“在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了，如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那正是在這裡。” ——恩格斯

牛頓因其運動定律的發現與微積分的發明，被譽為有史以來最偉大的物理學家，而牛頓在世的時候，更是被當時的人們譽為僅次於上帝的人。那麼它何以享有如此之高的稱號呢，就是因為他發明的理論完美地解釋了宇宙萬物的運動規律。在17世紀，歐洲文明才剛剛從中世紀的陰霾中甦醒，人們普遍認為大地星辰都是上帝的傑作，按照上帝規定的法則來執行。然而一個叫牛頓的凡人卻發現了這些法則，因此人們把牛頓當神一樣來崇拜。那麼，牛頓的理論是如何解釋了天體的執行呢，最具有代表性的一個例子就是大名鼎鼎的“開普勒三定律”開普勒三定律的提出是一個漫長的歷史過程。自古希臘一直到中世紀，人們始終堅持“地心說”的觀點，以希臘晚期天文學家托勒密（ClaudiusPtolemaeus，約100年—170年）為代表。他在著作《至大論》中全面闡述了“地心說”的理論模型，該書成為主導西方1000餘年的天文學標準教材。但是隨著人類天文觀測手段的不斷進展，有越來越多的證據表明地心說並不成立。直到1543年，波蘭偉大的天文學家哥白尼（Nikolaj Kopernik，1473—1543年）發表了名著《天體執行論》，提出了“日心說”的觀點，掀起了西方科學史上著名的“哥白尼革命”。隨後，丹麥誕生了另一位偉大的天文學家第谷（Tycho Brahe，1546—1601），他以當時人們科學技術難以企及的精度，取得了大量的天體執行觀測資料，而他的學生開普勒（Johannes Kepler，1571—1630），則利用老師留下了這筆寶貴的資料，加上自身的勤奮與天賦，取得了驚人的成就。

開普勒一開始和前人一樣，認為宇宙天體繞中心天體執行的軌道是完美的圓形。但是他按照不管是托勒密還是哥白尼，乃至自己老師第谷給出的計算方法，得到的資料與老師資料中的觀測資料均不相符。於是一個大膽的想法在他心中逐漸形成，他放棄了行星軌道是圓形這一固有觀念，認為實際應該是一個橢圓。此為基礎經過大量的計算，開普勒在1609年和1619年相繼發表了《新天文學》和《宇宙諧和論》，提出了著名的關於行星運動的“開普勒三定律”，並因此贏得了“天空立法者”的美名。開普勒三定律的完整敘述如下：

1.所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。2.行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過相等的面積。3.所有行星繞太陽一週的週期的平方與它們軌道半長軸的立方成比。即其中，T表示行星執行的週期，a表示半長軸，C是某個常數。

開普勒雖然提出了三定律，但由於當時數學工具有限，他並沒有給出嚴格的證明。而直到牛頓提出了萬有引力定律，併發明瞭微積分之後，才利用這種新興的數學工具，給出了開普勒三定律的證明。下面就來介紹一下是怎樣證明的。

首先需要一些預備知識。

1.離心率與圓錐曲線的極座標形式

設F是平面上一個固定的點，l是平面上一條固定的直線。我們再選定一個固定的常數e，那麼到點F的距離和到直線l的距離的比值恆等於e的點就形成一條軌跡。根據e取值的不同，軌跡呈現不同的形狀。結論就是：

當e=1時，曲線是拋物線。

當e<1時，曲線是橢圓。

當e>1時，曲線是雙曲線。

我們稱F為焦點(focus)，l為準線(diretrix line)，e為曲線的離心率。同時我們也知道e=c/a

證明：當e=1時，曲線很明顯就是拋物線，因為這就是拋物線的定義。

當e≠1時。我們以F為原點，以與準線垂直的方向為x軸，建立直角座標系，同時也把它看成是原點為極點，x軸為極軸的極座標系，並用字母d表示原點與準線的距離。在曲線上任選一點P，如上圖，P到F的距離就是r，P到準線的距離就是d減掉P的橫座標，而P的橫座標就是r·cosθ，再根據兩個距離比值等於e就可以列出式子:把式子兩邊平方一下我們知道，在極座標系中：r²=x²+y²，並且rcosθ=x，因此式子就變成當e>1時，把式子拆開，再對x和y進行配方我們把上面這個複雜的公式裡邊某些量設成簡單的字母：於是整個式子就變成了

