英國數學家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信裡首次敘述了這個公式，儘管1671年詹姆斯·格雷高裡已經發現了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。