在量子力學中，角動量算符是無窮小轉動算符的生成元。

有限大小的物體可以在三維實空間中轉動，這是人們的日常經驗。現在假設我們研究的是剛體，即物體的大小、形狀及物體各部分與各部分之間的關係都是完全被規定好而且是不變的。

對給定剛體，我們可以用某個向量V來表示剛體上的任意一點，在轉動操作下，向量V會變換為RV，我們的日常經驗告訴我們轉動不會改變向量V的大小，

這意味著轉動可以用一個三維正交矩陣來表示。

考慮到我們不把空間反演或映象操作稱為轉動，我們需要對變換矩陣再附加一個條件det R = 1。

現在R是一個三維正交矩陣，是SO(3)群裡的一個元素，S表示特殊，O表示正交，SO(3)是一個特殊的三維正交群。

如果我們把轉軸的取向和轉過的角度明確下來，一個轉動也就明確下來了。

假設轉軸是z，轉過的角度是φ，我們得到Rz(φ)的矩陣：

類似地，也可以得到Rx(φ)和Ry(φ)的形式。

假設我們轉過的是無窮小角度ε，我們可得到以下等式：

現在考慮一個無窮小的轉動所對應的D(R)，我們對這個無窮小的轉動有一系列要求，比如么正性，連續性等。因為這些條件D(R)可以表示為：1-iGε

比如對圍繞x軸轉動ε角度，

這裡hbar是量子世界的特徵。我們要求Dx(ε)，Dy(ε)和Dz(ε)滿足：

由此我們可以得到角動量算符的基礎對易式：

透過對稱性定義角動量算符的好處是把軌道角動量L和自旋角動量S放到完全相等的地位上了。這樣多少也可以祛除自旋角動量身上的神秘色彩。

一方面，就量子工程而言，這個算符，就好比薛定諤方程算符，高逼格，然並卵。量子，作為特殊天體，其真實運動軌跡，與宏觀天體一樣，都是螺線型。可以分解螺線上每點角動量，法向的是自旋角動量，切向的是軌道角動量。數學上，不妨近似到平面上的一個“動圓”，由於軌道曲率很小，該動圓的圓心軌跡，可作為量子軌道。

另一方面，精確的量子運動，至少要用十維座標表述，因此，這個算符，也是然並卵。以上，只是個人見解，雖然要懂算符之類的，但是我一直認為這個破玩意，真的沒用。中國理工男——搞出工程樣本——你就牛，未必在國外期刊發表什麼，還憋屈。