而這很明顯就是一個橢圓了

同樣對於e<1的時候也是如此，可以證明它是雙曲線。

在上面的證明過程中，我們得到了圓錐曲線的極座標形式如下，其具體形狀由e來決定

2.向量代數

為了閱讀的方便，先在此宣告：下文中所有的斜體小寫字母表示的都是數量，正體加粗的字母表示向量。

我們在高中時學過向量的點乘運算，到了大學高等數學中的解析幾何部分會學向量的叉乘運算與混合積運算。

對兩個向量

我們規定它們的叉乘結果是

我們可以利用右手定則來判斷叉乘向量的方向，如圖所示：

關於向量的叉乘運算，它滿足如下的運算性質，這幾條性質在我們後面的證明中非常有用

以及若兩個向量平行，那麼它們叉乘為零向量，這也是一個非常常用的結論。有了叉乘運算，我們可以定義混合積運算，即三個向量先讓後兩個做叉乘，再跟前一個做點乘：

混合積運算滿足的運算性質如下：

3.向量函式與向量函式的微積分

我們通常接觸的函式都是給定一個x得到一個y，即給定一個數得到另一個數。而向量函式則是給定一個數得到一個向量，我們這裡需要研究的是三維向量，因此一個向量函式表示為如下的形式：

其中t是自變數，x(t)，y(t)，z(t)都是關於t的一元函式，那麼上面的式子就相當於給我一個t，我就得到了一個三維向量，用r(t)來表示。

當t變化起來的時候，得到的向量也在隨著變化，當t取很多值的時候，就可以得到無數多個向量，將這無數多個向量的終點連成一條線，就得到了一條空間曲線，這也是我們表示空間曲線的非常常見的一種方式。

各式各樣的空間曲線

向量函式作為以t為自變數的函式，也是可以關於t求導的，它的求導方法就是對每個分量分別關於t求導：

同樣對於向量函式也是可以做積分的，方法就是對每個分量進行積分：

同樣為了以下證明的需要，我們還要了解向量微分的一些計算性質

，下圖中u(t)和v(t)都是向量函式，f(t)是普通的一元函式:

在研究運動學問題中，t通常表示的就是時間

，而r(t)是一個向量，它的終點及物體所處的位置，因此我們就利用向量函式來描述空間中一個物體的運動軌跡。而我們在中學學習微積分的時候就知道，對位移求導得到的就是速度v，對速度求導得到的就是加速度a，並且速度與加速度都是向量。在三維空間中運動也是如此，對錶示位置的向量函式求導得到的就是速度，對速度求導得到的就是加速度，即

而空間中運動的速度方向就是其運動軌跡的切線方向：

4.向心力場

物體在任何一點的受力方向都指向空間中一個固定的點，這種力場成為向心力場。

為了研究向心場，我們把固定點作為座標原點，建立三維直角座標系。於是物體無論位於哪個位置，它受到的力都是指向原點的，我們用F(t)來表示。同時物體本身所在的位置是r(t)，所以很明顯，F(t)和r(t)是反方向的，而力的方向和加速度a(t)的方向是一樣的反方向也是一種共線，根據我們前面提到的過向量叉乘的性質，兩向量共線則叉乘為0，於是：

我們來研究 r×v，對該式子關於t求導，需要使用叉乘的求導法則，得到：

因此 r×v 是一個常向量，我們記為b，即

4.萬有引力定律與加速度向量

中學物理課我們都學過，兩個質量分別為M和m，間距為r的物體，之間的引力大小是GMm/r²，用F表示M對m的引力，於是就有

任何一個向量等於自身的長度乘以該方向上的單位向量，我們把M放在座標原點，於是引力的方向正好是由物體的位置r指向原點，因此F和r反向，而r則表示了r的長度（注意！這裡面的r一個加粗了一個沒加粗，前面已經說過，加粗表示向量，沒加粗表示數量），於是我們可以得到：

帶入到萬有引力表示式中有：

再根據加速度計算公式：F=ma，就有

兩邊消去m就得到：

這就是繞質量為M的中心天體運動的加速度公式。

有了上述的準備知識，我們就可以來證明開普勒三定律了。

開普勒第一定律的證明

首先以太陽為原點建立直角座標系和極座標系，並假定t=0時，行星位於近日點，運動方向垂直於x軸，初始位置用r0表示，初始速度用v0表示，如下圖所示：我們上文已經證明了r×v是個常向量，用b表示，因此r0×v0也等於這個b，我們用r0表示r0的長度，用v0表示v0的長度，於是就有：並且為了表示的方便，我們再引入單位向量u：

其中θ就是極座標系中的θ.

於是表示行星位置的向量函式r就可以寫成將這個r帶入到前面加速度計算公式中可以得到再代入到速度的計算公式中，就有因此

再利用向量函式求導的鏈式法則對u進行求導

因此帶入到b的表示式中就得到我們再讓加速度a和b做叉乘再利用b是常向量，因此關於t的導數為0，就有對這個式子兩邊做不定積分，可以得到其中，C是某個常向量。為了求出具體的C，將t=0時的r0，v0和b代入，可以得到再代回不定積分式子中再在式子左端用r做點乘，利用混合積的運算性質有

同樣的比較上面兩個式子就有於是就可以反解出r我們簡記於是關於r的式子就可以寫成

根據我們前面講過的圓錐曲線的極座標形式，它就是一條圓錐曲線，而具體的取值要有e來決定。可以把萬有引力常數、太陽質量、行星執行的引數代入，就可以得到，太陽系的九大行星繞太陽旋轉，軌道都是橢圓形。

