最短時間原理是您發現的吧。費馬只發現了最短光程原理。這條定理與最小作用量原理有些相似。因為它們都需要用到變分導數的概念。所謂光程不是指光走過的路程，而是折射率與光線線元的乘積。用數學公式表示如下：

光路是一維的，我們可以用x作為光路的引數，那麼有(下面的推導中將光速c取為1)：

求泛函導數有

這就是費馬光程原理。如果假設是同一介質的，那麼我們得到的結論是，光線要麼沿直線走，要麼會反射。如果是兩種不同的介質，這就是折射定律。

現在我想補充一些，即考慮光的粒子性。按照最小作用量原理，我們也可以推匯出上面的結論。但是這裡要注意區分兩個速度：相速度與群速度。Fermat最短光程原理是基於光的相速度而建立的。而現在要基於光的群速度重新推導。下面的推導仍然取光速為1。

這表明對於介質而言，光的相速度不等於群速度。下面考慮de Broglie關係(取h=2π)

λ0是真空波長。

由作用量可給出費馬光程原理：

這說明費馬光程原理可由作用量原理匯出來。

但是這裡千萬不能把相速度和群速度混淆了，否則就得出另一個結論，這個結論與聲波的反射和折射一樣。在剛學量子力學的時候很多人都會混談這個問題，甚至很多人還無法理解為什麼會這樣。相速度非物理量，它是可以超光速的。對於實物粒子，我們可以證明其相速度與群速度乘積等於真空光速平方(這裡就是1)。群速度就是粒子的速度，它是小於光速的，而相速度就是大於光速的。這就意味著，對於最小作用量原理是不能用相速度去計算的！！

費馬的這個原理 很有用的 生活中很多時候都會用到的當我第一次看到這個原理時候，覺得蠻有意思的。當你發現走一條折線比一條直線更省時間的時候，是多麼驚奇。原理 就是不需要證明就成立的