開普勒第二定律的證明

我們知道，在座標系下計算曲線r=f(θ)圍成的面積，公式為

它的推導同樣是利用微元法

我們計算一下行星從θ0運動到θ時掃過的面積，這是一個以θ為積分上限的變上限積分：

利用變上限積分的求導公式對t進行求導可得根據前面的兩個式子和可得而r0v0是常數，因此dA/dt也是常數，這就是說明面積隨時間的變化率是固定的，即相同時間內掃過相同的面積。

開普勒第三定律的證明

橢圓的半長軸和半短軸分別用a和b來表示，於是整個橢圓的面積就是A=πab。另一方面，前文又得到面積隨時間的變化率，因此整個面積就相當於一個週期之內對變化率的積分，即兩邊平方並移項：

再利用離心率的公式代入就有和橢圓的極座標方程相對比可以得到於是

而4π²/GM是常數，這就說明了T²和a³成正比。至此開普勒三定律全部證明完畢。

可以看出，開普勒定律從最初提出到最終證明，凝結了無數人的汗水與智慧。第谷留下的寶貴的觀測資料，開普勒靈光乍現的靈感，以及牛頓天才般地創立了微積分，是人類思想史與科學史上濃墨重彩的一筆。整個過程是人類理性對宇宙自然不斷髮掘的過程，處處閃耀著人類理性之光！無怪乎微積分被恩格斯稱為人類精神的最高勝利。

參考資料：

[1] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC

[2] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE

[3] Precalculus, 7ed, James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, CENGAGE

[4] Precalculus, 9ed, Michael Sullivan, PEARSON

〔從醫學角度論證盤古開天闢地的原理〕

道家例來把人體說成是一個小宇宙，此說有無道理？首先用醫學來論證。我們身體由細胞組成了骨頭、血、五臟六腑等等。基因組成了細胞，大家皆知，可再往下由什麼組成的，知道的多是專業科技者了。

基因由分子組成的，分子由原子組成的，原子由原子核電子組成的…小粒子組成大粒子。

那天上星球都是小粒子，那身體內的小粒子何嘗不是星球啊！電子圍繞原子核轉運，不也是一個個太陽系嗎！那電子這個星球上可有一個人類社會啊？

顯微鏡還看不到，可科學看不到不等於神學看不到，釋迦牟尼曾講一粒沙一個芥子裡就有三千大千世界。也就是說微觀天體中還有許多人類社會，完全與當今物理學相通的。

人體是有生命的吧，人體內部是個廣闊的宇宙，那我們看見的巨大宇宙可不可能是一個大生命體呢？

人體受傷或代洩老化的細胞，得重新細胞分裂，氣血機制運動組合各種養份，形成新細胞傷口恢復。這個過程如果站在電子微觀星球上生命角度看，就是宇宙重組運動，與今天天文觀察宇宙黑洞或天體重組不類似嗎！

物理學知道粒子都有衰敗期，神學講宇宙有成住壞滅的過程，也就是宇宙這些星球粒子都有老化解體那天，包括我們銀河系。舊細胞不行了，就得重組新細胞，這不就是開天闢地嗎！盤古開天地就是這麼回事，有何迷信的！這不就是醫學與天文學、宇宙重組學嗎！

宇宙既然是個大生命體，那他與物種怎麼來的？按傳統物理學講，老子透過修煉看到宇宙微觀暗物質中有種無形但卻大智慧的東西，老子也不知其名強字曰道，佛家把這東西叫法。由這無形的大智慧物質聚合組成宇宙各種粒子與各種生命，故曰：道生一，一生二，二生三，三生萬物。這就是古老物理學。

宇宙是多時空的，每層空間都有生命。傳統講天人合一，順天敬天，誰反天不道德就是病毒壞細胞，會被宇宙機體代洩到可怕的地方去，所以善良做好人就是長壽的保障。

人體與萬物在同時同地其他平行宇宙中都有不同粒子組成的存在方式。手錶錶針能執行，背後齒輪決定，人體同理。其他空間還有微觀粒子組成的機體運作，才能保證我們表面肉身的正常。進化論只在三維空間談生命與宇宙的起源，真的是坐井觀天。

提到微積分，除了學歷低的感到懵逼外，就是那些學過高數的人，恐怕都有些生疏。畢竟純書本的東西，除了學霸，感興趣的人很少的，從大家都躲著這個問題就能說明一二。

當年曾自學了一點高中的課，當時自己給微積分總結的容易理解的話:微積分在數學中的作用就如同攝像機裡的畫素，微積分越詳細，那麼在數學統計學裡的越接近真相。

微積分說白了，就是統計推導規律，規律推導結論。可見，這是數學求證結果的一種方法，而這個結果也只是一個近似值。

那麼這樣的一種數學應用，用在天體執行軌道上，那就是執行的單位時間內，掃過的扇形面積相同，那麼軌道半徑就決定了執行軌道的長度。

在這裡天體單位時間內掃過的扇形面積，就是微積分的應用得到的。